군론 및 군의 일반화 (Group Theory and Generalizations) by "Unique" 님

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군론 및 군의 일반화 (Group Theory and Generalizations)

- 심효섭 백영길 김관수 김판수 -

19C 초의 기하학, 18C 말의 정수론과 대수방정식의 연구 속에서 나타나기 시작한 군(group) 의 개념은E. Galois의 획기적인 연구를 계기로 19C 중반 명확한 형태를 갖게 되면서 군론 (Group Theory)으로 발전하여 현대 수학의 거의 모든 분야와 연관된 현대 대수학의 핵심 분 야로서 매우 중요한 역할을 하고있다.

18C 대수방정식의 연구를 통하여 J.L. Lagrange, A.T. Vandermonde, D. Ruffini 등은 방정 식의 해들의 치환들이 이루는 군의 중요성을 인식하였으며 이를 이용하여 N. H. Abel은 5차 이상의 대수방정식의 해는 일반적으로 대수적 방법으로 나타낼 수 없음을 보였다.

A. L. Cauchy는 독자적으로 방정식의 해들의 치환의 군을 연구하였고 특히, E. Galois는 대수방정 식과 군의 관계를 완벽히 규명하여 이 것이 군 이론의 시발점이 되었다.

당시의 군은 대부분 치환의 군이었고 A. Cayley(1854) 및 L. Kronecker(1870)에 의해 최초로 군의 공리적 정의 가 소개되면서 치환의 군을 벗어난 추상적인 군의 취급을 가능케 하였다.

F. Klein(1872)은 기 하학의 연구에 있어서 군론의 중요성을 강조하였으며 M. S. Lie에 의해 1880년대 Lie 군 이론 이 정립되면서 무한 연속군의 연구의 필요성이 나타났다.

Poincare, Dehn, Neilsen 등의 연 구에서 위상수학의 발전은 무한 불연속 군에 대한 연구의 주요한 자극이 되었다.

1897년 W. Burnside의 저서 'Theory of Groups of Finite Order'이 출간되어 최초의 군론의 교재가 되 었으며 현재까지도 군론의 고전으로 활용되고 있다.

군론은 추상대수학의 여러 분야 중 최초로 개발되어 19C 말 - 20C 초반부터 본격적인 연구 가 시작되면서 가장 기본적이고 핵심적인 분야로서 추상대수학의 발전에 기여하여 왔다.

당시는 유한 치한군의 연구에서 시작되어 p-군, 가해군(soluble group) 및 일반적인 추상적 군 의 구조에 대한 활발한 연구가 계속되었다.

특히 유한 치환군은 이미 19C 중반 Cauchy 와 19C 후반 C. Jordan의 대수방정식의 연구에 기원을 둔 연구에 이어 20C 초와 중반 W. Burnside, W. A. Manning, J. S. Frame 등에 의하여 중요한 연구가 계속 되었고 H. Zassenhaus, H. Wielandt 등에 이르러서는 유한치환군의 기본구조에 대한 상당한 연구 결 과가 나오게 되었다.

그런 후 과거 20년 동안은 무한 치환군의 연구가 시작되었고 많은 진전 은 있었지만 여전히 많은 연구과제를 남겨두고 있다.

최근 치환군의 연구는 타 영역간의 관계 성을 규명하는데 많은 관심을 보이고 있다.

치환군과 조합이론, 위상적 방법을 통한 치환군의 연구, 치환군 이론의 그래프이론(graph theory)에의 응용 등은 여러 영역간의 도움을 주고 받는 주요한 연구영역이다.

유한군의 구조에 대한 이해는 19C 말 F.G. Frobenius에 의하여 처음 도입된 유한군의 지표 이론(character theory)과 함께 급속한 발전을 거듭하였다.

유한군의 지표이론은 Frobenius, I. Schur, W. Burnside의 탁월한 연구로 유한군의 표현론(representation theory)으로 발전하였으며 유한군의 심오한 구조를 밝히는데 필수 불가결한 도구로 발전하 였다.

