혼돈 속의 혼돈

[청산]

https://m.youtube.com/watch?v=7EpWszI-8o0&feature=youtu.be

무질서하게 보이는 혼돈 속에서도 논리적인 법칙이 존재한다｜카오스 이론

혼돈 속의 혼돈...

혼돈 속의 혼돈 제멋대로 모인 퇴적,
모든 요소가 뒤섞여 있네.
축축한 것은 메마른 것과,
둥근 것과 모진 것,

차거운 것은 뜨거운 것과,

단단한 것은 부드러운 것과,
낮은 것은 높은 것과, 쓴 것은 단 것과 섞여 다투고 있다.
요컨대 이 싸움에서 흙은 공중에 있고, 하늘은 땅 속에 있다.
흙, 공기, 불은 바다 속에 있고,
바다, 불, 흙은 공중에 머물고,
공기, 바다, 불은 땅 속에 있고,
그리고 흙은 공기, 불, 바다 속에 있다.

[........]

모든 것은 아름다움도, 

규칙도,
빛도 없고,
모든 것은 정해진 형태도, 

움직임도
영혼도 없다.
불은 조금도 불이 아니고,
바다는 조금도 바다가 아니고,
대지는 대지가 아니고, 

공기는 조금도 공기가 아니었다.
혹은 공기, 불, 흙, 물의 본체가,
이렇게 세상에 이미 있다 하더라도...
공기는 투명하지 않고, 

불은 뜨겁지 않고, 대지는 견고하지 않고, 물은
차갑지 않다.

이 무슨 도리인가?
혼돈 속의 혼돈이!

戶堂 金建佑의 글씀.

카오스 이론(Chaos Theory)

분류: 물리학, 수학, 이산수학, 해석학(수학), 과학철학

1. 개요

Chaos Theory

혼돈이론이라고도 한다. 영화 나비효과와 소설 쥬라기 공원으로 잘 알려져 있다. 요즘은 그보다 조금 더 구체화된

형태의 복잡계(Complex Systems)이론이 존재한다. 참고로 두 이론은 서로 용어가 조금씩 다른데,

SERI(Samsung Economic Research Institute,  삼성경제연구소) 복잡계연구소에 따르면 카오스 이론에서의 "복잡하다"는 complicated,

복잡계 이론에서의 "복잡하다"는 complex라고 쓴다고 한다.

2. 설명

카오스란 초기 조건에 극히 민감한 결과를 갖는 시스템을 가리킨다.

1960년대 미국의 어느 기상 연구소에서 에드워드 로렌츠(Edward Lorenz)라는 기상학자가 3계 미분방정식을

풀던 중 소수점 셋째 자리 미만을 생략했는데, 전혀 엉뚱한 기상 예측이 나오고 말았다. 이를 나중에 검토하던 중

초기 조건을 아주 미세하게 다르게 입력했을 때 예측되는 기상 상태가 극심하게 차이가 난다는 것을 발견하게 된다. 이를 계기로 미세한 오차가 다른 오차를 낳고, 새로운 오차가 또 다른 오차를 낳는 식으로 연쇄 효과를 일으켜

큰 오차를 내기 때문에 예측하지 못한 결과가 일어난다는 가설이 제기되며, 이후 카오스 이론으로 명명된 분야에

대한 연구가 시작된다.

사실 수학에서 나오는 개념이지만, 대중적으로는 수학과의 관련성이 덜 알려져 있다. 대체로 나비 효과나

너클볼 같은 데서 자주 인용되는 편. 일단 그나마 대중적으로 알려진 카오스 이론의 대표적인 예로

'로지스틱 수열'을 들 수 있다. 특정한 모양의 점화식을 갖는 수열인데, 해석학이나 미분적분학 연습문제에 자주

볼 수 있다. 정말로 신기한 게 점화식 자체의 상수를 조금만 바꾸거나, 초기값을 아주 조금만 바꿔도 대략 10번째 항 이후부터는 처음에 구했던 수열과 완전히 동떨어진 수열이 나온다. 혼합성, 주기성, 초기조건의 민감성이 카오스

이론의 세 가지 성질인데, 이 세 가지를 모두 볼 수 있는 좋은 예다.

