아이작 뉴턴의 『프린키피아』

[그냥 한번]

『프린키피아』의 핵심 내용

뉴턴은 다른 과학자들과는 달리 자신이 발견한 것을 남에게 알리기를 그리 원하지 않았다. 그는 그저 자신이 발견한 것을 홀로 즐기기를 좋아하였다. 그래서 어쩌면 그의 위대한 명저인 『프린키피아』는 핼리의 적극적인 권유가 없었다면 사장되었을지도 모른다. 그렇다면, 우리는 지금 아리스토텔레스의 역학을 교과서에서 배우고 있을지도 모를 일이다.

『프린키피아』는 총 3권으로 이루어져 있는데, 여기서는 1권에 대해서만 다룰 예정이다. 제1권은 앞의 뜻매김 부분과 공리(운동법칙), 그리고 물체들의 움직임에 대한 내용의 총 14장으로 구성되어 있다. 뜻매김 부분에서는 질량, 운동량, 관성, 구심력 및 이와 관련된 용어들에 대한 정의를 내리고 있다. 공리 부분에서는 뉴턴의 운동 법칙인 제1법칙 관성의 법칙, 제2법칙 가속도의 법칙, 제3법칙 작용·반작용의 법칙 및 그에 딸린 법칙들을 설명하고 있다. 그 다음으로, 본문에서는 다음과 같은 내용들이 기술되고 있다.

제1장 어떤 양들에 대해서 맨 처음과 맨 마지막의 비율을 이용하는 방법

이 장에서는 어떤 양이나 비율로 이루어진 수열의 수렴에 관해서 설명하고 있다. 적분을 처음 배웠을 때를 떠올려 보자. 어떤 곡선의 아래 부분의 면적을 알고자 할 때, 그것의 구간을 n개로 나누어, 곡선 안쪽에 내접하는 직사각형들의 넓이의 합이나 외접하는 직사각형의 넓이의 합은 n을 매우 크게 할 때 같아짐을 배웠을 것이다. 또한, 닮은꼴 도형들의 길이 비를 알면 그 도형들의 면적의 비는 길이의 비의 제곱임을 우리는 모두 알고 있다. 그리고 임의의 원에서 두 점을 임의로 잡았을 때 한 점이 다른 한 점으로 무한히 가까이 간다고 하면, 그 두 점에 의해 생겨나는 호와 현의 길이 및 고정된 점에 이은 접선과 원의 중심이 만나서 생기는 선분의 길이는 같아진다. 그러므로 그 길이들 간의 비율이 결국에 가서 어떻게 되는지를 구할 때, 현, 호, 접선에 의한 선분 중 아무것을 선택해도 상관없게 된다. 이와 같은 방법을 이용하여 합과 비율의 극한을 증명하고, 앞으로는 무한소의 개념을 이용하여, 다음의 기본 원리들을 증명하게 될 것이다.

제2장 구심력을 구함

이 장에서는 구심력을 기하학적으로 구하는 방법에 대해서 설명하고 있다. 예를 들어, 우리가 추에 실을 매달아 돌리고 있다고 상상해 보자. 이 때, 추가 회전하고 있는 궤도를 벗어나지 못하도록 우리가 주고 있는 힘이 바로 구심력이며, 우리가 일정한 힘으로 추를 돌리고 있다면 추가 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간은 일정할 것이다. 따라서, 실이 그리는 호의 면적은 시간에 비례할 것이다. 역으로 생각해 볼 때 실이 그리는 면적이 일정하다면, 추의 속력은 실의 길이에 반비례할 것이다. 이제 우리는 어떤 물체가 시간에 비례하는 넓이를 그리면서 움직이고 있다면, 그 물체는 어떤 중심이 있어서 그 중심으로부터 힘을 받고 있다고 생각할 수 있을 것이다. 그리고 그 힘의 크기는 추의 속력의 제곱에서 실의 길이를 나눈 것에 비례하고, 이 때 추의 회전 주기는 실의 길이를 속력으로 나눈 것에 비례한다. 그러므로 회전 주기와 반지름의 관걔를 구심력을 중심으로 고려했을 때, 케플러의 법칙에서 밝혀졌듯이 주기의 제곱이 반지름의 세제곱에 비례하게 되면 구심력은 반지름의 제곱에 반비례하게 됨을 알 수 있다. 이러한 사실 이외에도 물체가 움직이는 궤도가 원이 아닌 원뿔 곡선일 때 중심으로부터의 구심력을 계산하는 방법도 설명되어 있다.

제3장 원뿔 곡선들을 따라 움직임

이 장에서는 물체가 초점으로부터 구심력을 받으며 타원, 쌍곡선, 포물선의 궤도를 움직일 때 구심력의 크기는 초점에서 그 물체까지의 거리의 제곱에 반비례하며, 역으로 힘의 중심이 고정되어 있고, 구심력은 그 중심으로부터 거리의 제곱에 반비례하고, 또한 그 힘의 크기를 안다고 할 때, 이 물체가 그리게 될 궤도는 속도의 크기에 따라 타원, 포물선, 쌍곡선의 궤도를 그리게 됨에 대해 설명하고 있다.

