기하학의 태동과 수학의 연구방법

[김동석]

기하학의 태동과 수학의 연구방법

인류의 기하적 개념은 어떻게 발달하였을까?

먼 고대에도 인류의 기하적 고찰은 있었음에 틀림없다.

우리는 이를 세 단계로 나누어 생각하겠다.

 

1.

잠재적 기하학

물리적 형태를 인식하고 크기와 모양을 비교하는 인간의 능력으로부터 나온 간단한 관찰에서 무의식적으로 발생한 모호한 지식을 통털어 이와같이 부르자. 무엇보다도 대부분의 동물에게 본능적으로 인식되는 것으로 여겨지는

거리에대한 개념, 특히 직선이 두 점을 연결하는 가장 짧은 경로임을 인식하는 개념이 최초의 기하학적 고찰로 생각된다. 

삼각형,사각형, 연직 , 평행 , 수직의 개념 등이 벽을 만들면서 생기기 시작하고

해 , 보름달 등을 관찰하여 원판의 개념이 형성되었을 것이다. 

무지개의 호, 통나무의 단면, 돈을 던진 포물선의 궤도, 거미의 정육각형, 원뿔, 사람, 동물, 나뭇잎의 좌우대칭등 자연현상의 관찰로부터도 공간, 곡선, 회전체 등의 개념이 생겨남.
 

2.

실험적 (경험적 ,과학적 , 귀납적) 기하학

B.C 600년까지의 기록된 모든 기하학.

인간의 지능이 구체적인 기하학적 관계들의 모임으로부터 그것을 특별한경우로 포함하는 일반적이고 추상적인 관계를 추출해내게 되었을 때 나타남. --> 기하학적 법칙, 규칙을 얻게됨.
 

EX.	모눈 종이에 직사각형을 그리고 모눈의 정사각형의 개수를 세어 넓이를 측정.
EX.	글자로 나무기둥의 둘레 측정 --> 원의 둘레는 그 원의 지름의 3배보다 약간 길다.
EX.	반구의 겉넓이는 원판의 2배라는 발견(아르키메데스)

이와같은 형태의 기하학은 동양의 경우 BC5000에서 3000년 사이에 발생하여 농업, 상업등의 업무와 종교적인 의식을 도왔던 것으로 여겨진다.

그러나 이 당시의 기하학은 경험적인 법칙의 거대한 모임으로, 일부는 근사적으로만 옳을 뿐이었다.
 

3.

연역기하의 도입

현대적 의미의 기하학은 BC 600년경의 그리스인들에게 그 공적을 돌린다. 그 중탈레스(Thales, Miletus)를 최초의 선구자로 간주하고 있다. 그는 다음과 같은 결과들을 증명한 것으로 믿어진다. 

1.	원은 임의의 지름으로 이등분 된다.
2.	이등변 삼각형의 두 밑각은 서로 같다.
3.	두 직선이 만날 때 이루는 맞꼭지각은 서로 같다.
4.	반원에 내접하는 원은 직각이다.
5.	두 삼각형에서대응하는 두 각이 서로 같고 대응하는 한 변이 같으면 두 삼각혀은 합동이다.

위의 다섯가지 결과는 탈레스 이전에 알려져 있었다. 그러나 탈레스는 이것을 직관이나 실험 대신에 논리적인 추론으로 입증하였다.

이와 같은 기하를 '논증기하' 또는 '연역적 기하' 라고 부르며 BC600 년경 그리스인들에 의해 상당히 발전하였다.

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왜 그리스인들인가? 

당시의 모든 민족중, 특히 그리스 사람들이 기하학적 사실들을 실험에 의한 것 보다 논리적인 증명에 의해서 보장되어야 한다고 결정한 이유를 종종 '그리스의 신비'라고 언급되어 왔다.
 

1.	철학적 탐구에 대해서 고대 그리스인들이 갖고 있던 특유한 지적 경향에서 비롯됨(경험적 방법은 주어진 결과를 옹호하는 약긴의 가능성만 제시)
2.	미술, 조각, 건축에서 보는 것처럼 아름다움에 대한 그리스인들의 애착심. 아름다움에 대한 올바른 평가는 감성적인 경험뿐만 아니라 지적인 경험이다. 그리고 이런 관점에서 연역적인 논증에서 볼 수 있는 질서정연, 무모순성, 완비성, 설득력 등은 매우 만족스럽다.
3.	사회 제도 - 노예에 기초함  특권층이 실험과 실용적인 응용을 멸시하도록 유도. 그러나 그리스인들이 모두 예비적인 경험적이고 실험적인 방법을 피했다고 생각할 필요는 없다. 어떤 수학적 명제가 증명되거나 반증되기 전에 이는 먼저 추측되어야 하는데, 그 추측은 결국 직관, 관찰, 유추, 실험 등의 과정에 의해 그러리라고 생각된 짐작에 불과하다. 연역은 남을 설득시키기 위해 행하는 설명의 형식적인 방법이지만 이것이 발견의 도구는 될 수 없다. 또 연역적인 증명과 반증의 각 단계마저도 오히려 시행착오, 경험, 추측 등에의해 이루어진다. 훌륭한 추측 기술은 유능한 수학자를 양성하는데 필요한 중요 요소중 하나이다.