※ 너클볼(Knuckleball)은 야구에서 공이 날아갈 때의 회전을 최소화한 구종을 가리킨다. 스크루볼, 자이로볼과

더불어 현대의 3대 마구(魔球)로 불린다. 공에 회전이 없기 때문에 공 주변의 공기 흐름은 솔기에 걸려 혼란스러운 난기류가 되고, 이로 인해 예측할 수 없는 움직임을 갖는 구종이다. 이것은 타자가 공을 치기 어렵게도 만들지만

투수 또한 공을 원하는 곳으로 던지기 어렵게 만든다. 이러한 어려움은 투구를 안전하게 잡아 내야 하는 포수와,

공이 스트라이크인지 볼인지 판별해야 하는 심판에게까지 적용된다.

흔히 말하는 나비 효과란 카오스 이론의 한 예로서, 베이징(브라질)에서 나비 한마리가 날개를 펄럭인 것이 뉴욕에 허리케인을 불러올 수 있다는 말에서 비롯되었다. 구체적으로 말해서 나비 효과는 카오스 이론의 성질 가운데

'초기 조건의 민감성'을 설명하기 위한 하나의 예시이자 비유이다. 간단히 말해 나비 효과⊂카오스이론이다.

카오스 이론 그 자체가 미래가 예측 불가능하다는 이론은 아니며, 초기 조건을 완벽히 파악할 수 있다면 미래를

예측할 수 있다는 결정론적인 결론을 내포한다. 다만 완벽히 같은 초기조건을 파악하기 어렵다는 것이 골자다.

초기조건의 아주 작은 요소라도 정확히 파악하지 않고 추정치를 입력한다면, 그 추정치의 오차로 인해 완전히

엉뚱한 예측을 내놓게 될 것이기 때문이다. 측정의 정확도에 따른 오차, 계산 과정에서의 반올림에 따른 오차 같은 아주 작은 요소 때문에 최종 결과가 완전히 엉뚱하게 나올 수 있다는 것. 그래도 이런 측정 오차나 계산 오차 같은

요소들만 극복한다면 이론적으로는 미래 예언까지도 가능하다는 게 카오스 이론 자체의 내용이다.

그런데 초기 조건에 대한 완벽한 파악이라는 건 '기본입자 하나의 정확한 위치'까지 파악하란 얘긴데, 이건 불확정성 원리에 의해 불가능하다고 알려져 있다. 결국 초기 조건에 대한 완벽한 파악이라는 전제 자체가 충족 불가능하며,

따라서 미래 예언은 불가능하고 이 우주에서 결정론을 논하는 것은 무의미하다는 것이다. 단순히 공돌이나 외계인, 시간과 예산 따위를 막대하게 갈아넣는다고 해결할 수 있는 일이 아니라, 이 우주 안에서는 아예 이론적으로

불가능한 일이라는 것.

20세기 후반에 들어 프랙털 이론과 결합하였을 때 자연현상을 시뮬레이션하는 좋은 방법이 된다는 것이 알려졌고, 현재 많은 분야에서 응용 중이다. 쉽게 접할 수 있는 것으로는 컴퓨터 그래픽으로 지형 및 구름, 물결 등을 묘사할 때 이 개념이 쓰이고 있다.

※ 프랙탈(Fractal)구조란 

프랙탈이란 부분과 전체가 크기만 다를 뿐 똑같은 모양이 무한히 계속되는 자기유사성을 가진 기하학적 구조이다. 일정한 기하학적 패턴을 보여주는 프랙탈은 해안선, 눈송이, 양치류 식물, 나무껍질 등 성장 또는 복제와 관련해서 자연 곳곳에 숨어 있다. 눈송이는 정삼각형이 특정한 패턴으로 만들어지면서 점점 커진다. 양치류 식물에서 잎의 각 부분들은 마치 잎 전체를 축소해 놓은 것처럼 보이는데, 한 부분을 확대하면 잎 전체의 모양과 같아진다. 이것은 성장 단계마다 재설계되는 것이 아니라 처음의 모양 그대로 복제되는 자연 속의 숨은 질서를 보여 준다. 생명체 고유의 특성을 전달하는 유전자의 DNA 역시 기하학적 나선 모양으로 스스로를 복제한다.

