코시리만 방정식 만족 필요충분조건 with 미분가능

[꿈꾸는중]

유제 2-30인데 (1)입니다,.
복소를 이제 공부해봐서 z=z_0 에서의 미분가능의 필요충분조건이 와닿지가 않은데
이해한게 맞는지 모르겠습니다.
f(z)= 2xy + i(x^2-y^2) 의 u(x,y)와 v(x,y)를 각각 미분하면

u_x = 2y
u_y = 2x
v_x = 2x
v_y = -2y 이 되는데 0,0 에선 코시리만 방정식이 각각 0=0이어서 만족하게 되는게 아닌가 하는 생각이 들었습니다 그래서 연속이고, 코시리만 만족이니 미분가능하지 않을까싶고,

그러면 이건 z=0에서 미분은 가능하지만 그 근방의 모든점에선 미분이 불가능 하니까 해석적이 아니라는 것인지
아니면 제가 필요충분조건도 제대로 이해를 못한상황에서, 0에서도 조차 미분가능한게 아닌지 몰라서 여쭤봅니다,.

[수정과]

이해하신 것이 맞습니다. z=0의 적당한 근방에서 일계편도함수들이 존재하고 연속이며 z=0에서 코시-리만 방정식을 만족하므로 f는 z=0에서 미분가능합니다. 다만 z≠0인 경우 미분불가능하므로 어떠한 점에 대해서도 그 점의 근방의 모든 점에서 미분가능한 근방이 존재하지 않으므로 f는 해석적인 점이 존재하지 않습니다.