제4장 초점을 주었을 때 타원, 포물선, 쌍곡선 궤도를 구함

이 장에서는 우리가 초점을 이미 알고 있을 때 타원, 포물선, 쌍곡선의 자취의 방정식을 구하는 방법에 대해서 설명하고 있으므로, 연필과 연습장만 있다면, 지금 당장 계산해 낼 수 있다. 뉴턴이 되었다는 생각으로 계산해 보기를……

제5장 초점을 주지 않았을 때 궤도를 구하는 방법

이 장에서는 초점이 주어지지 않았을 때, 물체가 움직이는 궤도를 구해 내는 방법에 대해 설명하고 있는데, 이런 궤도를 구해 내는 것 역시 스스로가 적당히 가정을 하고 있고 일반적인 2차 곡선의 자취의 방정식을 구한다고 생각하면, 좀 복잡하기는 하지만, 모두 계산해 낼 수 있다. 참고로, 일반적인 2차 곡선을 계산하기 위해서는 6개의 미지수를 구해 내야 한다. 그렇지만 적당히 축을 잡고 회전 이동시키면, 3개의 미지수로 줄일 수 있게 된다. 자, 한번 도전해 보는 것이 어떨지?

제6장 주어진 궤도를 따라 움직이는 운동을 구함

이 장에서는 어떤 임의의 시간이 주어졌을 때, 주어진 궤도를 따라 움직이는 물체의 위치를 알아 내는 방법에 대해 설명하고 있다. 여기서의 요점은 어떻게 시간과 그 물체가 움직임에 따라 생기는 면적을 연결시킬 수 있는지의 문제인데, 그 방법이 극히 기하학적이고, 고등 수학의 내용을 알아야 하므로, 대학에 들어가서, 고등 수학을 배운 후 이해하는 것이 좋을 것 같다.

제7장 직선을 따라 올라가고 내려감

이 장에서는 힘의 중심으로부터 거리의 제곱에 반비례해 구심력이 작용한다고 했을 때, 물체가 직선을 따라 수직으로 떨어지거나 수직으로 상승할 때, 주어진 시간 동안에 이 물체가 지나가는 거리, 혹은 일정한 거리만큼 움직였다고 할 때, 걸리는 시간을 어떻게 알아 내는지에 대해 설명하고 있다. 여기에서 요점은, 앞장에서 설명한 시간과 면적의 관계 및 직선 운동을 원상에서의 운동으로 대체해서 생각한 후 극한을 이용하는 것이라 말할 수 있다.

제8장 어떤 종류의 구심력이 작용하였을 때, 물체가 그릴 궤도를 구함

이 장에서는 어떤 종류의 구심력인지를 알고 있을 때, 물체가 어떻게 움직일 것인가를 설명하고 있는데, 예를 들어 물체가 진자 운동을 할 때, 이 물체는 항상 같은 높이에서는 같은 속력을 가질 것이다. 또한, 같은 구심력이 작용하는 상황에서 다른 물체가 직선으로 운동한다면, 이 물체 역시 진자 운동을 하는 물체와 같은 높이에서는 같은 속력을 가질 것이다. 이러한 점은 우리가 배웠던 사실로부터 이해할 수 있다. 자유 낙하하는 물체가 지상에 떨어질 때까지의 시간과 같은 높이에서 그 물체를 앞으로 던졌을 때 지상에 떨어지는 시간이 같다는 것과 동일한 원리이기 때문이다.

제9장 움직이는 궤도를 따른 운동, 원일점, 근일점의 움직임

이 장에서는 달과 같이 움직이는 궤도를 가진 물체들의 운도에 대해 설명하고 있다.

제10장 주어진 면에서 물체의 움직임, 그리고 물체의 진자 운동

이 장에서는 구심력의 종류를 알고 있을 때, 그 물체가 운동하는 평면에서 궤도를 고려하고, 또한 운동하는 물체가 운동하는 평면에서 궤도를 고려하고, 또한 운동하는 평면과 수직인 면에서 그 운동을 관찰했을 때 (수직인 평면에 정사영), 그 물체의 운동이 단순히 직선을 왕복 운동하는 것 임에 대해 설명하고 있다. 물론 그 물체가 곡면을 운동하고 있다면, 평면에 정사영한 후 다시 직선에 정사영하면 위와 같은 결과가 나오게 된다.

