오일러지표

[순둥이]

1. https://m.cafe.daum.net/math-hm/qw18/342?svc=cafeapp

여기 댓글을 보니까 오일러지표는 꼭 컴팩트 곡면일 필요 없이 곡면의 정칙영역이기만 하면 된다고 하셨는데
1-1. 오일러 지표 외에 컴팩트 곡면이 전제였던 정리들(손잡이 개수를 통해서 구하는 거, 가우스보네 정리)는 꼭 컴팩트 곡면이어야만 하는 거 맞죠?
1-2. 그리고 곡면의 정칙영역이라는 게 살짝 와닿지 않아서, 저희가 문제로 다루는 범위 내에서는 조건 따지지 않고 그냥 편하게 써도 된다고 받아들여도 되는지 궁금합니다.

2. https://m.cafe.daum.net/math-hm/qw18/289?svc=cafeapp

여기 댓글을 통해서 꼭 직사각형 분할이 아니어도 된다는 건 이해했습니다
미기는 78문풀을 못 풀어보고 모고로 들어와서 이 부분에 대한 지식이 부족한 것 같은데
모고4회 a3에서 오일러지표를 따질 때 더 분할하지 않고 그 상태 그대로 꼭짓점 2개, 변 2개, 면 1개로 계산하더라구요
삼각형 분할이나 사각형 분할로 더 분할 해도 오일러 지표 값이 같다는 건 알고있는데 분할로 인정되는(?) 정확한 기준이 궁금해요ㅠㅠ 이 문제에선 삼각분할도 안 해서요
모고 문제에서는 그냥 봤을 때 영역이 한 면 이라서(정확한 표현이 어렵네요ㅠㅠ) 되는 거라면 그것의 기준이 뭘까요..? 이 문제에서 각도가 -45도부터 45도가 아니라 좀 더 넓었으면, 각도의 범위가 180도 이상이었으면 분할을 해야할 것 같은데....
설명 부탁드립니다..!!

항상 도와주셔서 감사합니다

[수정과]

1) ① 네. 25대비 미분기하학 정리 5.17 p.120 처럼 손잡이 개수를 이용하여 가우스-보네 정리를 쓰는 경우는 컴팩트 곡면이어야 합니다.
② 네 그렇습니다.
2) 러프하게 설명해보자면 S에 다각형 분할이 주어졌을 때 각 다각형을 다시 삼각형(사각형)으로 분할하여 S의 삼각(사각)분할을 생각해볼 수 있습니다. 이 때 오일러 지표가 변하지 않으므로 해설과 같이 구한 것입니다.