쩝..... 대강 감이 오는 것 같기도 하고... 아닌 것 같기도 하고... -_-;;

[jys34]

하지만 계속 올려봅니다......

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1.

<xlx'> = δ(x-x')

이고,

어째서

lx'> ≠ δ(x-x')

인지 알것 같아요........

ket은 function이 되기 전 과정이라는 것.......

즉, <xla> 라는 것은

la> 를 x-space에서 표현한 것이고

또한

la> 라는 a에 대한 고유상태를 x에 대한 function으로 표현한 것이며,

같은 말로

la> 를 x-표현으로 표시한 것이다...

즉, state ket이나 basis ket 같은 ket만의 표현은 말 그대로 추상적인 상태이기 때문에

함수표현같은 것이 부적절하고, 꼭 어떠한 bra과 내적을 한 후에만, 그 표현이 정해지기 때문에 함수로써의 의미를 가지게 된다.

라는 거죠.....

혹은 함수용어를 쓰면, 양자역학에서는 어떠한 고유상태의 집합을 정의역으로 하고, 각각의 고유상태에 대응하는 확률밀도를 '파동함수'라고 부르기 때문에,

어떤 물리량의 기저로 선형결합이 되지 않았는지 알 수 없는 임의의 state ket lΨ>은

함수라 할 수 없다...

(※ 행렬표현도 마찬가지다. 기저를 정해서 성분을 표현하기에 따라 제각각 달라진다.)

라고 해도 같은 말일듯...하구요...

즉, 어떠한 물리량이든지, 고유상태에서는 확률밀도함수를 정의할 수가 있습니다.

바로 내적이라는 거죠.

여기서 ket은 eigen state에 해당하는 것이고, bra와의 inner product는 어떠한 물리량에 대한 확률밀도함수로 ket을 나타낼 것인지를 정해주는 과정이 되는 것이겠죠....

(즉... 정의역을 정해주는 역할....)

음....... 그런대로 맞나요?

(이게 괜찮은 이해방법이라면..... ket을 추상적이라고 한 게 감이 팍팍 오게 되는...-_-;)

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2. 애초에 Dirac notation에 관심을 가진 게 -_-;;; 행렬역학과 파동역학을 포괄적으로

표시한다기에.... 접근을 해봤는데.... 지금은 가장 먼저 하고픈 것이...

일반물리나 현대물리에서 봤던.... 가장 단순한 슈뢰딩거방정식을 푼 것을...

Dirac notation으로 표현하는 게...
(그 전까지 잘못 이해했던 걸로 표현하면 모두 실패했다는..;;)

현대물리책에 보면.... 무한퍼텐셜우물 (0≤x≤L 에서만 U=0, 나머지는 U=∞)

이건 슈뢰딩거방정식(시간에 무관한 정상상태이므로 H에 대한 고유값 방정식)

을 순전히 파동역학 표현으로만 풀게 되면.....

1.고유값방정식 : -(hbar)²(d/dx)²(1/2m)ψn + U(x)ψn = Enψn
                       (---> Hψn = Enψn)

2.고유함수 : ψn(x) = Asin(nπx/L)

3.에너지준위 : En = (h²/8mL²)n²

4.기대값 : ∫*ψnG(x)ψn = <G(x)>

Dirac notation으로
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먼저 중요시 해야할 것은 현대물리책에 나왔던 무한퍼텐셜우물의 예는
state ket이 basis ket(=E eigen ket)이라는 것입니다.

즉,

lΨ> = ln>
인 경우를 생각합니다.

0.고유값방정식1   :  Hln> = Enln>

---> 0번 의 양변에 <xl 를 내적.
1.고유값방정식2   :  <xlHln> = En<xln>

2.고유함수 = x-공간에서의 ln> = <xln> = ψn

3.에너지 준위 = En.

4.기대값 : <xln> = ψn 이므로
           <nlx>G(x)<xln> = <nl(lx>G(x)<xl)ln> = <nlG(x)ln> (?)