또한 R. Brauer의 선구적 연구에 의하여 모듈러(modular) 표현이론이 등장하여 유한 군의 표현의 블록(block) 등의 많은 중요한 이론으로 발전하여 유한 단순군(simple group) 등의 유한군의 구조의 깊은 이해를 가능케 하였다.

모듈러 표현론은 특히 유한가해군의 연구 에도 아주 중요한 역할을 하였다.

표현론은 그 발전을 거듭하여 J.A. Green에 이르러 새로운 발전의 국면을 맞았고 군대수(group algebra) 위의 분해불가능한(indecomposible) 가군 (module)의 조직적 연구로 이어져 종전의 연구를 확장하고 통합하는 중대한 개념을 소개하 게 되었다.

나아가 G-대수 이론은 G-가군 이론과 블록이론을 다루는 주요한 도구로 사용될 수 있게 되었고 1970년대 말에 이르러 J.A. Alperin, M. Broue, L. Puig 등은 블록과 표현의 p-국소(local) 이론의 기초를 확립하였다.

특히 Puig는 이러한 개념을 발전시켜, G-대수 위 의 점군(pointed group)의 개념을 정의하여 점군의 일반이론으로 확장하였다.

닐포턴트 블 록에 대한 Puig의 정리는 1980년대 가장 주요한 표현론의 연구 결과의 하나이며 앞으로도 많 은 연구가 이어질 것이며, 특히 유한가해군, 유한단순군 등의 유한군의 구조에 대한 새로운 이해를 가능케 하는 주요한 대수적 또는 수론적 정보를 제공할 것으로 생각된다.

많은 수학자들에 의해 연구되어 지고 있던 유한 단순군(simple group)의 분류가 1980년 초 D. Gorenstein의 주도로 완성되면서 유한군의 연구의 진미를 이룩하게 되었다.

이 유한 단순 군의 분류의 완성은 1950-1980 초까지 약 30년에 걸쳐 100명 이상의 수학자들이 참여한 500 여 편에 달하는 논문을 통하여 이룩한 쾌거로 가장 긴 증명을 갖는 단일 정리로 널리 알려지 게 되었으며, 이것을 계기로 군론에서는 물론 체론(field theory), 그래프이론, 유한기하학 등 에서의 새로운 수많은 연구를 촉발시켰다.

특히 유한 2-추이적(transitive) 치환군의 분류의 완성과 같은 유한단순군의 분류를 이용한 많은 연구결과들이 쏟아졌다.

한편, 유한단순군 분 류정리의 증명을 개선하려는 노력이 계속되고 있으며 특히, Steinberg, Curtis, Lustig 등의 리이형태(Lie type)의 유한군의 표현론의 주요한 연구와 Alperin, Broue, Puig 등의 중요한 연구는 새로운 증명의 길을 여는 중요한 역할을 할 것으로 알려지고 있다.

유한군에 대한 결과들과 대응하는 무한군의 성질 연구에 관심을 갖게 되면서 특히 위상수학 의 발달에 따라 무한 불연속 군에 대한 연구가 시작되었다.

위상공간의 기본군에 그 기원을 갖고 W. von Dick과 Poincare에 의하여 도입된 조합군론(combinatorial group theory)은 Lie 군과 무한 가환군의 이론과 함께 무한군의 가장 주요한 연구 분야로 발전하여 왔다.

Chandler와 Magnus는 생성자(generator)와 관계식(relator)들로 주어지는 군의 이론으로, R. Lyndon은 '저차원 위상수학'으로 조합군론을 규정하였다.

1) 자유군(free group)의 성질 및 방정식에 관한 분야,

2) 계수(rank) n인 자유(free) R-가군의 자기동형사상군 (automorphism group)과 같은 군의 구조를 규명하는 분야,

3) 트리(tree)의 자기동형사상군 과 그 부분군의 구조를 밝히는 문제와 같은 트리의 준동형사상에 관한 분야,

4) 유한표시된 torsion 군의 유한성에 대한 소위 Burnside 문제와 관련된 분야,

5) 단어문제(word problem), 켈레성문제 (conjugacy problem) 등의 군표시에 대한 분야,

6) Fusian 군, 곡면 군(surface group)

등의 기하적 군에 관한 분야는 오늘날 조합군론의 핵심 분야이다.

