포물선 y=-x²+6x와 직선 y=t(t>0)가 두점 P,Q에서 만날때, 삼각형 OPQ의 넓이의 최대 값을 구하여라......
일단 위에 나온 식을 그래프로 그려주세요..
삼각형의 넓이를 구하려면..가로 세로 길이를 알아야 하는데요.
여기서 세로를 y로..해야겠죠. 즉 t가 되네요. ----세로는 t
그럼 이번엔 가로를 구하겠습니다..
가로는 y가 t일때 두 x값의 차이값입니다.
그러니 위의 두 씩을 썩어야 겠죠 -_-;; (이걸 썩는다 말구 어째 하는 말이 있었는데... ^^;;)
위의 두 식을 썩으면...
-x²+6x=t
x²-6x+t=0이 됨니다.
여기서 x값을 구하면
x = 3+루트(9-t)하구.. 3-루트(9-t) 가 댐니다. x가 2제곱이니까 근이 두개나오는건 알겠죠??? (그래프를 봐두 y=t와 만나는 점이 P,Q 두개니까요.. ^^;
그럼 큰 x값에서 작은 x값을 빼야 가로가 된다는걸 아실 겁니다.. 그래프 보면..
큰 x값 - 작은 x값 = {3+루트(9-t)} - {3-루트(9-t)}
=2루트(9-t)가 되네요. 이가 가로입니다.
그러면 가로, 세로 다 구했으니까 넓이 구합시다..
1/2 * 가로 * 세로
=1/2 * 2루트(9-t) * t
여기에서 루트 밖에 있는 t를 루트 안에 넣어 줍니다... 그래야 치대값 구하죠..
=1/2 * 2 루트(9-t) * t
=루트{(9-t)t²}
=루트(9t²-t세제곱) <-------요기서 루트 안에있는 최대값 구해야 하니까. 안에것만 미분 해 주세요.
루트 안에것을 미분한 값 = -3t²+18t = -3t(t-6)
여기서 t=6일때 넓이가 최대가 된다는걸 알수 있을 겁니다.
즉 t=6일때 극대값이 됨니다.
t=0은 문제에서 부터 t>0 이어야 한다니까 안되구요.
그럼 아까 넓이 식
1/2 * 가로 * 세로
=1/2 * 2루트(9-t) * t
에다가 t = 6 을 대입 하며는..
루트(3*6²) = 6루트3 이 됨니다. 답은
6루트3.
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고등학생 수학
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깃털은날개
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02.01.20 16:51
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