리처드 3세에 대한 어느 영국 전래 민요가 나비 효과를 잘 묘사하고 있다.

못 하나가 없어서 말 편자를 잃었다네.

말 편자가 없어서 말을 잃었다네.

말이 없어서 파발병을 못 보냈다네.

파발병을 못 보내서 소식을 못 전했다네.

소식을 못 전해서 전투에서 졌다네.

전투에서 져서 왕국을 잃었다네.

못 하나가 없어서 모든 것을 잃었다네.

For Want of a Nail

※ For Want of a Nail(1. 아주 사소한 일 때문에, 2. 못 하나 부족하기 때문에)

(proverb) Due to a minor inconvenience or mishap, (something much worse has happened).

The full proverb is “For want of a nail the shoe was lost. For want of a shoe the horse was lost. For want of a horse the rider was lost. For want of a rider the battle was lost. For want of a battle the kingdom was lost. And all for the want of a horseshoe nail.” ※ All for the Love of a Girl

e.g. If only you'd taken your car in for an oil change when you were supposed to, this emergency trip to the mechanic could have been avoided. Ah, for want of a nail.

영어 관용어의 유래.

for want of a nail은 "못 하나 부족하기 때문에, 극히 사소한 일 때문에"란 뜻입니다. 매우 사소한 것 하나가

큰 결과를 초래할 수 있다는 말입니다.

벤저민 프랭클린은 못 하나가 부족하기 때문에 벌어진 일을 다음과 같이 묘사했습니다.

"For want of a nail the shoe was lost, For want of a shoe the horse was lost, For want of a horse the rider was lost, For want of a rider the battle was lost; And all for the want of a horseshoe nail."

(못 하나 부족하기 때문에 말굽을 쓸 수 없고, 말굽 하나 때문에 말을 쓸 수가 없고, 말 하나 때문에 기병을 쓸 수

없고, 기병 하나 때문에 전투에서 졌고, 전투 하나 때문에 왕국을 잃었다네. 이 모든 게 말굽의 못 하나 때문이라네).

출처: [네이버 지식백과] nail(교양영어사전1, 2012. 10. 22., 강준만)

3. 기타

제임스 글릭의 책인 『카오스 - 새로운 과학의 출현』에 자세히 설명되었다.

※ “카오스”(Chaos Making a New Science), 제임스 글릭(James Gleick)

"Chaos is governed by a simple set of rules, but there are absolute limits to predicting future states."

(카오스는 하나의 단순한 규칙에 의해 지배되지만, 미래의 상태를 예측하는 데에는 절대적인 한계가 있다.)

"카오스: 새로운 과학의 탄생"은 1987년 출간된 제임스 글릭(James Gleick)의 책으로 현대 과학에서의 카오스

이론을 소개한 것으로 유명하다. 이 책은 과학사, 수학, 철학 등 다양한 영역을 아우르며, 카오스 이론의 개념과 그에 따른 과학적 발견들을 설명한다. 글릭은 카오스에 대한 우리의 관점을 변화시키고 이를 통해 우리가 세상을

이해하는 방식을 변화시키는 과학적 혁명의 시작을 제시한다. 그는 카오스 이론이 과거의 전통적인 과학적 접근법을 뒤엎으며 새로운 시각을 제시한다고 주장한다. 이 책은 카오스 이론을 다룬 첫 번째 대중적인 저서로서 과학과

기술이 어떻게 우리의 세상을 이해하는 데에 새로운 관점을 제공하는지에 대해 탐구한다.

제임스 글릭

쥬라기 공원에서 중심적으로 다루어지는 주제이며 작중 등장하는 이안 말콤의 주 전공이다.

※ '쥬라기 공원'(영어: Jurassic Park)은 1993년 개봉한 미국의 SF 모험 영화이다. 마이클 크라이튼이 지은 SF 소설 『쥬라기 공원』을 원작으로, 스티븐 스필버그 감독이 연출하고 원작자 크라이튼과 데이비드 켑 각본가가 각색하였다. 쥬라기 공원 영화 시리즈의 첫 번째 작품이다.

