[정보글] R등급 1개를 얻으려면 얼마를 써야할까?

[캔디사탕]

안녕하세요, 전 이오1섭 '캔디사탕', 현 닉스4섭 '캔디'입니다.

게시판을 보다가 5,000회 뽑기를 모아서 시도하신 유튜버님이 계셔서 호기심이 동해 아래 세가지를 알아보고자 글을 작성하게 되었습니다. 그래도 나름 2시간이라는 긴 시간을 투자하여 썼는데 자유게시판으로 가면 금방 묻힐까봐 서버게시판에 올립니다!

1) 5,000회 뽑기를 하려면 얼마의 금액과 기간이 필요한가?

2) 5,000회 뽑기 시 합성 없이 순수 뽑기로 R등급을 획득하는 확률은 얼마인가?

3) 50%, 95%, 99%의 확률로 R 등급을 획득하려면 몇 번의 뽑기가 필요한가?

재미삼아 쓴 정보글이니 틀린 부분이 있다면 지적해주시되 무분별한 비난은 거절하겠습니다... ㅋㅋㅋ

아레스를 하면서 많은 분들이 뽑기로 R 등급을 얻으려면 ‘도대체 얼마를 써야하는가?’ ‘얼마가 기댓값인가?’에 대한 고민을 한 번 쯤은 해보셨겠죠. 최근 게시판에서는 ‘플뢰르드리스’님이 소환권 5,000개를 모아서 뽑기하는 영상을 올리시기도 했구요.

https://cafe.daum.net/Ares-RiseofGuardians/amYS/8534

확률적으로 단순히 계산하면 x * 0.02(%) = 100(%)가 되므로, R등급 1개를 얻기 위한 시도의 기댓값은 5,000회입니다. 하지만 우리는 5,000회를 시도하면 누구는 3개를 먹기도 하고, 누구는 하나도 얻지 못할 수도 있다는 사실을 잘 알고 있죠. 이걸 확률과 통계를 통해 설명해보고자 합니다.

일단 ‘R 등급을 얻기 위해 얼마를 써야할까?’를 알기 위해서는 우리는 1회 뽑기당 가격이 얼마인지부터 합의해야합니다. 여기서 가장 중요한 factor 중 하나는 ‘기간’입니다. 왜냐하면 아레스 퍼블리셔인 카카오게임즈는 정가 상품 대비 효율이 좋은 할인 상품을 매주 판매하며, 각 상품에서 제공하는 1회 뽑기당 가격이 모두 다르기 때문입니다. 짧은 시간 내에 R등급이라는 결과를 얻으려면 비용이 더 들어갈 수 밖에 없는 구조인거죠.

1) 5,000회 뽑기를 하려면 얼마의 금액과 기간이 필요한가?

그래서 우선 약 일주일 단위로 약 100만원 정도의 패키지 상품을 구매했을 때 5,000회 뽑기를 하려면 얼마의 금액과 기간이 필요한지를 분석해보았습니다. 

저는 11회 뽑기당 가격을 7,524.5원으로, 1회 뽑기당 가격을 684원으로 가정하였습니다.

가정의 근거는 10월 17일 출시된 프로모션 패키지 2종 + 주간 패키지 2종 + 주말 패키지 2종을 종합하여 산출하였습니다. 계산 방식은 아래와 같습니다.

[계산 방식]

-       뽑기권은 슈트/클래스 선택/탈 것/오퍼레이터를 상관하지 않고 무조건 1개로 계산

-       다이아 2,000당 11회 뽑기로 가정

-       다이아 1,000당 7,000원으로 가정 (중개사이트 평균 거래 가격 참고)

1) 벨라의 소환 상자

-       총 66회 뽑기 (총 3개 판매, 1개당 뽑기 22회)

-       총 가격 3,000 다이아 (=21,000원)

2) 주간 소환 패키지

-       총 176회 뽑기 (5개 판매, 1개당 뽑기 35.2회)

-       총 가격 165,000원

3) 오리온 프라임 패키지

-       총 880회 뽑기 (총 5개 판매, 1개당 뽑기 176회)

-       총 가격 550,000원

4) 오리온 탈 것 패키지

-       총 357.5회 뽑기 (총 5개 판매, 1개당 뽑기 71.5회)

-       총 가격 275,000원

5) 주말 핫딜 패키지

-       총 33회 뽑기 (총 3개 판매, 1개당 뽑기 11회)

-       총 가격 3,600 다이아 (=25,200원)

6) 주말 길드 협력 패키지

-       총 33회 뽑기 (총 3개 판매, 1개당 뽑기 11회)

-       총 가격 3,000 다이아 (=21,000원)

[계산 결과]

-       일주일 기준 1,057,200원을 소비하여 6개 패키지 모두 구매 시 총 1,545.5회 뽑기 가능

-       뽑기 1회당 가격은 684.0504691….로 소수점 이하 버림으로 684원

-       스텝업 상품, 월간 패키지 상품, 그외 프로모션 상품을 추가적으로 구매한다면 비슷한 단위 가격으로 더 많은 뽑기가 가능합니다.

