첫댓글질문이 체F로 만든 다항식환 F[x]의 두 원소 f(x), g(x) (둘중하나는 0이 아닌)에 대하여 두 원소에 대한 최대공약수를 두 원소의 일차결합으로 표현 가능하다. 라는 것이지요?? 체F로 만든 다항식환 F[x]에서는 나눗셈알고리즘이 성립하고 이때 몫과 나머지가 유일하게 표현됩니다. 이를 토대로 두원소의 일차결합으로 최대공약수를 표현할수있고 유일한것이 증명이 됩니다.(유일성은 최대공약수의 정의를 모닉다항식으로 하기때문에 보장됩니다)
반면에 일반적인 정역에서 최대공약수를 정의할수는있지만 유일성은 보장이 되지 않습니다. 특히 정역이 아닌 환에서는 최대공약수를 따로 정의하지않는것으로 알고있습니다
그러면 일반적인 정역에서 두 원소의 최대공약수는 두 원소의 일차결합으로 표현된다고 보장할수 없습니다. 예를들어 정수환 Z에 대한 다항식환 Z[x]는 정역입니다. 이때 1은 정역에서의 최대공약수의 정의에 의해 x와 2의 최대공약수가 되지만 1은 이 둘의 일차결합으로 표현할수 없습니다.
첫댓글 질문이 체F로 만든 다항식환 F[x]의 두 원소 f(x), g(x) (둘중하나는 0이 아닌)에 대하여 두 원소에 대한 최대공약수를 두 원소의 일차결합으로 표현 가능하다. 라는 것이지요??
체F로 만든 다항식환 F[x]에서는 나눗셈알고리즘이 성립하고 이때 몫과 나머지가 유일하게 표현됩니다. 이를 토대로 두원소의 일차결합으로 최대공약수를 표현할수있고 유일한것이 증명이 됩니다.(유일성은 최대공약수의 정의를 모닉다항식으로 하기때문에 보장됩니다)
반면에 일반적인 정역에서 최대공약수를 정의할수는있지만 유일성은 보장이 되지 않습니다. 특히 정역이 아닌 환에서는 최대공약수를 따로 정의하지않는것으로 알고있습니다
그러면 일반적인 정역에서 두 원소의 최대공약수는 두 원소의 일차결합으로 표현된다고 보장할수 없습니다. 예를들어 정수환 Z에 대한 다항식환 Z[x]는 정역입니다. 이때 1은 정역에서의 최대공약수의 정의에 의해 x와 2의 최대공약수가 되지만 1은 이 둘의 일차결합으로 표현할수 없습니다.