           (??? ∑lx><xl = ∫ dx lx><xl  = 1 로 봐서는...
           
            lx>G(x)<xl = G(x) 이 성립할 것 같은데..
            전체적으로 <nl~ln>인 내적의 형태이니.. 적분안에 들어있는 꼴이니까요..)
           
            (그렇지만.. 약간 논리의 전개가 매끄럽지 못하네요....;)
            (좀 더 꼼꼼히 봐야 하나......;) (<-원래 그냥 추측한것이 가까우니..;;)

질문하나; : <xlHln> 라는 건 뭘 뜻하나요?
            x-표현으로 된 연산자H가 ln> 에 작용했다고 해야 하나요?
            (<xlH)ln> 이런 느낌이 강하게 오는데요....

p.s.

이번엔 아주 잘못 갔다는 느낌은 안 드는데.... 작은 부분에서.. 궁금한 게 생기네요....
한 가지 확실하게 느끼는 건... bracket은 참 재밌다는.....

l학생> , l메롱> , l멀미> ..... 같은 ket도 만들 수 있다는 거...
정말 재밌어요 ㅋㅋ

물리에서 가장 많이 쓰이지만, hilbert space는 굉장히 재밌는 공간.. ㅎㅎ

[MrPsi]

와.. 짝짝짝... 그동안 열심히 질문하더니 많은 것을 얻었군요... jys34님은 수준이 웬만한 대학생 정도는 되는 것 같아요... 물리 공부하는 사람은 이정도의 집요함이 있어야 할 것 같애요.. 그리고 여기에서 조금 코멘트를 한다면.. 상태를 추상화 한것처럼 연산자도 추상화 됩니다...

[MrPsi]

피연산자(operand)가 추상적인 켓벡터이므로 이에 작용할 수 있는 연산자는 어떤 켓벡터 |a> 를 다른 켓벡터 |a'>으로 변환하는 일을 합니다. 즉 추상 공간 (abstract space)에서 정의되는 연산자도 추상적이 된다는 말입니다. 추상적인 켓벡터를 어떤 기저를 택해서 행벡터 또는 함수로 표현할 수 있는 것처럼...

[MrPsi]

추상적인 연산자는 어떤 기저를 택해서 행렬 또는 적분 변환 등으로 표현할 수가 있습니다... 예를 들어 고유값 방정식은 Hln> = Enln> 인데... 양변에 <x| 를 취하고 H 와 |n> 사이에 1= ∫ lx'><x'l dx' 를 삽입하면... ∫<x|H|x'><x'|n>dx' = En <x|n> = En Ψn(x) 이 됩니다..

[MrPsi]

<x|H|x'> 이것은 연산자 H의 x기저에서의 표현이 됩니다. <x|H|x'>은 델타함수 δ(x-x') 혹은 델타함수의 미분 δ'(x-x') 등을 포함하고 있습니다. 그래서 ∫<x|H|x'>Ψn(x') dx' 의 계산에서 x'에 대한 적분은 x'=x 에서의 Ψn(x')의 함수값 혹은 미분 계수 등이 살아남습니다.

[MrPsi]

따라서 추상 공간에서의 해밀토니안 연산자 H의 고유치 방정식은 x 표현에서 [-(hbar)²/2m (d/dx)² + V(x)] Ψn(x) = En Ψn(x) 의 꼴이됩니다...

[MrPsi]

4. 기대값의 계산에서도... 물리량 G는 추상적인 연산자가 되고 그 기대값은 <n|G|n>의 꼴이됩니다... 이것을 위치 표현으로 바꾸고 싶다면 1= ∫ lx><xl dx 을 두개 삽입해야 합니다.. 이렇게요.. <n|G|n> = ∫∫ <n|x'><x'|G|x><x|n> dx' dx ...

[MrPsi]

여기서 만약 <x'|G|x>가 앞서 말한 델타 함수류(類)이면 x'에 대한 적분은 x'=x 인 경우에만 살아남고 <n|G|n> = ∫ Ψn(x)* G(x)Ψn(x) dx 의 꼴이됩니다...