큼냐...~_~;;;

[jys34]

............ 크으......... 뭔가 안 것 같긴 한데.... 제대로 안 건지.....

한번 적어볼께요.......
(디락델타함수가 임의의 점에서의 측정치들을
무수히 많은 고유상태로 본다는 비스무리한 내용인데요=_=;....)

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양자는 물리적 실체가 입자처럼 행동하고, 그 행동양식은 확률파처럼 보인다.

입자와 확률파 사이의 물리량들 관계는   
E=(hbar)*ω   ,  (vec)p = (hbar)*(vec)k
로 볼 수 있다.

(즉, E와 p가 양자화 된 것이 결과적으로 측정치를 입자처럼 행동하는 물리적 실체를 측정한 것처럼 보이게 된다.)

state ket lΨ> 은 어떤 입자나 물리계에 대한 모든 정보를 갖고 있다.

state ket은 basis ket과의 선형 결합으로 표현이 된다.

basis ket은 어떠한 물리량의 고유값방정식에서 나오는 eigen ket들로 만들 수 있다.

예를 들어,
x에 대한 고유값방정식을 풀었을 때, x에 대한 basis ket 으로써 state ket을 표현할 수 있다.

( x(op) = x 이다.   이것은 x가 파라메터라는 것과 연관이 깊다.)

xlx> = x0lx>

여기서 lx> 의 고유상태라는 것은 임의의 측정치이다.
(x는 연속적인 값으로 임의의 값을 가질 수 있다.)

어떤 x값인 x0에 대해 eigen ket은 

lx> = δ(x-x0)   이다.

(즉, lx>는 x가 x0에서 측정된 것을 말한다.
x0의 측정값은 일정한 범위 안에서 어떤 값(실수값으로)이든 가질 수 있으므로,
lx> 는 연속적으로 무수히 많다.)

(즉, x같은 연속적인 물리량은 무한히 많은 델타함수로써의 eigen ket을 가진다.

같은 말로 하면 x의 고유상태는 연속적으로 무한히 많다.)

이 x에 대한 eigen ket은 lx>을 basis 로 하는 hilbert space를 이룬다.

이 hilbert space 에서 state ket을 표현하게 되면,

lΨ>  = ∑ c(x0) lx0>       
         x0

여기서 lx0> = δ(x-x0)이다. x0은 임의의 실수값을 가질 수 있다.

또한 여기서

<xlΨ> = Ψ(x) 로 쓸수 있는데,
그 수학적 이유는 델타함수의 적분 성질에 의해서이고,
물리적 이유는 델타함수가 한 점에서의 함수값을 대응하게 해주므로,
x0을 임의로 놓았을 때, 임의의 내적을 함수로 볼 수 있다.

(즉, x에 따라서 c가 바뀐다면, 일반적 c의 형태를 Ψ(x)라는 x의 함수로 본다는 것이다.)

실제로 <xlΨ> = Ψ(x) 는
x에 따른 확률밀도이다.(즉, lΨ>라는 상태에서 x가 x0로 측정될 확률이 c이므로..)

즉, 임의의 x에 대해서는 Ψ(x)가 

x에 대한 wave function이라고 볼 수 있다.(정확히 말하면 확률밀도의 제곱근)

(실제로 lΨ> = ln> (에너지 고유상태)일 경우에
<xlΨ>=Ψ(x) 을 친숙한 표현으로 구해볼 수 있다.

그 결과는 ln>과 똑같은 형태의(델타함수와의 내적(적분)이므로..)

x에 대한 확률밀도함수가 된다.)

마찬가지로(이 경우는 p를 파라메터로 놓은 경우) p에 대한 고유값 방정식을 풀어서,

lp> = δ(p-p0) 를 구하고,

state ket을 이 eigen ket들을 basis로 해서 표현하고,

lΨ> = ∑c(p0) lp0>
        p0

<plΨ> = Φ(p) 를 구해서, 운동량 확률밀도함수,
즉 운동량에 대한 wave function를 구할 수 있다.

마찬가지로 E에 대한 고유값 방정식(정상상태 슈뢰딩거 eq)

Hln> = Enln>

을 풀게 되면,

ln>=lψn> 을 얻게 된다..

(슈뢰딩거방정식의 풀이에서 많이 볼수 있는 eigen function)

(제가 애초에 오개념이었던 게... lx>,lp>와 ln>을 착각해서요 ㅡㅡ;;;; 델타함수의 개념이 부족했기 때문에 그런 것 같음...)

이것도 basis ket으로 해서 state ket을 만들 수 있다.

lΨ> = ∑ cn ln>
         n

이다.

여기서 <nlΨ> = cn 은 lΨ>이 ln>의 에너지 고유상태에 있을 확률(의 제곱근)을 의미한다.

여기서의 ln>은 양자화되었기 때문에 n이 정수일 때만 eigen state가 존재한다.

n=1.4156.. 같은 임의의 실수값에 대한 state는 x,p의 경우와는
달리 존재하지 않는다.

원자 내의 전자궤도가 안정한 이유는 이런 이유 때문이기도 하다.

그리고 ln>은, x-표현에서도, p-표현에서도 쓰일 수 있다.
(연산자를 x-표현으로, 또는 p-표현으로 슈뢰딩거방정식을 풀면된다.)

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함 쭉 써봤어요...... ㅜㅜ 어떤가요?;; 제대로 이해한 건가요...?
(디락델타함수......;; 무섭네요;; 왠지 편리하면서도 야바위같은-_-;)
(미분 첨 배울 때도..... Δt->0 인데 dx/dt 를 구하라니까.. 놀리는 거 아닌가 이런 생각했는데... 델타함수는 한술 더뜨는 것 같은...ㅋ -_-;;)

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p.s.

실제로... E가 꼭 양자화 되는 건 아닌 것 같아요..... 제 생각에도....;;

근데 E가 퍼텐셜이 없는 자유입자일 경우에 연속적이라고 하면....

설마 이것도 델타함수( δ(E-E0) )...?

[jys34]

아.... 근데요.... ㅡㅡ; 전 아직 ln>이 양자화된 경우밖에 못 봤는데...;;; E의 eigen state가 연속적일 때가 혹시 그 밑글에서 말하신 자유입자(lψ>=lp>)에서 그런 건가요? 제 생각엔 lp>와 같으려면 lψ>도 연속적 상태인 것 같은데...

[antivirs]

음냐 제가 밑에 글에서 말한 물리적 실체라는 것은 코펜하겐의 해석에서 말한 용어와는 다른 의미인데... 현상을 관찰하고 이론고 비교해 보자는 의미였는디유... 에공

[antivirs]

글구.. 모든게 무조건 델타함수로 표현되는 것은 아니랍니다. 연속스펙트럼 경우에만 한정되요... 에너지도 양자화 되지 않은 레벨에서는 델타함수로 표현 가능!