<p>F의 확대체 K에 대해서 K의 원소 u가 F위에서 초월적이라고 가정합니다.</p><p>이때 ψ : F(x) -> F(u)를 ψ(f(x)/g(x))=f(u)g(u)^(-1)로 정의하면 동형이 되는건 무리없이 증명이 됬습니다....</p><p><br></p><p><span style="font-size: 18pt;">그럼.. F(u)의 원소중 F에 들어가지 않는 모든 원소들이 F위에서 초월적이라는 것을 어떻게 보여야 할까요...</span></p><p><br></p><p>우선 생각한 아이디어는.. u가 초월적이라면 F의 원소 c에 대해서 cu도 초월적이고 u의 n제곱도(n은 정수 즉 역원도 초월적이 되더라구요) 초월적이 되므로, 저걸 더하기, 곱하기로 결합시킨 원소가 초월적이라는 것만 밝히면 F(u)에 속한원소중 F에 속하지 않는 모든 원소가 초월적이라는 것을 밝힐 수 있을 것 같은데.. 그렇게 잘 안되더라구요.. </p><p><br></p><p><br></p><p>헝거포드 11.2의 25번 연습문제입니다..ㅠㅠㅠ</p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p>
<!-- -->
첫댓글 F(u)-F에 대수적인 원소 f(u)/g(u)가 존재한다고 가정하면 적당한 다항식의 근이 됩니다. 다항식이 n차라 할 때, 양변에 {g(u)}^n을 곱하여 잘 정리하면 u가 대수적인 원소가 되어 모순임을 보일 수 있습니다.