삼,사차 방정식의 대수적해법

[김동석]

삼,사차 방정식의 대수적해법

삼차 방정식의 대수적 해법에 관한 일화

1515년 볼로냐 대학의 수학교수였던 페로는 아랍의 원전에 근거해서 꼴의 삼차방정식을 대수작으로 풀었다. 그는 이 결과를 공표하지 않고 제자인 피오르에게 비밀을 알려 주었다. 그런데 말을 더듬는 타르탈리아 (원이름 : 폰터나 1499-1557)은 형의 삼차 방정식에 대한 대수해를 안다고 주장함. 피오르가 공개시합을 갖자고 도전하였다. 이것은 예정된 시간에 맞추어 시합에 참석하는 사람들이 제시한 같은 수의 삼차방정식을 주어진 시간에 푸는 시합이었고 타르탈리아는 노력해서 2차항이 없는 경우의 해도 발견했다.

피오르는 한가지 형태의 해만 알고 있었기에 타르탈리아의 완전 승리로 끝났다. 그런데 밀라노에서 수학을 기르치며 의사로 개업하던 확률론의 창시자 카르다노( 1501-1576 )는 비밀을 지킬 것을 서약하고, 타르탈리아를 꾀어 그 해의 열쇠를 얻어냈다. 그리고 1545년 카르다노는 '위대한 계산법'을 출판하며 타르탈리아의 해법을 싣게 되었다. 그 격렬한 논쟁으로 타르탈리아는 간신히 살아남은 것만도 다행이었다.

카르다노의 저서에 실린 삼차방정식 의 해법 :

항등식 을 생각하자.

만약 a와 b를 을 만족하도록 택하면

근 x = a - b 로 주어진다.

그런데 a, b에 대한 두 방정식을 풀면

이 된다.

치환 에 의해서, 일반적인 삼차방정식 은 으로 변환되므로, 위의 해법으로 모두 해결된다.

카르다노는 점성가로도 개업하여 점을 치고 한달동안 이단으로 감옥에 갇히기도 하였는데, 그 이유는 그리스도의 생애에 대한 점성을 발표하는 무례를 저질렀기 때문이다. 볼로냐 대학의 교수직을 사직한 후 로마로 이주해서 유명한 점성가가 되었으며, 신기하게도 로마 교황청의 점성가로 연금을 받았다. 그는 산술, 천문학, 물리학, 의학 등의 분야에도 책을 썼고, 그의 저서 '위대한 계산법'은 대수학만을 다룬 최초의 라틴 서적이다. 여기서 허수의 계산에 관한 관심도 일부 기울이고 있다.

한편 타르탈리아는 가난하고 고통스런 어린 시절을 보냈다. 그의 어머니가 15일 동안 학교에 다닐 수 있는 돈을 주자 그는 책을 훔침으로써 그 기회를 최대한 활용했고, 그 뒤에 그 훔친 책으로 읽고 끁는 법을 스스로 깨우쳤다. 석판을 살 수 없었던 그는 묘비를 석판으로 사용하기 위하여 공동묘지로도 갔다. 그는 이태리의 여러 도시에서 수학과 과학을 기르치며 생계를 꾸려 나갔다. 그는 타고난 수학자로 삼차 방정식의 풀이의 성공과 포술학에 수학을 응용한 최초의 수학자로 인정을 받고 있다.

그 뒤 Viete( 비에트 )에 의해 1615년 출판된 책에서 삼차 방정식 에 대하여 다음을 발표했다.

모든 삼차방정식은 위와 같은 꼴의 방정식으로 변화시킬 수 있다.

치환 에 의해, 위의 삼차 방정식은 으로 변환되는데, 이는 에 관한 이차 방정식이다. 여기서 을 구하고 y를 구하므로, x도 구하게 된다.

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사차방정식에 대한 비에트의 해법

를 생각하자. 모든 사차방정식은 위의 형태로 바꿀 수 있다.

이것을 로 쓴 다음 를 양변에 더하면, 를 얻는다. 우변이 완전 제곱식이 되도록 y를 택하자.

이 조건은 인데, 이는 에 대한 삼차방정식이다. 이 은 위의 삼차 방정식의 해법으로 찾을 수 있고, 주어진 사차방정식은 제곱근 풀이가 된다.

그 외 데카르트, 봄벨리 등이 사차방정식의 해법을 연구함