못보신분들위해서
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나름 타당성이 있어 보는 문제들로 스크랩해왔습니다.
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저도 위상문제는 위상정의가 쩜이상했지만,
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배운게 좀 짧다보니...다들 수학을 공부하신분들이니 지문의
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조건이 얼마나 중요한지 아시겠죠;~~
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제가 모르는 뭔가가 있겠지 싶었는데..
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ㅠㅠ
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과목별 수학
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제목 수학 15번 문항
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작성자 조도상 등록일 2006-12-05 13:50:16
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안녕하십니까?
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저는 사범대학의 수학교육과에서 학생들을 지도하고 있습니다.
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먼저 2007학년도 중등임용고사 문항중 지문의 뜻이 명확하지않아 이의신청을 합니다.
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수학 15번 문항에서
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"X 를 B={ V| V와 V 의 여집합이 모두 열린집합} 을 기저로 하는 위상공간이라 하자"
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라는 문장이 이상합니다.
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일반적으로 위상을 기저를 이용해 정의 할떄는 부분집합의 모임들이 특별한 성질을 가지고 있어야 합니다. 두개의 기저에 속하는 원소의 교집합은 항상 기저에 속하는 집합을 포함해야하고 임의의 점을 포함하는 기저의 원소도 있어야 합니다.
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그런데 위 지문에는 V와 V의 여집합이 모두 열린집합으로 정의 하고 있습니다.
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이는 이미 어떤 위상이 주어져 있어 그 위상의 원소, 다시말해 열린집합을 정의 할 수 있을때 가능한 일입니다. 그런데 본문제의 지문에서는 X의 어떤 지문도 제시되어 있지 않습니다.
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만약 출제자의 의도가 `어떤 위상공간의 위상이 V도 열린집합이면 V의 여집합도 열린집합이 된다' 였다면 지문의 표현은 정의 하려고 하는 것을 정의에 포함시키는 순환적 오류에 빠지게 됩니다.
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두번째 문제의 의도가" V도 포함되면 V의 여집합도 포함되는 어떤 부분집합들의 모임들"을 기저로 하는 위상을 가정했다면 먼저 이 모임이 기저가 됨을 보여야하던가 명백하여야 할 것으로 생각되어 집니다. 이 경우 만약 어떤 학생의 답안이 지문에 나오는 닫힌집합 F를 동시에 열린집합으로 해서 문제를 풀이 했다면 지문을 통해서는 알 수없는 사실을 가정한 것이므로 틀린 주장이라고 할 수 있겠습니다.
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저는 이와같은 지문의 에매모호함을 지적하고 싶습니다.
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과목별 수학
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제목 수학 19번 문제 정답
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작성자 조도상 등록일 2006-12-05 14:07:34
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안녕하십니까?
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수학 19번 문제의 답에 대하여 알고 싶습니다.
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본 문제는 테일러 급수의 평등수렴에 관한 문제인데 보통의 경우 지문의 내용으로는 테일러 급수의 수렴반경의 경계점에서의 수렴성을 가정해야 문제가 해결 되는 것으로 알고 있습니다. 문제에서는
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log 2가 데일러 급수에 1을 대입한 값 이는 교대 급수 판정법으로 수렴성을 보일 수 있을 것 같은데 이는 일반적으로는 아벨의 정리로 알려 있는 걸로 알고 있습니다. 정답에 이러한 부분이 포함되어야 할 것 같은데 그렇지 않으면 나머지 항의 미분을 이용해서는 풀이할 수 없는 것 같습니다.
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과목별 수학
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제목 수학/7번
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작성자 허지화 등록일 2006-12-05 20:48:29
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저보다 먼저 다른 수험생께서 이의 신청을 하셨지만 조금 다른 저의 의견도 읽어주시면 감사드리겠습니다.
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우선 제가 7번 선형대수학관련 문제를 풀면서 느낀 점을 말씀드리겠습니다...
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문제를 보면 "A행렬의 대각화 가능함을 보이고 " 라는 대목에서 저는 대각화가능임을 보이기 위해 고유다항식을 구하고 고유치를 찾고자 했습니다... 그런데 고유다항식을 구했는데 그 근이 실수가 아님을 알고 어떻게 해야 할지 망설였습니다... 왜냐하면 학부과정에서 공간에 대한 명시가 없을시 실공간에서 대각화 가능임을보이거나 불가능을 보이면 된다고 배웠고 복소고유치는 복소공간이라 명시를 했으면 구하면 된다라고 배웠기 때문에 문제에 다른 해결방안이 있나 한참을 고민했습니다... 그래도 해결방안이 없어 나중에 풀자고 넘겼습니다... 그리고는 나중에 급한 마음에 별개의 내용적게 되었습니다...
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이문제에 대해 나 혼자만 이렇게 생각하지 않나 하고 전공수학관련 카페에 저의 의견에 대해 물어 보았는데 대 다수의 수험생들이 저와 같이 생각하고 있어 이렇게 문항 이의 신청을 합니다.
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이의신청관련에 대해 저와 동료수험생들의 의견을 말씀드리면
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"A 행렬의 대각화 가능함을 보이고" 라는 대목에서 문제에 대각화 공간에 대해 명시를 해야 한다고 생각합니다...
