이체문제와 삼체무제

[유토피아]

질량이 비슷한 두 천체가 둘의 질량중심 주위를 타원궤도로 돌고 있다.

이체문제는 고전역학행성을 공전하는 위성, 항성일체문제포텐셜삼체문제 이상의 다체문제

질량이 약간 차이나는 두 천체가 둘의 질량중심 주위를 타원궤도로 돌고 있다. 이 형태는 명왕성카론

목차

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• 1 역사
• 2 두 개의 독립된 일체문제로의 변형
  • 2.1 질량 중심의 운동
  • 2.2 변위 벡터 r
• 3 평면상의 이체문제
• 4 중심력
• 5 일
• 6 상대운동
• 7 삼체문제
• 8 출처
• 9 같이 보기
• 10 참고 문헌
• 11 바깥 고리

[편집] 역사

이체문제에 관한 연구는 천체 역학에 대한 연구와 역사를 같이한다. 이체문제의 역사는 독일의 천문학자 요하네스 케플러튀코 브라헤의 정밀 천체 관측 자료를 분석하여 행성의 운동에 관한 케플러의 법칙아이작 뉴턴, 에드먼드 헬리등은 천체 간에 거리의 제곱에 반비례하는 힘이 작용하면 케플러의 법칙이 설명된다는 사실을 발견하고, 뉴턴은 이를 이용해 유명한 저서 프린키피아오일러는 '행성과 혜성의 운동'에서 오일러 방법요한 람베르트라그랑주가우스

[편집] 두 개의 독립된 일체문제로의 변형

이체문제 해결을 위한 자코비 좌표계. 자코비 좌표계는 일 때 이고 인 좌표계이다. ^[1]

두 물체 각각의 위치를 , 라하고, 과 를 각각의 질량이라 하자. 이체문제를 푼다는 것은 주어진 초기 위치 , 와 초기 속도 , 를 가지고 각각의 궤적 과 를 시간 에 대해 구하는 것이다.

각각의 물체에 대하여 뉴턴의 운동 제2 법칙을 적용해보면

는 물체1에 가해지는 물체2와의 상호작용에 의한 힘이고, 은 물체2에 가해지는 물체1과의 상호작용에 의한 힘이다.

위의 두 식을 더하고 빼는 과정을 통해 이체문제를 두 개의 독립적인 일체문제로 분리할 수 있다. (1)과 (2)를 더하면 이 계의 질량중심의 운동을 시간에 대해 나타내는 식이 나오고, 두 식을 빼면 두 물체를 잇는 벡터 의 시간에 대한 식이 나온다. 이 두 식의 해를 이용하여 각 물체의 궤적 과 를 구할 수 있다.

[편집] 질량 중심의 운동

(1)과 (2)를 더하여 아래의 식을 얻을 수 있다.

여기서 뉴턴의 운동 제3 법칙에 의하여 이고,

은 이 계의 질량중심이다.

결과적으로는

이다.

이 식을 통해 질량중심의 속도 는 일정함을 알 수 있고 총 운동량 도 일정함을 알 수 있다. (운동량 보존 법칙는 두 물체의 초기 위치와 초기 속도를 가지고 언제나 구할 수 있다.

[편집] 변위 벡터 r

(1)과 (2)를 각각 물체의 질량으로 나누어주고, (1)에서 (2)를 뺀 후에 정리하면

여기서 뉴턴의 운동 제3 법칙 을 사용하였고, 은 위에서 정의했듯이 물체2에서 물체1을 가리키는 변위 벡터이다.

두 물체 간에 작용하는 힘은 두 물체 간의 상호작용에 의해서 만들어진 것이기 때문에 과 를 포함하지 않는 오직 에 의한 함수여야만 한다. 그러므로 위의 식은 아래와 같이 쓸 수 있다.

여기서 는 환산 질량이다.

와 가 구해지면 아래와 같이 각 물체의 궤적을 구할 수 있다.

이 식들은 과 의 정의를 우변에 대입해보면 쉽게 확인된다.

[편집] 평면상의 이체문제

이체문제에서 두 물체는 언제나 한 평면 위에서 움직이게 된다. 선운동량 와 각운동량 을 정의하면 아래의 식이 성립한다.

