구의 부피에 관한 겁니다... 다소 미흡??

[Triple_M]

구의 부피를 구하는 데는 여러가지 방식이 있습니다. 아르키메데스의 원리도 있고, 구분구적분으로 하는 방법도 있고 매개변수식을 놓고 구하는 방법도 있습니다. 하지만 이 여러가지 방법중에서 수II 내용에 있는 정적분을 이용해 볼까 합니다.

우선 부피를 구하는 공식부터 알아봅시다. 적분을 이용하여 부피를 구하는 방식은  π∫(a~b){f(x)}²dx 입니다. 이것에 대한 유도 및 증명은 생략합니다. 이것을 이용하면 정말 간단하게 나오는데요. 원의 넓이 공식인 x^2+y^2=r^2 이것을 y에 대해 정리하여 그것을 x에 관한 식으로 적분하면 반구의 부피가 나옵니다. 그것을 2배 해 주면 간단하게 나옵니다. 직접 해 볼까요?

(반구 부피) = V = π∫(0 ~ r){√(r² - x²)}² dx

= π∫(0 ~ r) (r² - x²) dx

= π[r²x - ⅓x³] (0 ~ r)

= π[r³ - ⅓r³] = 2/3πr³

그러므로 전체 부피 = 2V = 4/3πr³

여기서 한가지 집고 넘어가야 할 사실이 있습니다. 왜 0에서 x까지 적분했는가 하는 건데 그건 f(x)가 양의 실수 범위 내에서 정의되어 있기 때문입니다. (굳이 이거 할 필요 없던거 같은데...)

...다소 미흡하더라도 용서...

뭐 굳이 이 방법을 쓰지 않고 증명해 달라... 하면... 아르키메데스의 원리를 이용하는 것도 괜찮은 것 같습니다^^ 그건 인터넷에서 찾아보세요^^

[ㅇHㄱiㅈi뽀]

-_-그나이 한테 물어 본건데.. 글구 이건 벌써 예전에 해결 했구..