W. von Dick(1882)은 생성자와 관계식을 이용하여 군을 표시하는 방법을 처음으로 소개하였 으며 1895년 Poincare에 의해 소개된 기본군(fundamental group), 1905년 Wirtinger에 의 해 발견된 매듭군(knot group), 1908년 Tietze에 의해 증명된 유한차원 콤팩트(compact) 호 연결(arcwise connected) 다양체의 기본군의 유한표시(finitely presented) 가능의 연구 등 은 유한 표시되는 군들의 연구의 중요성을 불러 일으켰다.

Max Dehn (1910)의 단어 문제 (word problem)등의 유한 표시되는 군에 대한 여러 문제들, 군이 유한이냐 (Burnside problem), 유한 생성되느냐, 유한 표시되느냐, 켤레류는 무엇이냐, 부분군에 대한 문제 등 여 러 종류의 새로운 문제들이 제시되고 이를 해결하려는 체계적인 연구가 진행되고 있다.

이러한 문제들은 자유환(free ring), 가환환, 논리학, 위상수학, 계산수학 등의 발달과 함께 군론 연구의 새로운 기술을 얻기도 하고 군론의 연구에 의해 이러한 다양한 분야의 연구를 크게 발 전시키는 계기가 되기도 한다.

특히 위상수학적으로 공간의 성질을 조사하기 위해, 공간에 대 한 기본군에 대한 군론의 문제를 야기하기도 하며 군론의 문제를 기하학적 또는 위상수학적 으로 해결하기도 한다.

구체적으로 자유군, 일반화된 자유곱 군, HNN 확장군 등은 공간의 기 본군 연구의 기초가 되며, 교환자 해석(commutator calculus), Lie 이론, 군의 봐라이어티 (variety), 선형군, Fuchsian 군, Cohomology 이론, 1-relator 곱, 그리고 최근 Bass와 Serre에 의해 개발된 트리 위에 작용하는 군(groups acting on trees) 등의 여러 분야의 연 구가 진행되고 있다.

이에 대한 주된 연구방법으로는 생성자를 다루는 선형소거법(linear cancellation method)과 같은 군의 대수적 연구방법과 소소거이론(small cancellation theory), Cayley 다이어그램을 비롯한 제2 호모토피군의 원소를 기하적도형으로 표시한 그 림(picture)을 이용한 기하적 연구방법이 있다.

1970년대부터 전산기의 발달과 함께 CAYLEY, MAGMA, GAP 등의 군의 연구에 필요한 소프 트웨어 개발의 요구는 계산군론(computational group theory)의 활발한 연구로 이어지게 되 었다.

정리(theorem)를 연구하는 종래의 연구보다 효과적인 알고리듬과 그 이론적 토대의 연 구의 중요성이 인식되었고 계산군론의 주요한 연구분야가 되었다.

유한 p-군, 유한단순군, 추이적(transitive) 치환군, 유한군의 자기동형사상 및 기약표현, 켈리그래프(Cayley graph), 유한기하등의 자기동형사상에 관련된 주요한 계산군론적 연구들이 이루어 졌으며, 특히 p-군생성알고리듬(p-group generation algorithm)이나 Meat-Axe, 닐포턴트상알고리 듬(nilpotent quotient algorithm), SL-인식알고리듬 등은 주요한 이 분야의 수확이다.

컴퓨터의 발달과 함께 앞으로 그 발전이 한층 기대되는 연구분야라 할 수 있다.

군의 일반화된 대수적 구조로서 아군(groupoid), 반군(semigroup), 고리(loops) 및 준군 (quasigroup)이 있다.

군의 연구와 밀접한 관련을 갖고 여러 연구자들에 의하여 연구되고 있 는 군의 관련 분야라 할 수 있다.

군론은 근본적으로 추상적인 개념을 바탕으로 한 순수이론의 연구를 기본영역으로 하는 연구 분야이다.

그러나 '보다 추상적인 인식이 보다 정확히 구체적인 현실을 반영한다'는 전제에 대한 모든 순수수학자들의 믿음을 현실적으로 증명해주는 수학의 순수이론 연구분야라 생각 된다.