제11장 구심력에 의해서 서로 끌려가는 물체들의 움직임

이 장에서는 지금까지와는 달리, 작용·반작용의 법칙을 적용하여 물체들의 움직임을 설명하고 있다. 실제로, 자연계에는 한 물체가 일방적으로 잡아당기기만 하는 경우는 존재하지 않기 때문이다. 또한, 인력을 두 물체가 일방적으로 잡아당기기만 하는 경우는 존재하지 않기 때문이다. 또한, 인력을 두 물체 사이에만 작용하는 것이 아니라 존재하는 모든 물체에서 작용하므로, 그 힘들을 모두 고려하여야만 한다. 그리고 그 힘들은 모든 물체들이 공통적으로 지니고 있는 무게 중심을 힘의 중심으로 하여 작용한 후 물체들의 궤도 운동을 이끈다.

제 12장 공처럼 둥근 물체들의 당기는 힘

이 장에서는 공처럼 둥근 물체들의 경우, 공 내부의 점들은 공 표면의 점들에 의해 어떤 방향으로도 당겨지지 않으며, 표면의 점들은 공의 중심을 향해서 반지름의 제곱에 반비례하는 힘으로 당겨지고, 곧 외부의 물체와의 인력은 마치 공의 모든 질량이 중심에 집중되어 있는 것과 같은 효과로 작용하는 것에 대해 설명하고 있다.

제13장 공처럼 생기지 않은 물체들의 당기는 힘

이 장에서는 공처럼 생기지 않은 물체들 간의 인력에 대해서 다루고 있는데, 공처럼 생기지 않은 물체들 간의 인력은 그 물체의 질량이 무게 중심에 집중되어 있다고 생각한 후, 공 모양의 물체 사이에 존재하는 인력과 같은 방법으로 고려하면 된다는 사실에 대해 설명하고 있다.

제14장 아주 작은 물체들이 매우 큰 물체의 여러 부분의 구심력을 받아서 움직임

이 장에서는, 빛이 매질이 다른 물질을 지날 때 일어나는 굴절, 반사와 각진 물체를 지날 때에 일어나는 회절에 대해서 설명하고 있다.

뉴턴의 명저인 『프린키피아』는 오늘날의 눈부신 과학의 발전을 이루는데 근간이 되었으며, 이 저서에서 증명된 모든 과학적 사실로 인하여 새로운 과학의 장이 열렸다고 해도 과언이 아니다. 또한 뉴턴의 이런 과학적 사실의 발견보다 더욱 의미 심장한 것은, 그 전까지는 신비주의에 입각해 이루어졌던 과학적 사고를 실험과 관찰에 의해서 얻은 현상들을 바탕으로 얻어 냈다는 점이다. 그는 이러한 현상들을 분석하여 자연의 힘과 그 힘에 관련된 간단한 규칙을 구한 후, 이것들을 종합해서 나머지 것들의 구조를 밝혀 내는 분석적 사고와 종합적 사고를 과학에 도입하여, 이로 인해 근대적인 과학적 사고로의 전환을 이루게 하였다.

저자 소개

『뉴턴(Isaac Newton ; 1643~1727)』은 잉글랜드 동부 링컨셔의 울스소프에서 태어나, 1669년에는 스승인 베로의 석좌 교수직을 이어받아 수학을 강의했다. 그는 반사 망원경을 제작했으며, 1687년 핼리의 권유로 『프린키피아』를 출판하였다. 한때 조폐국 감사, 조폐 국장 또한 케임브리지 대학 선출 국회의원을 역임하기도 했으며, 1703년 왕립 협회 회장에 선출되어 죽을 때 까지 그 지위에 있었다. 1705년 작위를 받고, 1710년 그리니치 천문대 감찰 위원장에 취임했다. 평생을 독신으로 지냈고, 1727년 런던 교외의 켄징턴에서 생을 마감하였다.

그의 저서인 『자연 철학의 수학적 원리(Philosophia naturalis prin-cipia mathemetica)』는 흔히 『프린키피아』라고 불리 운다. 이 책은 당시 지식인 세계의 언어였던 라틴어로 쓰여 졌는데, 제1권과 제2권은 운동 현상의 일반적인 법칙들을 설명하고 있으며, 제3권은 이 법칙들을 적용하여 우주의 구조를 밝히고 있다.

그의 업적의 대단히 중요한 부분이 중력의 인력과 프리즘을 통한 빛의 투과와 관련되어 있다는 것은 사실이다. 그러나 그의 업적이 지닌 더 중요한 의의는, 관측 사실들과 과학의 문제들을 보는 새로운 방법을 도입한 점과 낡은 접근 방법과 낡은 전통으로부터 근대적인 과학적 사고 방법으로의 전환을 이루었다는 점이다.

생각해 볼 문제

뉴턴적 세계관과 양자 역학적 세계관이 어떻게 다른지 자료를 찾아보고, 그 차이점에 대해 친구들과 이야 기해 보자. 또, 그러한 인식의 틀이 보여 주는 차이가 세계를 인식하는 데 어떤 영향을 미치는지에 대해서 도 생각해 보자.