7,8월 58~60번 관련해 질문이 있습니다

[초록단풍잎]

1. 60번의 답지 해설을 보니, [-1, 1]에 대해서, 구간 3개를 나누어서  구간 2개에 대해서는 함수의 유계를, 구간 1개에 대해서는 일반화된 적분의 평균값 정리와 수열의 연속 판정법을 이용해서 해결한 것을 확인할 수 있었습니다. 아래와 같이 [-1,0], [0,1]로 나누어서 해도 되는지 궁금하여 글을 올립니다.

2. 58~60번을 풀면서 궁금한 점이 있는데, 하나의 구간 [0, 1]을 A_n=[0, 1/sqrt(n)], B_n=[1/sqrt(n), 1]로 나누어서 적용하는 것을 확인할 수 있습니다. 여기서 B_n에 대해서 극한을 보낼 때, 함수가 닫힌구간에서 유계임을 이용해 해결하는 것은 이해가 됩니다. 일반화된 적분이 관한 평균값 정리를 적용하지 않는 이유가 궁금합니다.

[김성희]

1. 풀이 방법은 같게 하는데 구간을 두 개로 나눈다는 뜻인가요? 그러면 g_n에 |x|가 들어있으니 [-1, 0]에서의 전개는 [0, 1]에서와 살짝 달라질 수 있으니 두 경우 모두 풀이과정을 써줘야하겠죠.

2. 59번의 경우로 살펴보면, [1/root(n), 1]에도 적분에 대한 평균값 정리를 적용하면 c_n∈[1/root(n), 1]이어서 {c_n}의 수렴성이 보장이 안 됩니다. 그래서 유계성으로 이 부분을 해결합니다.

[초록단풍잎]

글을 다시 보니, 1번에 질문을 제가 이상하게 질문했었습니다. 죄송합니다.

1번에서 궁금한 점은 [-1,1]을 0을 기준으로 분할했을 때, [0,1], [-1,0]에서 각각 58, 59번처럼 해결해도 되는지가 궁금했습니다.

즉, [-1,1]을 0을 기준으로 분할한 후,
[0,1]=[0,1/sqrt(n)]∪[1/sqrt(n),1]
[-1,0]=[-1,-1/sqrt(n)]∪[-1/sqrt(n),0]이고,
58,59번처럼 [0, 1] , [-1,0]에 대해 [0, 1/sqrt(n)], [-1/sqrt(n), 0]에서는 일반화된 적분에 대한 평균값 정리, [1/sqrt(n), 1], [-1,-1/sqrt(n)]에서는 닫힌구간에서 유계임을 이용해도 되는지가 궁금했습니다.

질문 전달을 이상하게 해드린 점 다시 한 번 죄송합니다.

[김성희]

저도 위 내용으로 이해하고 답변 드린건데 제 답변도 이상했나보네요. 두 구간으로 나눠서 해도 됩니다. 다만 |x|가 포함되어 있어서 두 구간으로 나눠서 풀이할 때 두 풀이를 모두 써야하니 효율성을 위해 기존 풀이대로 하는게 좋겠죠.