쥬라기 공원(Jurassic Park)

학문의 어려움을 논할 때는 항상 빠지지 않고 등장하는 일종의 개그 소재로 주로 등장한다.

인간의 학문 중에서 가장 어려운 학문은 전자기학이다. (풀이가 어려울 뿐이지 어쨌든 풀면 정확한 값이 나온다.)

양자역학은 신의 학문이다. (풀어도 확률만 나온다.)

카오스 이론은 신도 버린 학문이다. (확률마저 알 수 없다.)

가령 이런 식. 사실 어렵다기보다는 애초에 불가능에 도전한다고 보는 편이 좀 더 맞다.

유비소프트(Ubisoft)의 게임 스플린터(Splinter Cell) 시리즈 3번째 작품에 이 이름이 붙었다. 자세한 것은

스플린터 셀: 혼돈 이론 참조.

스퀘어 에닉스(スクエニ, Square Enix, 또는 스퀙스, SQEX)의 게임 Life is Strange의 3번째 에피소드에

이 이름이 붙었다. 자세한 내용은

Life is Strange 스토리 참조.

프랑스의 수학자이자 물리학자 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)가 물리학의 n체문제를 풀던 중 카오스 이론을

발견했다는 얘기가 있다.

쥘 앙리 푸앵카레(Jules Henri Poincaré)

※ 프랑스의 수학자이자 물리학자. 뉴턴, 라이프니츠, 오일러, 가우스 등과 같이 수학과 물리학의 전 방면에서 엄청난 업적을 남긴 인물이다. 그리하여 과학계에서는 그를 the last universalist(최후의 만능과학자)라고도 한다.

오늘날에는 물리학-수학은 방법론이 서로 접점을 알아보기 힘들 정도로 분리되어 있기 때문에 두 방면에서 동시에 대가로 올라가는 게 매우 어렵다. 현대에는 물리학자가 수학의 일부에만 능할 뿐 수학 자체를 전문적으로 연구하는 경우도 매우 드물다고 할 수 있다. 푸앵카레 사후 물리학은 상대성 이론과 양자역학이라는 핫이슈가 불거지며

초끈이론에까지 이르는 현대물리학이 수립되어왔으나, 푸앵카레 사후 수학은 니콜라 부르바키의 영향으로 엄밀하고 추상적인 공리주의의 길을 걸으며 물리학과의 접점으로부터 멀어지기만 했으니, 푸앵카레 이후 universalist라

할만한 인물은 나오기가 힘들 정도로 두 분야간의 차이가 커졌다.

그는 수학에서는 카오스 이론, 동역학계(Dynamical System), 위상수학, 대수기하학의 아버지이며, 물리학에서는 상대성이론, 천체역학에서 엄청난 업적을 남겼다. 이밖에도 확률론, 미분방정식, 열역학에도 지대한 공헌을 했다.

수리철학 및 과학철학에도 큰 공헌을 남겼다. 임마누엘 칸트의 인식론을 비판적으로 계승 및 보완한 입장을 제시함으로써 20세기 철학에 많은 영향을 미쳤다. 푸앵카레는 칸트가 수학 명제를 선험적 종합(Synthetisch a Priori) 명제라고 규정한 것을 받아들였지만, 유클리드 기하학을 유일무이한 기하학으로 보는 칸트의 견해를 수정하여

기하학에 대한 규약주의(Conventionnalisme)를 제안한 초기 철학자이고, 푸앵카레의 철학은 논리 실증주의를

거쳐 현대 철학에서도 서양 철학사 가운데 고전적인 입장이다.

Exponential Idle의 8번째 이론으로 등장한다.

※ Exponential Idle은 캐나다의 박사과정 학생 Gilles-Philippe Paillé가 개발한 방치형 게입이다. Exponential은 '지수적인'이라는 뜻이고 Idle은 방치형 게임이라는 뜻이다. 이름에서부터 알 수 있듯이 주된

내용은 수학적인 것들이다.

