<p style="text-align: left;">강의를 듣는 와중 조금 혼동이 오는 개념이 있어 질문 남겨봅니다.<br><br>체 F, f(x), g(x) : F[x]의 원소<br>f(x), g(x)가 서로소이면 ( : gcd(f(x), g(x))=1), 1은 f(x)와 g(x)의 일차결합으로 표현 가능하다. <<< 필요충분조건인지?<br><br>근데 또 Z[x]에서 gcd(x,2)=1인데 1은 x와 2의 일차결합으로 표현 안 된다는게.. 이게 F가 체일때만 위 경우가 성립하는건지? 즉 Z가 체가 아니기에 성립하지 않는건지 궁금합니다!</p>
<!-- -->
첫댓글 조금 더 강의를 진행하다보니
"F[x]는 PID"이고 "PID이면 최대공약수가 존재하고 둘의 일차결합 표현으로 가능"하다고 하셨는데, 이로 인해 첫번째 질문이 필요충분조건으로써 해결이 되는건가요?
또한 Z[x]는 UFD는 되지만 PID는 되지 않습니다.
강의 중, UFD이면 최대공약수는 존재하지만 둘의 일차결합으로 표현은 안 될 수 있다고 하신것 같습니다.
x,2는 최대공약수는 존재하지만 일차결합으로 표현되지 못하는 그런 하나의 예시가 되는걸까요?
따라서 Z가 체가 되지 않아서 일차결합으로 표현되지 않는다 라기 보다는 UFD에서 일차결합으로 표현되지 않는 것 중에서의 하나의 예로 이해하면 될까요?
@황채환 ① PID에서는 필요충분조건이므로 F가 체이면 F[x]가 ED이므로 PID가 되어 필요충분조건이 됩니다.
② Z[x]는 UFD에서 최대공약수가 일차결합으로 표현되지 않는 예로 이해하시면 됩니다.