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공리학의 도입 

그리스의 수학의 처음 300년 동안에 이루어진 가장 큰 성과는 어떤 논제 (discourse)의 시초에 가정된 이미 받아들여진 초기 명제의 집합으로부터 연역법에 의해 얻어진 명제의 나열로서의 논리성에 대한 그리스적 개념이다. 

연역적 과정을 통해 어떤 주장을 피력하는데 있어서, 그 논증의 임의의 명제는 그 논증에서 사용돤 이전의 명제들로부터 유도되어야한다.

그러나 명제 p --->명제 q를 유도하고 그후 명제 q---> 명제 p를 유도하는 순환에 빠지면 안되므로, 그 논제의 처음에 독자들이 받아들일 수 있는 가정을 고정시켜야한다.

• 실질적 공리학의 양식 

 

(a)	논제의 기본적인 전문적인 용어에 대한 초기 설명이 주어져야 한다. (용어들이 뜻하는 바를 알려줌)
(b)	그 기본 용어 들에대한 그리고 초기 설명에 의해 제시돤 성질들에 근거하여 참이라고 독자들에게 받아들여지는 주요한 명제들이 나열된다. 이를 공리(axiom) 또는 공준(postulate)이라고 부른다.
(c)	그 논제의 다른 모든 전문 용어 들은 그 이전에 도입된 용어를 사용해서 정의된다.

• 귀류법 

모순에 의한 증명, 간접 증명법이라고 불림
(히포크라테스가 처음 사용)

하나의 명제가 참임을 증명하기 위하여, 먼저 참이 아니라고 가정하고 이 가정을 이용하여 모순된 결과( 혹은 가정과 반대되는 결과를 얻는다). 결과과 모순이므로 가정은 거짓이어야 한다.

예를 들어, 소수는 무한히 많다는 사실을 다음과 같이 즈명한다. 소수의 개수가 유한하다고 가정한다. 그러면 가장 큰 소수가 존재하므로 그것을 p라 하자. 이 때 수

p! + 1 = p(p-1)(p-2)... 3.2.1 은 1부터 p 까지의 모든 정수로 나눌 수 있으나, p! + 1 은 그 가운데 어떤 수로도 나누어지지 않으므로 소수이다. 그러나 p! + 1 은 분명히 p! 보다 크므로 p가 가장 큰 소수라는 가정에 모순이다. 따라서 가정은 거짓이고 소수는 무한하다.

귀류법(reductio ad absurdum)은 오늘날 까지 많이 사용되는 증명의 방법이다. 그러나 이 증명법은 결점이 있는데, 그 결점이란 어떤 명제가 틀리다고 증명하기 위해서 결과를 미리 알고 있어야한다는 것이다. 맨 처음 이 결과가 어떻게 유도되었는 지 증명에서 엿볼 수는 없다.

엄밀하게 증명되지 않은 사실, 즉 어떤 기본적 가정으로부터 깨뜨릴 수 없는 논리에 의해 유도되지 않은 사실을 사용할 수 있을까? 물리학에서는 절대적으로 가능하다. 우리는 물이, 우주에 있는 모든 물을 끓여보지도 않고서, 100도에서 끓는다고 주장한다. 우리의 주장은 자연에 모순이 일어나지 않는다는 믿음에 근거를 두고 있다. 에너지 보존법칙은 경험에만 근거를 두고 있다. 물리학은 귀납적인 학문이다. 많은 특정한 경험들을 일반화하여 보편적인 법칙을 찾는다.

수학에서의 게임규칙은 이와는 다르다. 수학은 대단히 보편적인 몇 개의 공리와 가정으로부터 많은 정리들을 연역해내는 연역적인 학문이다.

그러나, 수학사에는 특별한 방법과 정리를 실제로도 참임이 엄밀하게 증명되기 전에 사용한 예들이 많았다. 수학에서 진보의 대부분은 물리적인 접근으로 어떤 진실을 발견한 물리학자나 공학자의 공헌이었다고 해도 과언이 아닐 것이다. 그들이 모래위에 집을 지어 놓으면 수학자가 콘크리트로 기초를 다지고 집을 성당으로 개조했다. 대부분 그 이전에 알려졌던 기하학에 대하여 유클리드가 그렇게 했고, 수학의 발전에서 이러한 경향을 종종 찾아볼 수 있다.