4. 관련 문서

1) 양자역학(量子力學, Qantum Mechanics):

전자·양성자·중성자·원자와 분자를 이루는 다른 원자구성입자들의 운동을 다루는 수리물리학의 한 분야

2) 불확정성 원리:

'불확정성 원리'(不確定性原理, Uncertainty Principle)'는 독일의 물리학자인

베르너 하이젠베르크가 제창한 물리학 이론으로, '어떤 입자의 위치와 운동량을 일정 기준 이하로 정확하게

측정할 수 없다'는 원리다.

쿠르트 괴델의 불완전성 정리, 케네스 애로우의 불가능성 정리와는 이름이 닮아 있으나 다른 것이다.

3) 나비 효과(Butterfly Effect):

작은 나비의 날갯짓이 태풍을 만든 장면

4) 스노볼(SNOBOL, String Oriented Symbolic Language):

분야: 프로그램 언어

스트링(기호열)을 처리하기 위하여 벨 연구소에서 개발한 언어. 형태부합(pattern matching) 등의 패턴 인식이나 색인, 문헌 목록의 편집, 대수식의 기호처리, 프로그램의 컴파일링 등의 분야에서 이용되며, 기호열(문자열)

데이터의 처리에 대한 완전한 기능을 제공하는 첨단 언어이다. 

5) 통계역학(統計力學, Statistical Mechanics):

물리학의 한 분과로, 계의 상태를 통계적인 방법론(확률론 등)에 따라서 해석하고 연구하는 분야다. 주로 연구

대상의 계의 운동 상태(자유도)가 무척 많거나, 수많은 입자를 포함하고 있을 때 확률론 등을 도입해서 계의 운동을 통계적으로 해석해야 될 때 이용된다. 과목의 특성상 열역학과 밀접한 관계를 가지고 있어 자주 열역학과 세트로

엮이며, 공대에서도 주로 배우는 열역학과는 다르게 이쪽은 순수 물리학 전공에서 다뤄지는 경우가 많다. 학문의

발전에 따라 통계역학은 양자역학, 정보 이론 등의 분야와도 융합되어, 현대 물리에서는 어느 분야에서든지 약방의 감초처럼 쓰인다. 통계적인 해석이 필요할 때 알게 모르게 섞여 들어가있는 경우가 많다.

궁극적인 목표는 이렇게 분석한 대상을 다른 것까지 일반화시킬 수 있도록 절대적인 거시 법칙을 찾아내는 것이다.

6) 복잡계 이론(Complex System Theory):

복잡계 이론은 구성 요소들의 관계가 시스템의 집합적 행동을 발생시키는 메커니즘과 시스템이 환경과 상호

작용하면서 관계를 형성하는 방법을 연구하는 과학이다. 복잡계는 무수한 요소가 상호 간섭하며 어떤 패턴을

형성하거나 예상외의 성질을 나타내거나 각 패턴이 각 요소 자체에 피드백 되는 시스템이다.

복잡계 이론은 자연과학과 사회과학에서 활발히 연구되고 있으며 물리・생물・사회학적 대상을 수학적으로

분석하는 것이 목적이다. 예를 들어 물리학에서 통계역학을 이용해 다체문제의 협동 현상을 탐구하거나 경제학에서 계를 이루고 있는 많은 개체들이 상호 작용하는 현상을 다루는 행위자 기반 모형 연구가 복잡계 이론을 활용한

것이다.

7) 창발(創發):

창발 또는 떠오름 현상은 하위 계층(구성 요소)에는 없는 특성이나 행동이 상위 계층(전체 구조)에서 자발적으로

돌연히 출현하는 현상이다. 또한 불시에 솟아나는 특성을 창발성(영어: Emergent Property) 또는 이머전스

(영어: Emergence)라고도 부른다. 자기조직화 현상, 복잡계 과학과 관련이 깊다.

8) 브라운 운동(Brownian Motion):

현상을 처음 연구한 박사의 이름을 따서 브라운 운동이라 지었다. 브라운은 수정과정을 연구하다가 꽃가루가

물속에서 '진동운동'함을 발견한 후 유리, 담배연기 등의 입자들도 이 운동을 한다는 것을 확인했다.

