[문제] 2. An element a of a ring R is idempotent if a² = a.
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a. Show that the set of all idempotent elements of commutative ring is closed under multiplication.
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b. Find all idempotents in the ring Z_6 × Z_12.
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[증명] R 을 가환환, M = { a∈R | a² = a } 라고 가정합니다.
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① 0² = 0 이므로 0∈M 이므로 M ≠ Φ 입니다.
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② a,b∈M 이라고 가정합니다. 그러면 a² = a, b² = b 입니다.
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(ab)² = a²b² = ab 이므로 ab∈M 입니다.
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그러므로 M은 R의 곱셈에 대하여 닫혀 있습니다.
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[풀이] Z_6 × Z_12 의 멱등원을 모두 찾는 문제.
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임의의 (a,b) ∈ Z_6 × Z_12 에 대하여 (a,b)² = (a²,b²) 입니다.
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그러므로 Z_6 × Z_12 의 멱등원은 Z_6 과 Z_12 의 멱등원을 각각 구하여 순서쌍을 만들면 됩니다.
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① Z_6의 멱등원 ; 0(0²=0), 3(3²=9=3)
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② Z_12의 멱등원 ; 0(0²=0), 4(4²=16=4), 9(9²=81=9)
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그러면 Z_6 × Z_12 의 멱등원은 (0,0),(0,4),(0,9),(3,0),(3,4),(3,9) 입니다.
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