세상에서 가장아름다운 공식, 오일러 공식

[장끼]

eiπ + 1 = 0

세상에서 가장아름다운 공식, 오일러 공식에 대해서 알고 계신가요? 위의 식처럼 지수함수의 지수부분이 허수인 i와 원주율 π가 들어가 있는 식인데요 이 기괴한 조합이 왜 아름다운지 다섯 가지 숫자 퍼즐들(e, i, π, 1, 0)을 맞추어 가며  차근차근 알아가 봅시다. 

 e

여러분들은 e에 대해서 얼마나 알고 계신가요? 고등학생 때 수학과목에 들어있어서 배우는게 전부는 아니였나요? 필자도 그랬었답니다. 사실 일부(?) 친구들을 제외하면 딱딱한 정의만 주어진 채 배우는 수학에 흥미를 가지기는 쉽지 않지요. 지금부터 쉽게 풀어가며 오일러 공식의 다섯가지 퍼즐중 하나인 e에 대해서 알아봅시다.

우리 실생활에도 e가 숨어있는데 대표적으로 복리가 있습니다. 은행에서 예금 계좌의 연간 이자를 100% 제공하기로 했고 한 사람이 1000원을 예금했다고 합시다. 그러면 1년 후 총 예금액은 원금에 이자를 합친 2000원이 됩니다. 이를 식으로 나타내면 1000원 X (1 + r)이 되고 여기서 1은 원금, r은 십진수로 표현한 이자율을 나타냅니다. 즉, 1000원 X 2 =2000원 이지요. 이번엔 100%의 이자가 6개월마다 50%로 나뉘어 지불된다고 해볼까요? 처음 1000원을 예금하고 6개월 뒤엔 1000원 X (1 + r)이 되는데 이때의 r은 50%를 십진수로 나타낸 0.5입니다. 6개월이 또 지난뒤에는 1000원 X (1 + r) X (1 + r)이 됩니다. 즉, 1000원 X 1.5 X 1.5 = 2250원 입니다. 규칙을 발견하셨나요? 네, 맞습니다. (1 + r)을 계속 곱해나가는 형식이 됩니다. 100%의 이자를 세번 나누어 받으면 (1 + r)을 세번 곱하고 r은 0.33이고 총액은 2350원, 네번 나누어 받으면 (1 + r)을 네번 곱하고 r은 0.25이고 총액은 2440원 입니다. 이를 일반화하면 1년의 총 수익은 원금 X (1 +1/n)n이 됩니다.

아직도 감이 잘 안오시죠? 간단한 질문을 하나 해볼까요? 만약 n이 계속 커지면 1년후 많은 돈을 받을 수 있을까요? 아마 '네'라고 대답할 수도 있습니다. 왜냐하면 총액이 2000원에서 2250원,2350원,2440원으로 증가하였으니까요. 그러나 증가폭이 점점 줄어드는데요 그리하여 n이 계속커지면 2720원에 근접하게 되는데요 이러한 성질을 수학에서는 극한이라고 부릅니다. 즉, n이 무한대로 커질 때 (1 +1/n)n의 극한이 바로 e이고 이 값은 2.71828182846...인 무한한 수입니다.

오일러 공식에서 e는 지수함수 형식(ex)으로 사용되었는데 ex는 미분을 해도 똑같이 ex이기 때문에 사용하기 매우 편리해 변화 모델에 유용하게 쓰입니다. 미분은 변화율을 의미합니다. 방사성 동위원소 붕괴가 대표적입니다. 그런데 이 e가 밑인 지수함수의 지수x에 iπ가 대입되어 또 다른 흔한 변화 형태의 모형을 만드는 능력을 만듭니다. 바로 전기 교류나 파동함수,진동에 사용됩니다. 정말 놀라운 상수입니다. 또한 e는 대표적인 무리수인데 2/3,1/2처럼 두 정수의 비율로 나타낼 수 있는 수를 유리수라 하고 그럴수 없는 수를 무리수라 합니다.

무리수는 앞으로 알아볼 무한대의 개념에 대한 첫걸음이라 할 수 있습니다.

지금까지 다섯가지 퍼즐 중 첫번째 퍼즐 e에 대해서 알아보았습니다. e는 생각보다 생활 곳곳에 숨어 있고 2와 3사이에 있는 작은 숫자가 실은 무한대와 관련이 있는 아주 큰 수 입니다. 다음은 오일러 공식의 두번째 퍼즐인 π에 대해서 알아봅시다.