<div class="figure-img" data-ke-type="image" data-ke-style="alignCenter" data-ke-mobilestyle="widthOrigin"><img src="https://t1.daumcdn.net/cafeattach/1NonL/42e81b764cf871fff378d07220093a5b397a88da" class="txc-image" data-img-src="https://t1.daumcdn.net/cafeattach/1NonL/42e81b764cf871fff378d07220093a5b397a88da" data-orgin-width="441" data-origin-height="475"></div><p>박스 부분에서 h가 0으로 가는 lim 기호가 적분기호 안으로 들어간 것 같은데, 별다른 조건 없이 이게 가능한가요?  </p>
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제가 간단한 것을 착각하는지 모르겠는데,, ㅜㅜ 영상 (8:30 부분) 에서 f '이 [-1,1]에서 균등연속이므로, h →0일 때 (1/h)[ f(x+h-t)-f(x-t) ] = f '(ξ)→f '(x-t)가 균등수렴한다고 하셨는데 이게 왜 균등수렴인지 잘 이해가 안갑니다. f '이 균등연속인 것과 f '이 균등수렴하는 것이 상관이 있나요?
댓글을 지우셨넹.. 아무튼. 그러고보니까 이런식의 균등수렴은 함수열만 다루신거면 익숙하진 않으시겠네요. ㅠㅠ 제가 어릴 때 비틀 책에서 본거같긴 한데 저도 어느책 몇페이지에 있다고 말은 못하겠네요. 그런데 임용기출중에 함수가 균등 연속일 때 f(x+1/n) 이 함수열이 균등수렴하는거 이용하는 문제있는데 그거랑 완전히 같은 원리에요^^
@마이클일반적으로 위상 공간 X의 각 t ∈X에 대하여 적당 정의역에서 실변수 실가함수 f_t(x)가 정의되었다고 합시다. t -> a∈X 일 때 f_t(x) 가 f(x)로 균등 수렴한다 함은 임의의 epsilon 에 대하여 어떤 a의 근방 V가 존재하여 t ∈V일 때는 a≠t인 한에는 언제나 f_t(x)가 f(x)의 epsilon 근방에 들어간다 하는 뜻입니다. 이것은 선생님께서 현재 알고 계시는 함수열의 균등 연속이나 우리가 논의하고 있는 형식의 균등 연속이나 모든 개념을 포함하는 정의입니다. 아시겠습니까?
@신선물고기부연 설명을 조금 더 하자면, 그래서 이것을 t가 실변수인 경우로 생각하면 다음과 같이 됩니다. "임의의 epsilon 에 대하여 어떤 delta가 존재하여 t가 0의 delta 근방에 있을 때 t=0인 경우를 제외하면 언제나 (모든 x에 대하여) f_t(x)가 f(x)의 epsilon 근방에 있다." 이것이 t->0인 경우에 매개화된 함수의 균등 수렴의 뜻입니다.
자 그러면 예의 위에서 명재를 증명해 보겠습니다. 적당한 정의역에서 정의된 실변수 실가 함수 f(x)가 균등 연속이라 하겠습니다. 이제 t->0일 때 f(x+t)가 f(x)로 균등수렴함을 보이겠습니다. epsilon을 양수라 합시다. 그러면 f(x)의 균등 연속성에 의하여 어떤 delta 가 존재하여 t가 0의 delta 근방에 있을 때 언제나 f(x+t)가 f(x)의 epsilon 근방에 있게 됩니다. 이때 delta 가 x에 의존하지 않으므로 f(x+t)는 f(x)로 균등 수렴한다는 것을 알 수 있습니다.
첫댓글 적분구간이 사실상 유계고 균등해서 되는거구요 서술할 때 필요합니다. 제가 설명을 안했나요? 그랬다면 죄송하고 지적해 주셔서 고맙습니다. 기입형 계산 오류랑 같이 풀이 정리해서 올리도록 할게요.
