원시근을 가지는 n에 대해서, 이차합동식 x^2==1 (mod n)의 해 개수?

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안녕하세요. 정수론 제목 그대로 질문 내용이예요!
이 정리에 대한 현민쌤의 증명도 잘 읽어본 후에
좀 다르게 생각을 좀 해보다가, 막힌 부분이 있어서 이렇게 글을 남깁니다.

제가 써내려간 증명에 대해서 오류가 있는지 봐주실 수 있을까요?
오류가 없다면, 파란 밑줄 부분이 확실하게 되야할 것 같은데
법 n이 소수가 아니라서 정수론 라그랑지 정리를 사용할 수도 없고..
그래서 원시근을 가지면서 소수가 아닌 법 n에 대해 이차합동식 x^2==1 (mod n)의 -1, +1 이 아닌 다른 해를 찾아보려고 했는데
쉽지 않아서요.. (사실, n이 6일 때만 해봤어요😓)

원시근을 가지는 n에 대해서, 이차합동식 x^2==1 (mod n)의 해 개수가 딱 2개라고 할 수 있을까요?
아니라면 반례가 되는 n이 무엇이 있는지 알려주시면 감사하겠습니다!

[정현민 수학[박정환]]

정리 8.11에 해당 내용에 관한 정리가 있습니다.

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답변 감사합니다! 😊

제가 가지고 있는 책이 2020년 대비 정수론 이론+문제풀이 교재입니다.
아래 정리를 참고하면 될까요?
정리 8.11 p:소수, d가 p-1을 나누면 법 p에 대해 위수 d를 갖는 파이(d)개의 합동이 아닌 정수가 존재한다.

[정현민 수학[박정환]]

네 맞습니다.

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네 감사합니다! 다시 한 번 해볼게요 😊