전과목 문제풀이 172번 중간체 E의 개수

[이보민]

Q1) 위 풀이처럼 위수2인 원소가 1개여서 E가 1개라고 생각하면 될까요?
Q2) 위수 4인 원소들은 고정체 KH와 같고, 위수 1인 원소는 Q(제타)와 같다고 보면 될까요?
Q3) 앞의 내용이 맞다는 전제하에 생긴 질문입니다만, 생성원은 시그마 K=7, 13 둘다 생성원인데 답안지의 풀이처럼 시그마7이 G(Q(제타)/Q(루트3i))의 생성원이라는게 왜 E의 개수를 구하는 풀이 과정이 되는건가요? 1은 생략하더라도 시그마 7, 13, 1의 위수를 전부보여야 E의 개수를 알 수 있는거 아닌가요?
Q4) Q(제타)가 Q의 정규확대체이고 G(Q(제타)/Q(루트3i))의 위수가 4일때 위수 4인 (시그마7)원소가 존재하여 Z4와 동형이 되니 약수 1,2,4에 대하여 각각의 부분군이 유일하게 존재하여 E가 1개인건가요? 이 경우는 문제의 주어진 조건인 등호를 뺀다고하면 3개가 되고 Q1~3)의 방식대로 하면 문제의 주어진 등호를 뺀다고하면 4개인데 제가 어디서 잘못 생각한 것 일까요?

[수정과]

① 네 맞습니다.
② 원소가 아닌 그 원소가 생성하는 부분군이 해당 체에 대응하는 것입니다. 즉, <σ_7>=<σ_13>=G(Q(ζ)/Q(√3i))는 K_H=Q(√3i)에 대응하고 {id}=<σ_1>는 Q(ζ)에 대응합니다.
③ 위수가 4인 군은 Z₄ 또는 Z₂xZ₂와 동형이고 전자는 위수가 2인 부분군이 1개, 후자는 위수가 2인 부분군이 3개이므로 E의 개수는 G(Q(ζ)/Q(√3i))가 Z₄, Z₂xZ₂ 둘 중 무엇과 동형인지 확인하는 것이 핵심입니다. 이는 위수가 4인 원소가 존재하느냐로 파악할 수 있으므로 해설지와 같이 보인 것입니다.
④ G(Q(ζ)/Q(√3i))가 Z₄와 동형이므로 E는 위수가 2인 Z₄의 부분군 개수와 같습니다. 그러므로 생각하신대로 1개가 맞습니다. '이 경우는 ~(중략) ~어디서 잘못 생각한 것 일까요?' 는 어떻게 3개와 4개를 생각하셨는지 잘 이해가 되지 않습니다.