의 시간에 따른 변화는 알짜 토크 과 같고

방향이 같은 두 벡터의 외적은 0이라는 외적의 성질을 이용하면

이고, 이다.

두 물체 사이의 힘이 두 물체를 잇는 선과 같은 방향이라고 가정하면, ×이고 이는 각운동량 벡터 이 일정함을 의미한다.(각운동량 보존) 그러므로 변위 벡터과 속도 벡터 는 언제나 에 수직인 평면 위에 함께 존재하게 된다.

[편집] 중심력

대부분의 물리 문제에서 중심력 은 아래와 같은 형식을 가진다.

여기서 r = || 이고 = /r은 단위벡터

이고, 은 인력이기 때문에 음수이다.

[편집] 일

이체문제에서 두 물체가 서로에게 작용한 힘에 의한 일은 한 힘이 물체 사이의 상대변위

[편집] 상대운동

이체문제에서 한 물체가 다른 물체를 관측할 때, 그 다른 물체는 그 물체의 속도와 위치에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 네 가지 이차곡선

[편집] 삼체문제

삼체문제는 세 개의 물체간의 상호작용과 움직임을 다루는 고전역학 문제이다. 삼체문제는 태양-지구-달의 궤도에 대한 물음에서 시작되었다. 뉴턴은 그의 저서 프린키피아에서 세 개의 물체가 중력을 주고 받으며 움직이는 경우에 대해 다루었다. 이후 프랑스의 수학자 달랑베르와 클레로라플라스, 라그랑주푸앙카레는 삼체문제의 일반해를 구하는 것은 불가능하다는 것을 증명하였는데, 이는 이후 카오스

[편집] 출처

1. ↑ David Betounes (2001). 《Differential EquationsISBN 0387951407

[편집] 같이 보기

• 다체문제
• 비리얼 정리

[편집] 참고 문헌

• Landau LD, Lifshitz EMISBN 0-08-029141-4
• Goldstein HClassical MechanicsISBN 0-201-02918-9

[편집] 바깥 고리

• Analysis of the Two-Body and Restricted Three-Body Problem at Aerospace Engineering and Engineering Mechanics Department at the University of Texas at Austin
• Two-body problem at Eric Weisstein's World of Physics

"Three Body Problem (3체 문제) 이란 3 개의 서로 잡아당기는 물체 (three mutually attracting bodies) 의 행동을 조사하는 문제 (예를들면 태양, 지구, 달) 이며 또한 그들의 행동의 안정성을 조사하는 것이다"

카오스가 수학자의 주목을 받게 된 것은 Henri Poincaré

뉴튼 역학이 정립된 이래 모두가 이 문제를 뉴튼역학으로 쉽게 해결할 수 있을 것으로 생각했다. 특히 결정론의 신봉자인 Pierre Laplace 도 그렇게 믿었고, 이 문제의 해결도 그의 신념과 맞아 떨어졌다고 주장했다. 그러나 알고 보면 그의 해법은 부분적이며, 매우 특수한 경우였다. 즉, 태양과 두 개의 행성이 정삼각형의 꼭지점에 놓여있을 경우에 대해서만 성립한 것이다. 그 후로 내노라 하는 유능한 수학자나 물리학자들이 이 문제의 일반적인 해법에 도전했지만, 어느 누구도 만족할 만한 해답을 내놓지 못했다.

그 때까지 뉴튼역학은 지구와 달, 또는 지구와 태양의 두 천체만을 따로 떼어내어 생각했다. 이른바 '이체 문제'가 그것이다. 포앙카레는 이것을 수학적으로 미분방정식의 해에 관한 문제, 즉 「해의 유일성」문제로서 변수가 2개인 y=f(x) 의 경우는 풀 수 있으나, 3개인 경우(3체문제)에는 뉴튼역학으로는 일반적인 해법이 없음을 밝혔다(미분방정식은 변화하는 현상이 앞으로 어떻게 움직일 것인지를 알아내는 방법」이라는 정도로만 알고 있으면 된다).

