유제 3-71

[묘묘묙]

Q위의 분해체에서 갈루아군 원소의 고정체 찾는 과정에서 질문있습니다.

1. 유제 3-71번에서 G(K/Q)가 Z6이랑 동형이 되므로 G(K/Q)에서 각각 위수가 2, 3이 되는 원소를 찾아 해당 원소의 고정체를 찾아야함 -> 위수 2인 원소 = σ9, 위수 3인 원소 = σ13

그리고 저는 고정체의 원소를 기저표현으로 나타내고 찾는방식으로 찾았는데, 답지에서는 σ9(제타)=제타, σ9^2(제타)=제타^9, σ9^3(제타)=제타^11 이므로 제타+제타^9+제타^11 <- 원소가 고정된다고 바로 서술하였는데 왜 그런건가요? 기저로 일일이 찾지 않아도 일반적인 상황에서도 이런 방법으로 (위수 전까지 모두 대입해서 나오는 값의 합) 고정체 생성원을 찾을 수 있나요?

2. 대부분의 x^n-1 분해체에서 Q(제타+제타^-1) 이 항상 부분체로 존재하는거같은데, [K:Q(제타+제타^-1)]은 항상 2인가요? (n>2일때) 그러면 갈루아확대체 중간체 구조 분석할때 항상 Q(제타+제타^-1)이 포함된다고 생각하고, n=5일때처럼 특수한 경우 Q(제타+제타^-1)이 Q(root5) 처럼 특수한 형태로 찾아지는거라고 이해해도 될까요

3. irr(u,Q) 를 찾는 방법이 G(K/Q)의 원소 σi에 대해 σi(u)를 모두 찾고, 이중 서로 다른 근들만을 인수로 갖도록 곱해주면 되는걸로 이해했는데 항상 그런건가요??

[수정과]

① i) H=<σ>, a∈K, |σ|=n, b=σ(a)+···+σⁿ(a)라 하면 σ(b)=σ²(b)+···+σ^(n+1)(a)=σ(a)+···+σⁿ(a)=b이므로 성립합니다.
ii) 항상 찾을 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들면 유제 3-68에서 |β|=2이고 β(ζ+ζ^5)=ζ+ζ^5이지만 ζ+ζ^5=ζ-ζ=0이므로 고정체의 유의미한 정보를 얻을 수 없습니다.
② 네 맞습니다.
③ 아래 첨부한 사진을 참고해주세요.