[패키지 구매로 5,000회 뽑기를 위해 필요한 비용과 기간]

-       5,000회 뽑기를 위해서는 약 3,420,000원의 비용과 3주 내지 4주의 기간이 필요합니다.

그렇다면 이렇게

2) 5,000회 뽑기 시 합성 없이 순수 뽑기로 R등급을 획득하는 확률은 얼마일까요?

이를 본격적으로 살펴보기 전에 먼저 시행, 사건, 확률에 대한 간략한 설명을 첨부합니다.

불확실한 결과가 나타나는 과정을 반복하면 이를 실험(experiment) 혹은 시행(trial)이라고 한다. 온라인 게임에서 캐릭터의 장비를 강화한다면 이는 성공 혹은 실패라는 불확실한 결과가 나타날 수 있으므로 시행이다. 확률형 아이템을 구매하여 결과를 확인한다면 이 역시 그 결과가 불확실하기 때문에 또 다른 형태의 시행(trial)이다.

확률형 아이템은 그 결과가 2개가 아니므로 이항 분포(binomial distribution)로 설명할 수 없다. 그러나, 확률형 아이템에서 원하는 아이템이 단 한 가지라면 결과를 ‘성공’과 ‘실패’로 단순화시킬 수 있다. 원하는 아이템이 나오면 ‘성공’으로, 다른 아이템이 나오면 ‘실패’로 간주한다. 혹은 비교적 가치가 높은 아이템을 그룹으로 묶어서 해당 아이템 중에 하나가 나오면 ‘성공’, 그렇지 않으면 ‘실패’로 간주할 수 있다. 이렇게 사건을 단순화시키면 확률형 아이템도 이항 분포로 설명이 가능하다.

[출처]
https://datarian.io/blog/multinomial_dist_for_gachas

우리가 원하는 아이템은 R등급이고, R등급의 등장 확률은 0.02%입니다.

그래서 이 계산에서는 0.02%의 확률로 R등급을 얻으면 ‘성공’, R등급을 얻지 못하면 ‘실패’라고 정의합니다.

이러한 경우, 소환권을 구매해서 결과를 확인하는 과정은 성공 확률이 0.02%인 베르누이 시행(Bernoulli trial)이 됩니다.

성공 확률이 p인 베르누이 시행을 n번 반복했을 때, k번 성공할 확률은 이항 분포(binomial distribution)를 따릅니다. 단순하게 생각하면, R등급이 나올 확률이 0.02%이므로 소환권을 5,000개를 구매하면 R등급 아이템 한 개를 얻을 수 있습니다. 그러나 실제로 5,000개의 확률형 아이템을 구매했을 때 R등급이 나올 확률(=P(X>=1))은 약 63.21%입니다.

[5,000회 뽑기 시 R등급 획득 확률]

이를 바꿔 말하면,

100명의 플레이어가 5,000회의 뽑기를 시도하더라도 R등급을 1개 이상 먹는 유저는 약 63명이고, 나머지 37명은 R등급을 1개도 획득하지 못한다는 결과가 됩니다.

이를 1번의 결과를 함께 정리해보면,

약 한 달이라는 시간 동안 300~400만원을 과금하여 5,000번의 뽑기를 시도했더라도 '뽑기'에서 R등급이 나오지 않은 당신은 약 37%만큼 불운합니다.(ㅋㅋ)입니다.

그렇다면 몇 번의 뽑기를 해야만 원하는 결과를 얻을 수 있을까요? 바꿔 말해서,

3) 50%, 95%, 99%의 확률로 R 등급을 획득하려면 몇 번의 뽑기가 필요할까요?

이 확률을 구하려면 위 출처글에서도 나와있듯이 음이항 분포(negative binomial distribution)를 활용합니다.

이는 목표한 성공 횟수에 도달하기 위해서 얼마나 많은 실패가 필요한지 실패 횟수 r에 대한 확률을 계산하는 것입니다.

R등급 아이템 한 개를 50% 확률로 획득하기 위해서는 3,465회의 뽑기를 시도해야합니다.

이를 바꿔 말하면, 3,465회의 뽑기를 시도하더라도 100명의 플레이어 중 50명의 플레이어는 R등급을 얻지 못합니다.

위 6개 패키지를 모두 구매하는 것을 기준으로 약 2~3주간의 시간과 약 2,370,060원의 금액이 소요됩니다.