사실 군론의 높은 응용성은 대수적위상수학, 기하학등의 수학의 분야에서는 물론 많은 자연과학 및 첨단과학의 연구 분야에서 입증되고 있다.

특히 그래프이론 및 전산수학 등에 대한 군론의 응용은 주목받는 중요한 연구영역이 되고있다.

원본 글 : 군론 및 군의 일반화 (Group Theory and Generalizations)

출처 : Unique 님의 네이버 카페 http://cafe.naver.com/mathideabox.cafe 

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이거 어디서 본듯한...부경대 심효섭 교수 홈페이지에 있는 글이네요..

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아... 부경대 심효섭 교수님이 유명한 분인가보죠? ^-^~?

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아니요..제가 자료좀 모으려고 각 대학교 수학과 수교과 돌아다니거든요.^^그러다 몇개 건지죠 그중 대수학 카페를 건졌죠^^

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아... ^-^ 그러시면 괜찮은 사이트 추천 부탁드려요~ ^-^;;

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www.topology.codns.com 위상수학관련 홈페이지입니다. munkres 의 topology , croom의 principle of topology 에대한 강의노트 ,미분기하학,집합론등 강의노트 가 많더라구요..^^ 대수학은 여기보다 좋은데 없어요 ^^

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대수학에 관련된 곳은 별로 없나보네요? ^^;;

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대학교에서 실제로 쓰는 강의노트라서 여기에 올리시려면 양해를 구해야 할 것 같아요^^ 직접 수작업으로 스캔해서 올리시는 것 같더라구요 요즘은 복소함수론보고 있거든요 그래도 대수학카페는 매일 들어온답니다. 좋은하루되세요

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'앨리스의 미용실' 이란 네이버에서 카페인가 블로그 인가 쳐보세요.. 주인장님이 폭풍속으로님 대학동문일겁니다. 한번 시간 내서 들려보세요 ..거기는 해석학카페랍니다.'맛있는 해석학' 이란 책을 무료배포하던데요 -_-;; 대수학관련된곳은 별로.. 잘 몰라서..

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추천 감사합니다~ ^ㅡ^

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저도 감사..전 대학원 준비생인데..도움 되겠네요..^^

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추천하신 상 관련 카페..더이상 회원을 안받는다는군요..ㅜㅜ

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왜 안받을까요?? 이상하네 http://cafe.daum.net/sootopology 이거는 같이 운영하는 카페입니다. 홈페이지와는 조금 다를 것 같은데..-_-;; 함 가보셔요

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'앨리스의 미용실' 이란 곳은 제가 못 찾는 건지 잘 안찾아지네요... ^^;; 혹시 url 을 알 수 있을까요?

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맞아요..안 찾아지던데요..

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죄송합니다. url올려 드리죠 ..그리고 영어인지라..'[엘]리스의 미용실'네요 이런 댕장 죽을죄를 지었습니다. 없는 거를 찾으라 했으니..http://www.designeralice.com/ 요겁니다. 역시나 [엘] 이네요 여기 자료 괜찮습니다. ^^ 흐미..ㅡㅡ;; 왜 엑스박스가 뜨네..왜 이러지 내 컴터만 그러나..

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그 대수문제가 안열리시는 것 같은데요, 그 파일은 pdf 파일이라서 보실려면 "아크로벳 리더" 가 있어야 합니다.

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추상대수 관련 69문제도 있네요 ~ 저도 잘 안 들어가봐서^^;;

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가입해서 내용확인하고 괜찮은 자료가 있으면 카페로 퍼 와야겠네요~ ^^;; 암튼 감사합니다요~ ^ㅡ^

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주소 알려 드릴려고 들어 왔는뎅..벌써 아셨넹..간신히 찾았는데..

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폭풍님이랑 앨리스란 분이 동문이면..폭풍님 공주대 수교과졸업이신가 보네요.. 전 공주대 수교과 대학원 준비생인뎅..꼭 들어가야되는뎅..ㅜ

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네~! 맞습니다. 전 공주대학교 사범대학 수학교육과 92학번 입니다. ^-^