생각해보니끼 이 문제 설명할 때 제가 컨디션이 많이 안 좋았어요. 영상으로 설명 해 드릴테니 조금만 기다려주세요.ㅠㅠ
영상 답변이 나왔어요
https://youtu.be/sc9YMZKoHhk
PLAY
제가 간단한 것을 착각하는지 모르겠는데,, ㅜㅜ
영상 (8:30 부분) 에서 f '이 [-1,1]에서 균등연속이므로,
h →0일 때 (1/h)[ f(x+h-t)-f(x-t) ] = f '(ξ)→f '(x-t)가 균등수렴한다고 하셨는데
이게 왜 균등수렴인지 잘 이해가 안갑니다.
f '이 균등연속인 것과 f '이 균등수렴하는 것이 상관이 있나요?
@마이클 f'(x-t)는 x, t에 관한 이변수 함수이고 지금 이야기 하는 극한은 t->0일 때 f'(x-t)가 f'(x)로 수렴하는 상황을 이야기 하고있죠. f'(x)가 균등 연속이니까 이 수렴이 균등 수렴이라는 말입니다.
@신선물고기 교수님 t->0이 아니라 h->0일 때 (1/h)[ f(x+h-t)-f(x-t) ] = f '(ξ)→f '(x-t)이 균등수렴인 상황입니다.
그리고 답변에서 f '(x-t)→f '(x)가 균등수렴이라고 하셨는데 x, t는 실수인데 f '(x-t)을 함수열로 볼 수 있나요? 혹시 x 혹은 t를 n으로 생각하는 것이라면 어느것을 n으로 간주하는 것인가요?
@마이클 함수열 아니고 매개화된 함수에요.
@신선물고기 그럼 일반적으로 f(x)가 균등연속이면 t→infty , f(x, t)→f(x)는 균등수렴인가요?
@마이클 아저기 x-t 에 대해서 쓴 것은 좀 잘못 썼네요. x 고정하고 xi를 t와 h의 함수로 보세요. 그리고 f'이 유계구간서 균등연속인 부분을 생각하세요. xi의 범위가 h로 바운드되어있죠?
@마이클 f(x,t) 는 뭔가요?
@마이클 f(x)가 균등연속인거랑 f(x,t)랑 아무관계 안 지으셨는데.
@마이클 극한이 균등연속이냐는 질문도 이상하고.. 뭔가 급히 쓰신거같은데.
@신선물고기 일반적으로 얘기를 해보려고 f '(x-t) 을 x, t에 대한 함수로 써봤어요. 함수열로 비유하자면 fn(x)을 f(x,n)으로 나타낸 셈이죠.
@신선물고기 아 맞습니다. f(x,t)는 f(x)으로 균등수렴입니다. 잘못 썼습니다. 수정했습니다.
@마이클 f(x)가 균등연속이라고 하더라도 f( x,t) 무엇인지 특정하지 않고는 t->infry 일 때 아무말도 못하죠.
@마이클 여전히 아무 의미없는 질문입니다. ㅠㅠ
@신선물고기 지금 제가 교수님의 답변 중에 《 t->0일 때 f '(x)가 균등연속이면 f '(x-t) 가 f '(x)로 균등수렴한다 》 는 말이 이해가 안되고 있어요. 그래서 이게 일반적으로 성립하는 것인가 해서 저렇게 질문을 해본것입니다.
@마이클 네 그 부분에 대해서 일반적으로 말씀 드리겠습니다.
함수 f(x)가 균등 연속이라고 가정하자.
그러면 t->0일 때 f(x+t)는 f(x)로 점별 수렴하며 또한 이 수렴은 사실 균등수렴이다.
이것이 핵심 내용입니다.
