군론 [수학문제 푸는 동네] |G|=49 인 군은 단순군이 아니다.

[폭풍속으로]

[질문 - "포트란77" 님]
군 G에 대한 위수가 |G|=7^2 일 때 군 G가 단순군(simple group)이 아님을 보여라.
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군 G가 가환군임을 어찌저찌해서 보였는데요.
가환군의 부분군은 정규부분군이고요.
결국 단순군임을 보여야하니 위수가 7인 부분군밖에 없으니, 위수 7인 부분군이 존재함을 보여야하겠죠.
이걸 어떻게 보여 줘야죠?
답에 보니 "라그랑쥐정리에 의해서"라고 나왔는데,
이건 라그랑쥐정리 역으로 위수 7인게 존재한다는 말인데
라그랑쥐정리 역은 성립안하는 것으로 알고 있는데요.
어떻게 위수7인 부분군이 존재함을 보여줘야 될까요??

[꼬리말 - "폭풍속으로"]
가환군에 대해서는 라그랑즈 정리의 역이 성립합니다.

[꼬리말 - "좀생이별" 님]
책에서 p-Group 부분을 찾아보면 될듯하네요.

[꼬리말 - "폭풍속으로"]
일반적으로, 임의의 소수 p에 대하여 p^2을 order로 갖는 군은 abel군입니다.
sylow정리를 찾아보시면 증명이 나와있을거에요.

[꼬리말 - "JH Law"]
finite abelian gp에 대해서는 라그랑제 역정리가 성립합니다.