다수결투표와 애로우의 불가능성 정리

[제임스, 본드 걸을 찾아라~]

다수결투표와 애로우의 불가능성 정리

 (1) 다수결투표의 모순

  - 다수결투표 제도는 심각한 이론적 문제점을 안고 있는데, 그 것은 투표의 끝없는 순환이 일어나 최종적으로는 아주 임의적인 결정으로 귀착될 가능성이  많다는 점이다. → 투표의 모순.

   (예) . 투표자 : 갑, 을, 병   정책안 : A, B, C

        . 각 투표자의 선호순위 :

          

	1 순위	2 순위	3 순위
갑 을 병	A B C	B C A	C A B

        . A와 B와 C를 동시에 투표에 부치면 어느 것도 선택될 수 없음.

        . 두 개씩 투표에 부치면 :

             A와 B를 투표에 부치면 →  A 채택

             B와 C를     "     "   →  B 채택

             A와 C를     "     "   →  C 채택

        즉, A, B, C 가 각각 한 번씩 이기게 되므로 두 가지중 하나를 선택하는 다수결 투표로는 결론을 내리지 못하고 투표의 순환이 계속된다.

   - 현실적으로 한 의제(agenda)를 가지고 투표를 계속할 수는 없다. 이 때 다수결 투표의 모순은 의제를 투표에 상정하는 순서가 매우 중요하다는 것이며,

      이는 원하는 정책안이 채택되도록 조작할 수 있음을 의미한다.

      즉, B가 선택되도록 하려면 A와 C를 먼저 투표에 부쳐 거기에서 채택된 C와 B를 다시 투표에 부치면 된다.

   - 다수결투표가 항상 투표의 순환을 낳는 것은 아니다. 위의 예에서 병의 선호순위 중에서 B가 2순위가 되고 A가 3순위가 되면 다수결 투표는 B를 유일하게 선택한다.

 (2) 투표거래(logrolling)

   - 선택해야 하는 대안이 여럿일 경우는 다수결 투표가 투표거래와 같은 전략적 행동을 유발할 수도 있음.

   - 각 의안들을 독립적으로 다수결투표를 하도록 하면 소수의 지지밖에 못받아 채택되지 않을  의안들이 전략적인 투표거래로 인해 채택될 수 있음

   - 갑 : X라는 공공사업을 강력히 원하면서 Y라는 공공사업에는 약하게 반대

     을 : Y라는 공공사업을 강력히 원하면서 X라는 공공사업에는 약하게 반대

     이러한 경우 갑과 을이 연합하여 상대방의 의안을 지지해 준다는 조건으로 거래를 하여 각각 X사업과 Y사업 모두를 찬성하면 두 의안 모두 통과될 수 있음.

   - 투표거래로 소수파들이 연합하여 다수파를 형성하고 영향력을 행사하는 경우가 많음. 만일  이러한 전략적 행동으로 이익집단의 효용이 손실집단의 비용을 초과하게      될 경우에는 사회전체적으로 보다 효율적인 공공선택에 도달할 수 있다.

      그러나 전략적 행동의 가지수가 많거나 이해집단이 많을 경우는 이러한 전략적 행동으로 오히려 최적의 공공선택과는 거리가 먼 의사결정을 가져올 수도 있다.

 (3) 애로우의 불가능성 정리

   - 다수결투표의 모순 가능성은 민주정치과정 속에서 합리적인 의사결정이 매우 어렵다는 것을 의미함.

   - 사회구성원 각자의 선호가 주어졌을 때 이를 종합하여 사회전체의 선호로 집계할 수 있게 해주는 법칙이 있다면

      그 법칙이 갖추어야 할 최소한의 조건들은 무엇일까 ?

   - Arrow는 개인의 선호를 사회전체의 선호로 종합시켜 주는 법칙이 갖추어야 할 바람직한 최소한의 네 가지 조건을 제시했으며,

     이것들을 동시에 만족하는 법칙은 존재하지 않음을 수학적으로 증명하였다.

     ① 완비성(completeness)과 이행성(transitivity) : 사회의 여러 상태 간에서 반드시 우열을 가릴 수 있어야  한다는 것임(완비성). 또한 이는 A가 B보다 선호되고  B가  C보다 선호되면 반드시 A는 C보다 선호되어야 한다는 의미임. 다수결투표의 모순은 바로 이 결론을 충족시켜 주지 못함.

     ② 파레토 원칙 (Pareto principle): 만약 사회가 A라는 상태에서 B라는 상태로 변할 때 사회구성원중 최소한 1인이 A를 B 보다 선호하고  그 1인을 제외한 다른 모든 구성원이 A와 B에 대해 무차별하다면 사회적 순위는 A보다 B가 더 선호되어야 한다는 것임.

     ③ 제3의 선택대상으로부터의 독립(independence of irrelevant alternatives) : 이는 상이한 정책대안간에 상호의존성이 없어야 한다는 것으로, 예를 들어 정책순위가 A, B 일 때, 이들과 직접적 관련이 없는 제 3의 선택가능성 C의 존재는 이들의 선호 순위에 아무런 영향을 주지 말아야 한다.

     ④ 비독재성 조건(non-dictatorship) : 사회적 선호가 사회구성원들의 선호체계와는 아무런 상관없이 어느 한사람의 의사에 따라 독재적으로 결정되어서는 안 된다.

  - 애로우의 불가능성 정리란 위의 네 가지 조건을 동시에 만족하는 어떠한 투표제도도 존재하지 않는 다는 것이며, 네 가지중 최소한 한 가지는 포기할 수 밖에 없다는 것임. 여기서 핵심은 이들 공리중 ① ② ③을 모두 만족시키는 사회적 선호체계는 반드시 공리 ④를 위배하게 된다는 것을 증명했다는 것.

  - 애로우 정리는 투표제도에만 적용되는 것이 아니라 사회후생함수(social welfare function)에도 폭넓게 적용할 수 있음.

     사회후생함수란 개개인의 효용수준이 주어졌을 때 이를 종합하여 사회전체의 후생 또는 복지수준으로 표현시키는 함수임.

     즉 각 개인의 효용수준을 독립변수로 하고 사회전체의 후생수준을 종속변수로 하는 함수.

SW = f (U1, U2, ... , Un)

  - 일단 이러한 식으로 하나의 사회후생함수가 정립되면 개인의 효용수준에서 일어나는 어떠한 변화도 사회적인 관점에서 평가할 수 있게 됨.

     따라서 이러한 사회후생함수는 여러 구성원의 의견을 통합하여 하나의 집단적 선택에 이르는 공공선택과정과 밀접한 연관을 갖게 됨.

  - 이러한 형태의 사회후생함수 중 애로우가 제시한 네 가지 조건을 모두 만족시키는 민주적인 사회후생함수는 존재하지 않는다는 것이 애로우의 불가능성 정리이다.