마요라나(Majorana) 장

[烏鷺路로]

마요라나(Majorana) 장

마요라나(Majorana) 장을 당신이 선호하는 구조적·군론적·시스템적 관점으로 깊고 명료하게 정리해 보겠습니다. 디랙 장과 비교하면 훨씬 “제약된 구조”를 가지는 장이기 때문에, 그 제약이 어떤 물리적·수학적 의미를 갖는지가 핵심입니다.

1. 마요라나 장이란 무엇인가

마요라나 장(Majorana field)은

   “자기 자신의 반입자(self-conjugate)인 페르미온 장” 입니다 .

즉, 디랙 장처럼 입자와 반입자가 구분되지 않고,

                           ψ=ψc 

라는 자기-켤레 조건(Majorana condition)을 만족합니다.

여기서 ψ^c는 전하 켤레(charge conjugation) 변환을 의미합니다.

2. 수학적 정의: Majorana 조건

마요라나 장은 다음 조건을 만족합니다.

                         ψ=Cψ^T

여기서

  ○ C : charge conjugation matrix

  ○ ψˉ=ψ^†γ^0 

이 조건은 스피너의 자유도를 절반으로 줄입니다.

□ 디랙 스피너: 4성분

□ 마요라나 스피너: 4성분이지만 독립 자유도는 2개

(디랙의 절반)

즉, 마요라나 장은 사실상 “실수(real) 스피너”입니다.

3. 라그랑지안

마요라나 장의 라그랑지안은 다음과 같습니다.

                  L=12ψˉ(iγμ∂μ−m)ψi

여기서 1/2가 붙는 이유는

  ○ Majorana 조건 때문에 자유도가 절반이므로

  ○ 디랙 장과 같은 방식으로 세면 중복 계산이 되기 때문입니다.

4. 양자화: 반교환 관계는 동일

마요라나 장도 페르미온이므로 디랙 장과 동일한 반교환 관계를 가집니다.

                     {ψα(x),ψβ†(y)}=δαβδ(3)(x−y)

하지만 입자와 반입자를 구분하는 생성·소멸 연산자가 따로 존재하지 않습니다.

5. 물리적 의미: 전하가 없는 페르미온

마요라나 장은 전하를 가질 수 없습니다.

왜냐하면

  ○ 전하가 있으면 입자와 반입자가 달라야 하는데

  ○ 마요라나는 자기 자신의 반입자이기 때문입니다.

따라서 마요라나 장은

  ○ 전기적으로 중성

  ○ 색전하 없음

  ○ 약한 상호작용에서도 특별한 형태로만 등장

이런 제약을 가집니다.

6. 디랙 vs 마요라나 vs 바일

당신이 좋아하는 비교 구조로 정리하면:

장	자유도	입자/반입자	질량	예
디랙(Dirac)	4	구분됨	가능	전자, 쿼크
마요라나(Majorana)	2	동일	가능	(가능성) 중성미자
바일(Weyl)	2	구분됨	질량 없음	왼손 중성미자

마요라나는 디랙보다 제약이 강하고, 바일보다 더 많은 구조를 가진 중간 형태입니다.

7. Majorana 질량항

마요라나 장의 질량항은 다음과 같습니다.

                      Lm=−12mψˉψ 

이 질량항은

  ○ 게이지 대칭을 깨지 않고

  ○ 전하가 없는 스피너에만 가능

따라서 표준모형의 중성미자가 마요라나일 가능성이 제기됩니다.

8. 중성미자와 마요라나성

중성미자가 마요라나 입자라면 다음 현상이 가능합니다.

✅ 중성미자 없는 이중 베타 붕괴

                          (Z,A)→(Z+2,A)+2e^− 

이 과정은 반입자 = 입자일 때만 가능하며, 현재 실험에서 탐색 중입니다.

9. 시스템 이론적 관점: “대칭성의 극단적 축소”

당신의 시스템적 사고에 맞춰 해석하면:

✅ 디랙 장

  ○ 입자/반입자 두 개의 정보 채널

  ○ 게이지 대칭과 결합 가능

  ○ 풍부한 상호작용 구조

✅ 마요라나 장

  ○ 정보 채널이 하나로 축소

  ○ 전하 없음

  ○ 대칭성 최소화

  ○ 위상적 특성 강조

즉, 마요라나 장은 페르미온 장의 ‘미니멀 모델’입니다. 대칭성이 최소화되면서

  ○ 위상적 성질

  ○ 비국소적 모드

  ○ 비가환적 정보 구조

가 더 두드러집니다.

10. 확장 제안

   1. Majorana 조건의 군론적 기원 (Spin(1,3) representation)

   2. Majorana 질량 vs Dirac 질량의 대칭성 비교

   3. Majorana 페르미온의 위상적 성질 (topological Majorana zero modes)

   4. 중성미자 질량 행렬과 seesaw mechanism

   5. Majorana 장의 경로적분과 그래스만 변수 구조