물질이 밀도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 퍼져나가는 것을 확산이라고 하는데 확산은 브라운 운동을 거시적으로

보이는 것이다. 브라운 운동을 하는 수많은 실례 중에는 오염물질의 대기 내 확산, 반도체 내에서 양공의 확산,

생체 기관의 뼈 내부에서 칼슘의 확산 등이 있다.

1905년 아인슈타인과 스몰루코프스키는 비슷한 시기에 브라운 운동에 관한 정량적 이론을 만들었다. 1903년

초미세현미경의 등장은 정량적인 연구에 도움을 주었다. 물리학자 페랭은 아인슈타인의 분석을 증명하여

1926년에 노벨 물리학상을 수상했다.

9) 프랙털 이론:  

프랙털(Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 망델브로(Benoit Mandelbrot)의

The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙털의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 예를 들면 카를 바이어슈트라스가 제시한 전구간 미분불능 연속함수는 프랙털의 성질을 보이고 있으며, 더 거슬러 올라가면 야코프 베르누이가 로그함수를 극좌표로 표현하면 자기유사성을 띠는 나선이

됨을 발견한 것이 있다. 어원은 '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래했다.

[1] 복잡계는 투입(input)과 산출(output) 간의 관계를 쉽게 예측하기 어려운 계를 말한다. 반대말은 단순계다.

[2] 한때 이를 다루는 SERI 산하 복잡계 홈페이지에 복잡계 이론 소개글이 있었다. 2005년에는 복잡계를 주제로

책도 펴냈다. 2014년 현재는 SERI 사이트에서 복잡계 홈페이지의 링크가 확인되지 않는 듯.

[3] 이 두 단어는 원어민들 사이에서도 명확하게 구분하기 힘들어하는 것으로 보인다.

[4] 사실 초기 조건에 민감하기만 하다고 카오스가 될 수 있는 것은 아니고, 위상적 혼합가능성과 궤도 밀집성을

가져야 한다. 쉽게 설명하면 위상적 혼합가능성은 시간이 지나면 관찰 결과가 관찰 가능한 모든 상태 전체에

확산된다는 말이고, 궤도 밀집성은 대략적인 주기성을 갖는다는 말이다. 프랙털 이론 참조.

[5] 미래로 갈수록 예측이 맞을 확률은 기하급수적으로 낮아진다.

[6] 다시 말해서 어떤 미래든 그렇게 될 확률 자체는 존재한다.

[7] 광자나 보존입자, 심지어 있는지 없는지도 모르는 중력자까지.

[8] 쉽게 말해서 확률 자체는 분명 존재하는데 변수를 정확히 알 수 없어서 계산할 수가 없는 상황이다.

이 '알 수 없다'는 것은 아직 알지 못한다는 것이 아니라 알아내야 할 것이 수학적으로도 도저히 불가능하다는

뜻이다. 우리가 사는 우주에서는 모를 수밖에 없고 알 수 있는 경우의 수가 0이란 뜻이다. 우리 우주에서 빛보다

빠른 존재나 절대 0도 아래의 온도가 없는 이유와 같다. 이에 대한 문제가 2009학년도 서울대학교 정시 논술에

출제되었다.

[9] 다만 이는 바꿔 말하면 무조건 100% 적중하는 예언은 불가능해도 99% 적중하는 예언은 이론상 가능하다는

얘기가 된다.

[10] 말을 타고 달려서 멀리 떨어진 지역에 소식을 전하는 병사. 파발병이 아니라 기사라는 기록도 있음

[11] 작중에서는 인조 공룡들이 모두 암컷이라 번식도 불가능하고 모든 개체수가 통제돼있는 상태라고 안전하다며 누누히 설명했지만 그 인조 공룡들도 결국에는 자연의 일부인지라 키메라들간의 자웅동체로 번식을 할 수 있는

개체들이 생겼으며 지속적으로 추적되고 있다는 개체수는 정작 고정된 변수값으로 프로그램돼서 있어야 할 숫자만 딱 띄워줘서 의미가 없었다.

[12] 현재 카오스 이론이라는 이름으로 실사영화시리즈의 외전작이 나왔다.

재경구구회 호당 김건우 동문이 단톡방에 올린 글을 옮겨온 글로 편집