댓글을 지우셨넹.. 아무튼. 그러고보니까 이런식의 균등수렴은 함수열만 다루신거면 익숙하진 않으시겠네요. ㅠㅠ 제가 어릴 때 비틀 책에서 본거같긴 한데 저도 어느책 몇페이지에 있다고 말은 못하겠네요. 그런데 임용기출중에 함수가 균등 연속일 때 f(x+1/n) 이 함수열이 균등수렴하는거 이용하는 문제있는데 그거랑 완전히 같은 원리에요^^
정 이상하다고 느끼시면 입실론 델타로 자세히 설명드릴게요. 그러니 생각해보시고 이해 안가시면 댓글 달아주세요^^
《 f (x)가 균등연속이면, t->0일 때 f(x+t) 가 f (x)로 균등수렴한다 》 을 입실론 델터로 설명해주시면 좋을 것 같습니다.
그리고 f(x+t)가 f(x)로 균등수렴한다는 것을 입실론 델터로 어떻게 정의해야 할지도 정확히 모르겠습니다. (약간 짐작은 되지만 정확히는 모르겠습니다)
@마이클 짐작하시는 바를 말씀해 보시면 이해하시는 데 더 도움이 될 것 같습니다. 말씀해 보세요.
@신선물고기 《 t→0일 때 f(x+t) 가 f(x)로 균등수렴한다 》 (단, A는 f의 정의역)
: 임의의 ε>0에 대해,
1/t >K 이고 x∈A ⇒ |f(x+t)-f(x)|< ε
을 만족하는 양수 K가 존재한다.
@마이클 그런 뜻입니다. 그런데 굳이 왜 역수를 취하시고 우극한 쪽으로 이야기 하시는지 잘 모르겠네요.
@마이클 일반적으로 위상 공간 X의 각 t ∈X에 대하여 적당 정의역에서 실변수 실가함수 f_t(x)가 정의되었다고 합시다. t -> a∈X 일 때 f_t(x) 가 f(x)로 균등 수렴한다 함은 임의의 epsilon 에 대하여 어떤 a의 근방 V가 존재하여 t ∈V일 때는 a≠t인 한에는 언제나 f_t(x)가 f(x)의 epsilon 근방에 들어간다 하는 뜻입니다. 이것은 선생님께서 현재 알고 계시는 함수열의 균등 연속이나 우리가 논의하고 있는 형식의 균등 연속이나 모든 개념을 포함하는 정의입니다. 아시겠습니까?
@신선물고기 부연 설명을 조금 더 하자면, 그래서 이것을 t가 실변수인 경우로 생각하면 다음과 같이 됩니다. "임의의 epsilon 에 대하여 어떤 delta가 존재하여 t가 0의 delta 근방에 있을 때 t=0인 경우를 제외하면 언제나 (모든 x에 대하여) f_t(x)가 f(x)의 epsilon 근방에 있다." 이것이 t->0인 경우에 매개화된 함수의 균등 수렴의 뜻입니다.
@마이클 아 절댓값을 빠뜨리신거죠? t에 절댓값만 있으면 괜찮네요.
자 그러면 예의 위에서 명재를 증명해 보겠습니다. 적당한 정의역에서 정의된 실변수 실가 함수 f(x)가 균등 연속이라 하겠습니다. 이제 t->0일 때 f(x+t)가 f(x)로 균등수렴함을 보이겠습니다.
epsilon을 양수라 합시다. 그러면 f(x)의 균등 연속성에 의하여 어떤 delta 가 존재하여 t가 0의 delta 근방에 있을 때 언제나 f(x+t)가 f(x)의 epsilon 근방에 있게 됩니다. 이때 delta 가 x에 의존하지 않으므로 f(x+t)는 f(x)로 균등 수렴한다는 것을 알 수 있습니다.
위에서 제가 쓴 바를 이해하신다면 어째서 균등 연속이 예의 균등 수렴의 직접적이고 자명한 근거가 되는지 이해하실 수 있을 것으로 기대합니다.
네 이해됐습니다. 설명 정말 감사합니다. ^^
@마이클 좋습니다!