"지킴이" 님 말씀대로 입체라서 설명하기가 상당히 까다로운데요,
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우선 연습장을 펴시고, 정육면체를 하나 그리세요. 정육면체의 각 꼭지점에 번호를 부여합니다.
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윗면에 1,2,3,4 아랫면에 5,6,7,8 이렇게요.
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물론 1밑에 5, 2밑에 6, 3밑에 7, 4밑에 8이 오도록 번호를 부여하셔야 합니다.
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그걸 기준으로 설명할테니까요
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정육면체의 회전군이라 함은
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정육면체를 회전시켜서 처음의 모양과 같게 나오는 회전변환을 모아놓은 군을 말합니다.
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그렇다면 문제는 최전축을 어떻게 선택할 것이냐 입니다.
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그래서 아래와 같은 3가지 형태로 회전축을 선택하고 각각에서 생성되는 원소를 고려하면
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정육면체의 회전군이 찾아집니다.
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① 마주보는 면의 중점을 연결한 선분을 축으로 하는 회전.
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이때, 회전축은 3개가 생기고 각각의 회전축에서 위수가 4인 부분군이 생성이 됩니다.
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예를들어서, 윗면의 중점과 아랫면의 중점을 연결한 직선을 축으로 본다면
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(1234)(5678), (13)(24)(57)(68), (1432)(5876), id 이렇게 4개의 원소를 가진 순환군이 생성됩니다.
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마찬가지로, 앞면과 뒷면의 중점을 연결한 축에서 위수가 4인 부분군,
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두개의 옆면의 중점을 연결한 축에서 위수가 4인 부분군이 생성이 됩니다.
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즉, 위수가 4인 부분군이 3개 생성이 됩니다.
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이때 찾아진 항등치환이 아닌 회전변환의 갯수는 3×4 - 3 = 9 입니다.
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② 마주보는 꼭지점을 연결한 선분을 축으로 하는 회전
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이때, 회전축은 4개가 생기고 각각의 회전축에서 위수가 3인 부분군이 생성이 됩니다.
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예를들어서, 2번 꼭지점과 8번 꼭지점을 연결한 선분을 축으로 하는 회전을 찾아본다면
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꼭지점 1,3,6 을 연결한 삼각형을 회전시키는 것과 같은 효과가 나타나므로
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(163)(457)(2)(8), (136)(475)(2)(8), id 이렇게 3개의 원소를 가진 순환군이 생성됩니다.
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또, 1번과 7번, 3번과 5번, 4번과 6번을 연결한 축에서 위수가 3인 부분군이 생성이 됩니다.
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즉, 위수가 3인 부분군이 4개 생성이 됩니다.
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이때 찾아진 항등치환이 아닌 회전변환의 갯수는 4×3 - 4 = 8 입니다.
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③ 마주보는 모서리의 중점을 연결한 선분을 축으로 하는 회전
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이때, 회전축은 6개가 생기고 각각의 회전축에서 위수가 2인 부분군이 생성이 됩니다.
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예를들어서, 모서리 1,5 와 모서리 3,7 의 중점을 연결한 선분을 축으로 하는 회전을 찾아보면
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(15)(37)(46)(28), id 이렇게 2개의 원소를 가진 순환군이 생성이 됩니다.
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마찬가지로, 모서리 2,6 과 모서리 4,8 의 중점을 연결한 축,
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모서리 1,4 와 모서리 6,7 의 중점을 연결한 축, 모서리 2,3 과 모서리 5,8 의 중점을 연결한 축
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모서리 3,4 와 모서리 5,6 의 중점을 연결한 축, 모서리 1,2 와 모서리 7,8 의 중점을 연결한 축
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위의 6개 축에서 각각 위수가 2인 부분군이 생성이 됩니다.
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즉, 위수가 2인 부분군이 6개 생성이 됩니다.
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이때 찾아진 항등치환이 아닌 회전변환의 갯수는 6×2 - 6 = 6
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그러면 위의 과정을 거쳐서 찾아진 항등치환이 아닌 회전변환의 갯수는 9+8+6 = 23 입니다.
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여기에 항등치환을 포함시키면 총 24개의 회전변환이 찾아집니다.
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그러므로 정육면체의 회전군의 위수는 24 가 됩니다.
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단순히 위수가 24라고해서 S_4와 동형이라는 말은 아닌듯하네요. 역시 입체라서 설명하기가 한계가 있지만, 간략히말하자면 정육면체군의 모든 회전이동은 4개의 대각선의 자리바꿈으로 모두 결정되기 때문에 S_4와 동형이다. 라고 말할수 있겠네요.즉, 정육면체에서 변화되는 것이 굉장히 많아보여서 생각하기
첫댓글 음.....저두 정육면체의 회전군의 위수가 24인것을 일일이 체크해봤거든요....직접 정육면체를 만들어서 손으로 잡고 빙빙 돌리면서요~~^^;;; 그런데 위수가 24라고 해서 S_4와 동형이 왜 될수있는가가 궁금해요~~^^
그리고 정육팔면체군과 정십이면체군 ,정이십면체군도 각각 다른 대칭군과 동형이라고하던데요 정팔면체도 S_4와 동형이라고 하더라구요....왜 될수 있는지...알려주세요~~^^*
단순히 위수가 24라고해서 S_4와 동형이라는 말은 아닌듯하네요. 역시 입체라서 설명하기가 한계가 있지만, 간략히말하자면 정육면체군의 모든 회전이동은 4개의 대각선의 자리바꿈으로 모두 결정되기 때문에 S_4와 동형이다. 라고 말할수 있겠네요.즉, 정육면체에서 변화되는 것이 굉장히 많아보여서 생각하기
힘들다는 점이 있지만 그 변화의 중심에는 4개의 대각선이 있어서 그 변화를 단순화 시켜서 생각할수 있다는 것이겠지요. 그러니깐 정팔면체나 정이십면체도 그 변화속에서 중심이되는 것을 찾아보면 될듯한데요. 정육면체가 어려운만큼 그두가지도 역시 어려울듯하네요^^;;
정6면체와 정8면체는 구조가 상당히 비슷합니다. 실제로, 정6면체의 각 면의 중점을 연결해보면 정8면체가 되고, 정8면체의 각 면의 중점을 연결해보면 정6면체가 됩니다. 같은 방법으로, 정12면체 안에는 정20면체가 들어가고, 정20면체 안에는 정12면체가 들어갑니다.
참고로, 정6면체의 회전군이 S_4 와 동형이 되고, 정12면체의 회전군은 S_5 와 동형이 됩니다. 그냥 참고로 알아 두시면 될 것 같습니다. 증명해 달라고 하시면... 음... 그건 제 능력 밖의 문제인 것 같네요... ^ㅡ^;;