플라톤의 정다면체

[유토피아]

정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 또 각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 볼록한 다면체를 말한다. 플라톤의 다면체라고도 한다.

플라톤은 정다면체가 5가지 뿐이라는 사실이 몹시 신기했던지 우주를 구성하는 4가지의 원소를 정다면체와 대응시켰다. 흙-정육면체, 불-정사면체, 공기-정팔면체, 물-정이십면체 등 정다면체를 하나씩 대응시켜 정십이면체가 우주를 상징한다고 믿었다고 한다.

5종류의 정다면체는 고대 그리스에서 발견되었으며, 유클리드의 《기하학원본》 최종권(제13권)에 기술되어 있다. 정사면체·정육면체·정팔면체는 오래전부터 알려져 있었지만, 정십이면체·정이십면체는 피타고라스학파에 의해 발견되었다.

정다면체가 이 다섯가지뿐이라는 내용의 증명

한개의 꼭지점에서 세개 이상의 면이 모여야 입체가 된다.

그러나 모인 도형의 각의 합이 360이상이 되면 입체도형이 될수 없다.(360도는 평면이 된다.)

삼각형이 한꼭지점에 3개모이면 정사면체

4개모이면 정팔면체, 5개 모이면 정이십면체가 된다.

6개모이면 각의 합이 360도가 되므로 입체도형이 만들어지지 않는다.

사각형이 한꼭지점에 3개 모이면 정육면체

4개모이면 각의 합이 360도가 되므로 입체도형이 만들어지지 않는다.

오각형이 한꼭지점에 3개 모이면 정십이면체

4개모이면 각의 합이 360도보다 커지므로 입체도형이 만들어지지 않는다.

6각형이 한꼭지점에 3개모이면 각의 합이 360도가 되므로 입체도형이 나오지 않는다.

7각형위로는 모두다 3개모여도 각의 합이 360도를 넘어가게 된다.

정사면체 Tetrahedron (3,3)

정육면체 Cube (4,3)

정팔면체 Octahedron (3,4)

정십이면체 Dodecahedron (5,3)

정이십면체 Icosahedron (3,5)

정다면체의 쌍대성에 관한 문제는 아래를 클릭하세요.

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[출처] 플라톤의 정다면체|작성자 멜

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1. 정다면체는 왜 5가지 밖에 없을까?

고대인들은 우주의 기본 요소가 불, 공기, 물, 흙 4가지라고 생각했어. 그리스의 철학자 플라톤은 불은 정사면체, 흙은 정육면체, 공기는 정팔면체, 물은 정이십면체 모양을 하고 있고, 우주 전체는 정십이면체의 모양을 하고 있다고 생각했어. 정다면체의 발견이나 정다면체가 다섯 종류 밖에 없다는 것의 증명은 피타고라스 학파(피타고라스와 그의 제자들)가 했지만, 플라톤이 쓴 책에 이 내용이 전해지기 때문에 오늘날 정다면체를 플라톤의 도형이라고도 하지.

다면체와 정다면체

다면체는 이름에서도 알 수 있듯이 여러 면으로 둘러싸인 도형을 말해. 다면체의 이름은 면의 수에 따라 정해져. 면이 4개이면 사면체, 5개이면 오면체, 6개이면 육면체, …가 돼.
정다면체는 다면체 중에서 한 꼭짓점에 모이는 면의 수가 같고, 면의 모양이 모두 같은 모양의 정다각형인 것을 말해.
이 다면체를 정다면체라고 해. 이 정다면체는 이 세상에 5개뿐이야. 왜 그럴까? 지금부터 그 이유에 대해서 살펴보자.

정다면체는 왜 5가지 밖에 없을까?

정삼각형으로만 이루어진 정다면체를 알아보자.
한 면이 정삼각형인 경우, 한 내각의 크기는 60°야. 따라서 한 꼭짓점에 정삼각형이 모여서 입체도형을 만들 수 있는 경우는 정삼각형이 3개, 4개, 5개일 때야. 한 꼭짓점에 모여 있는 정삼각형이 6개이면 360°로 평면이 되어서 입체도형을 만들 수가 없어. 또한 정삼각형이 1개나 2개일 때에도 입체도형을 만들 수가 없어. 따라서 각 면이 정삼각형인 정다면체는 정사면체, 정팔면체, 정이십면체로 모두 3가지야.

정사각형으로만 이루어진 정다면체를 알아보자.
한 면이 정사각형인 경우, 한 내각의 크기가 90°야. 따라서 한 꼭짓점에 정사각형이 3개씩 모여야 입체도형을 만들 수 있어. 이 경우도 정사각형 4개가 모이면 360°로 평면이 되어 입체도형을 만들 수 없어. 따라서 각 면이 정사각형인 정다면체는 정육면체 한 가지뿐이야.

정오각형으로만 이루어진 정다면체를 알아보자.
한 면이 정오각형인 경우, 한 내각의 크기가 108°야. 따라서 한 꼭짓점에 정오각형이 3개씩 모여야 입체도형을 만들 수 있어. 이 경우도 정오각형 3개보다 많아지면 360°가 넘어서 입체도형을 만들 수 없어. 따라서 각 면이 정오각형인 정다면체는 정십이면체 한 가지뿐이야.

정육각형으로만 이루어진 정다면체를 알아보자.
한 면이 정육각형인 경우, 한 내각의 크기가 120°야. 따라서 한 꼭짓점에 정육각형이 3개 모이면 360°가 되어서 평면이 되므로 입체도형을 만들 수가 없어. 따라서 정육각형, 정칠각형, 정팔각형, … 은 정다면체를 만들 수가 없어.