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특별한 언급이 없기 때문에 실공간에서 고유치를 생각한 수험생들은 복소고유치가 나와서 당연히 대각화 불능이라고 판단할 것이기 때문에 문제 이상하다고 생각했을 것이고 문제 풀기를 중단했을 것입니다.
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만약 "복소공간에서 대각화가능임을 보이고"라 했을 경우 수험생들은 당황하지 않고 끝까지 문제를 해결하기 위해 노력했을 것입니다..
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또 만약 문제가 공간에 대한 언급이 없이"대각화 가능한가? 가능하면 P행렬을 구하라" 라고 했다면 실공간에서 고유치가 존재하지 않으므로 대각화 불능이라고 답을 했을 것이고 그러므로 대각화 가능한 P행렬도 존재하지 않는다고 답을 했을 것입니다. 그리고 복소공간에서 복소고유치와 고유벡터를 구한 수험생있다면 그 수험생의 답도 틀린답이 될수 없게 됩니다...
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제 의견을 정당화 하기에 경문사 제 3 판 선형대수학 p217 보기 4.2.2 와 p268 정리 5.2.9의 1)번 증명내용을 보시면 감사하겠습니다... 처음 것은 똑같은 행렬에 실수체 R위에서 대각화 불능이라 언급이 되어 있고 뒤의 것은 공간 명시 없이 고유치가 0<쎄따<파이 또는 파이<쎄타<2파이 구간에서는 존재하지 않음을 보이고 있습니다....
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그리고 대부분의 대학교수님들도 수업시간에 대각화 가능 공간에 대해 언급이 없을시 실공간에서 생각하면 된다고 가르쳐주십니다....
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또 제가 수업을 들은 전공강사님께서도 대각화 불능이면 복소수근을 가진다라고 하셨습니다.
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이러한 사유로 7번 문항에 대해 이의 신청합니다....
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마지막으로 제가 드리고 싶은 말씀은 임용고사가 수험생들이 능력을 테스트하고 좀더 훌륭한 교사를 선발하기 위한 것이라면 우리가 가진 능력을 최대한 발휘하게 해야하는데 7번 선형대수관련문제는 이와는 역행하는 문제라고 생각합니다. 왜냐하면 분명히 대각화 가능성에 대한 정의와 그와 관련된 이론을 다알고 있더라도 문제에 대한 답을 쓸수없게 했기 때문입니다...
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과목별 수학
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제목 수학/13번문항/
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작성자 이선홍 등록일 2006-12-05 15:39:56
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f가 alpha에 대하여 RS-적분가능하다는 것은 다음과 같이 두 가지로 (또는 더 많은 경우로) 정의할 수 있다고 알고 있습니다.
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(1) 다음을 만족하는 상수 A가 존재한다:
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임의의 양의 상수 epsilon에 대하여
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P가 P_epsilon의 세분(세밀한 부분분할)이면 |S(P,f,alpha) - A|< epsilon
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을 만족하는, [0,2]의 분할 P_epsilon이 존재한다.
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(2) 다음을 만족하는 상수 A가 존재한다:
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임의의 양의 상수 epsilon에 대하여
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||P|| < delta이면 |S(P,f,alpha) - A|< epsilon
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을 만족하는 양의 상수 delta가 존재한다.
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이 때, (2)가 성립하면 (1)은 당연히 성립하고,
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또한 리만적분의 경우 (1)과 (2)는 서로 필요충분조건인 것으로 알고 있습니다.
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그런데 RS-적분의 정의를 (1)과 같이 했을 경우에 문제의 답은
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적분가능이고 이 때의 적분값은 2
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이지만 RS-적분의 정의를 (1)과 같이 했을 경우는 문제의 답은
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적분가능하지 않는다
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일 것 같습니다.
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여기에서 (2)번으로 RS-적분을 공부한 경우는, 문제의 f는 alpha에 대하여 RS-적분가능하지 않은데 문제에서는 적분가능함을 보이라고 했기 때문에 13번문제는 적절해 보이지 않습니다.
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==> 어케 결론이 날지 다들 지켜봅시닷~
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첫댓글 선형대수문제는 문제가 있었던 거 같음
저도 선대문제 풀다 이상해서 중간에 손 놨었는데용
문제자체를 보자면 크게 문제점은 없었다고 하지만... 그래도 어느 체위에서 대각화 가능인지 주어지질 않아서 애매한 문제였습니다. 어느 체 위에서 대각화를 구성하느냐가 문제니까요..
참 다들 똑똑하고 정확하게 자기의견을 표현하면서 글을 잘 올려주셨네요..저는 그냥 수긍하고 넘어갔는데...본받을 점입니다.
이번에 엄밀하지 못한 문제들이 있는건 정말 사실입니다.
저도 중간에 복소고유치가 나와서 너무 당황해서 비우고 다른거 풀다 계속 찝찝해서 다시 돌아와서 15분정도 이렇게 해보고 저렇게 해보고...심장은 두근거리고..정말 속상해서 죽는줄 알았어요..결국 못풀고 나왔어요...