> qnbinom ( .5 , 1 , .0002 )
[1] 3465

R등급 아이템 한 개를 95% 확률로 획득하기 위해서는 14,977회의 뽑기를 시도해야합니다.

위 6개 패키지를 모두 구매하는 것을 기준으로 약 10주간의 시간과 약 10,244,268원의 금액이 소요됩니다.

> qnbinom ( .95 , 1 , .0002 )
[1] 14977

R등급 아이템 한 개를 99% 확률로 획득하기 위해서는 23,023회의 뽑기를 시도해야합니다.

위 6개 패키지를 모두 구매하는 것을 기준으로 약 15주간의 시간과 약 15,747,732원의 금액이 소요됩니다.

> qnbinom ( .99 , 1 , .0002 )
[1] 23023

정말 운이 나쁘다 못해 지옥에 처박힌 플레이어도 있기 때문에 100% 확률로 R등급을 획득할 수 있는 시도 횟수는 없습니다.

네, 이게 끝이구요.

그럼 좋은 밤 되세요!

아레스 방송하는 우리 킴든형 파이팅!!

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[사쿠라 미코]

미코 80쓰고 처음 나온뒤로 쭈욱- 나가리다녜

[조금더김숙희]

미코 생일이언제냥? 몇월달?

[사쿠라 미코]

3월 5일인케도..

[조금더김숙희]

양력3.5일이면 쫌추울때니깐 따듯할때가 운이좋을가능성이 크니깐.뽑기할때 밤에하지말고,낮에 11시쯤부터 한5시정도사이에하고,한번시도할때 6장정도까지만하고,안나오면그다음날낮에또 6장정도까지만하고,반복하다보면..알뽑을수있음..인내가필요함

[비현]

25만원으로 R오퍼 하나 나온 뒤로 쭈욱- 나가리다녜 :(
이로써 더 이상 현질 하지 않아야 할 수학적 근거가 생겼다

[조금더김숙희]

그니깐..나올땐쉽게나온대도..

[빡친고양이]

저는 나온다/안나온다 확률만 계산했는데 1개나올확률 2개나올확률... 까지 훌륭합니다
근데 합성해서 나올 확률 + 합성 실패해서 나온 하위 등급 4개를 재확성해서 나올확률 까지 계산하려다 저는 머리 터져 죽었습니다 꽥

[캔디사탕]

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 합성 확률까지 가면 저는 저녁을 걸러야 해서... 포기!

[조금더김숙희]

돈이벌릴땐 진짜거짓말처럼쉽게 잘벌리고,안벌릴땐 죽어라안벌리고..그럴때가많음..마찬가지로 알나올때는 몆장시도안했는데도 거짓말처럼..이렇게쉽다고?할정도로 나오고 안나올때는 진자 5000장까도 안나오기때문에 하루에 10장이상 시도하는건비추..내가5000장이있다면 하루에 나눠서 예를들면 하루에100장씩 매일 하는게 알뽑을확률이 더높음..일반인들은 언제가 운좋은날인지 모르니깐 매일하다보면 운좋은날 한번쯤은 걸리니깐..그때 알나올확률도높음

[캔디사탕]

네 맞아여 이게 그냥 확률과 통계는 이론일 뿐, 자기 자신이 만족하는대로 즐기는 게 우선이죠~~

[조금더김숙희]

[캔디사탕]

감사합니다!! 헤헿

[캔디사탕]

[a mop girl]

캔디님 최고닷!

[a mop girl]

캔디님 최고닷!

[캔디사탕]

감사합니다 :)

[레나제인]

로그인하게 만들다니..
이럴 시간에.. 아 아니야 고생했서

[캔디사탕]

이럴 시간이 제일 재밌었다 ㅠㅠ

[이오 4]

캔디형 보고싶어여

[캔디사탕]

누구야...

[이오 4]

나 소나기!

[캔디사탕]

아 별빛소나기 ㅎㅎㅎㅎㅎ
요즘도 칼질 잘하구 다니나요 형
이오 123 연합한다든데

[이오 4]

형아니라 동생이거든!!

[꼬망님]

다른건모르겟고 본좌가 진심으로 글쓴이에게 감탄햇도다...글쓴이(캔디사탕)에게 북부의 영지와 서남쪽영지 하나를 하사하고 R 오퍼,R탈것 1개씩을 내리도록 명하겟도다.

[꼬망님]

당장 시행하라

[캔디사탕]

가..감사하나이다..

[지스타]

정성글 좋네요!! R 하나당 237만원에 뽑으면 운이 좋은편이군요!

[ARES!!!]

개발사에서 차기게임제작에 투입했으면..

[으니콩]

잘 읽었습니다 정성추!

[슈비나]

대단하십니다. 따봉 드립니다. 이걸 이제야 보다니.....