함수항 급수 연속 미분 적분여부 / 유제 7-37

[묘묘묙]

1. 함수항 급수의 연속 미분 적분 여부에 관한 질문입니다. 필수예제 65번처럼 주어진 함수항 급수가 실수 전체에서는 균등수렴 하지 않지만, 임의의 고정된 실수마다 적당한 유계폐구간을 잡아서 살펴보면 그 구간에서는 균등수렴하기때문에 결국 임의의 실수에 대해 함수항 급수가 미분가능하다 < 이런 식의 풀이를 하는건 이해가 됩니다. 그런데 미분가능하다를 넘어서, 결국 실수 전체에서 “극한과 미분의 교환” 도 가능하다고 결론을 지어도 되나요? 예를들어 예제65번에서 풀이는 g(x)가 실수에서 미분가능하다까지만 나와있는데, ( 이문제에서는 관련이 없지만) 만약 함수항급수의 미분을 구해야하는 경우, 모든 실수에서 d/dx(sum fn(x)) = sum(d/dx(fn(x))) 도 성립한다고 생각하고 순서를 바꿔서 미분을 하고 풀어도 오류가 없는지 궁금합니다.

2. 유제 7-37에서 fn의 함숫값이 모든 x에 대해서 정수 k를 [x] 또는 [x]+1 로 잡으면 결국 1/2보다 작거나 같은 함숫값을 갖게되는것 맞나요?
그리고 fn(x)가 연속함수열이 되는 이유를 구체적으로 잘 모르겠습니다.

[김성희]

1. x를 하나 고정하고 시작을 하여 x를 포함하는 유계구간 J에서 미분가능하고, 그 J에서 미분과 급수의 교환이 가능하므로 x에서도 교환이 가능합니다. 따라서 시작과 끝만 보면 R의 임의의 x에서 미분과 급수의 교환이 가능해집니다.

2. f_0를 먼저 구해보면, [0, 1]에서 (0, 0), (1/2, 1/2), (1, 0)을 지나는 산 모양이 되고, 이 모양이 [n, n+1]에서 계속 반복됩니다. f_n은 이 f_0에서 주기와 최댓값이 달라지는 것이어서 연속입니다.