삼체문제는 비선형

포앙카레는 그 사실을 알았지만 너무 복잡해서 실상을 적절히 표현할 수 없었다. 그러나 그는 이 복잡한 현상의 실체를 명확히 알고 있었다.
「우리 눈에 거의 띄지 않을 정도의 작은 원인이 도저히 무시할 수 없을 만큼의 중대한 결과를 야기시킬 때가 있다. 이런 경우 우리는 그 결과가 우연히 일어난 것으로 생각한다. .... 처음에 가볍게 여긴 작은 오차가 후에 중대한 오차로 나타나는 것이다. 그리하여 예언은 불가능하게 되고, 우연의 현상이 얻어지는 것이다.」(과학과 방법)
여기에는 초기의 작은 차이 때문에 결정론과 확률론이 결합한다는, 오늘날 카오스 이론의 관점이 분명히 나타나 있다. 이에 이어서 포앙카레는 현재 카오스 이론의 대상인 소행성의 운동, 기상, 도박, ... 등의 보기를 들고 있다.
그러나 1960년대에 이르기까지 포앙카레의 연구는 잊혀져 있었다. 그것은 너무 복잡해서 컴퓨터의 도움이 없이는 그 이미지를 상상하는 것조차도 불가능했기 때문이다.

포앙카레의 생각을 쉽게 설명하면 다음과 같다. 질량이 똑같은 세 개의 천체가 그림 1과 같이 정삼각형의 세 꼭지점에 있다고 하자. 이들 세 천체에 작용하는 만유인력은 정삼각형의 무게 중심에서 평형을 유지한다. 이들 세 천체 사이를 연료가 떨어진 우주선이 지나가게 되면 어떤 궤도를 그릴까 상상해 보자. 대부분의 사람들은 약간의 방황 끝에 어느 별에게로 이끌려 갈 것이라고 생각할 것이다.
그러나 실제로는 그렇지 않다는 것이 실험으로 밝혀졌다. 그림 1과 비슷한 상황을 세 개의 자석을 이용하여 실험해 보았다. 똑같은 자력을 가진 세 개의 자석을 그림 2와 같이 정삼각형의 세 꼭지점에 설치하고, 작은 쇠구슬을 줄에 매달아 정삼각형의 한 가운데에 오도록 한다. 그러면 작은 쇠구슬은 그림 1의 우주선과 똑같은 처지가 되어, 어디로 끌려갈지 망설이게 될 것이다. 이제 쇠구슬을 임의의 방향으로 밀었다가 놓아보자. 그리고 이 장치 위에다 카메라를 설치하고 장시간 노출시키면서 쇠구슬이 그리는 궤도를 찍어보자. 그러면, 놀랍게도 그 궤도는 무척이나 복잡하게 변해가면서 카오스 현상을 뚜렷이 보여준다. 그 궤도는 전혀 예측할 수 없게 세 개의 자석 주위를 번갈아 가며 복잡하게 휘감아 돌아간다.
그 이유는, 이 세 개의 인력권이 그리는 도형이 우리가 생각한 것처럼 단순한 직선이 아니라 프랙탈적인 인력권이 형성되기 때문이다. 인력권의 어느 부분을 확대해 보아도 원래 모습과 닮은 구조가 계속되고 있음을 알게 된다.
이 때문에 쇠구슬의 궤도가 복잡하게 되고, 카오스 현상을 보이는 것이다. 3체문제도 이 정도로 복잡한데, 태양계의 문제는 본질적으로 다체문제이다. 따라서 시간이 갈수록 태양계의 궤도는 점점 카오스적인 양상을 보일 것이라는 예상을 쉽게 할 수 있다.

                      

그림 1                                                              그림 2

3개의 질점이 만유인력으로 당기며 운동할 때, 그 궤도를 구하는 문제로서, 풀지 못한다는 것이 증명되었다. 다만, 3개의 질점이 정삼각형을 이룰 때, 공통무게중심을 타원운동할 때는 특수해를 구할 수 있다. 행성과 위성 등은 다체(多體)문제 방정식으로 풀어야 하지만, 근사적으로 이체문제로 나타내거나, 제한삼체문제로 해결한다.

질점이 2개인 경우는 이체문제라 하며, 그 궤도는 상대 질점을 초점으로 하는 원·타원·포물선·쌍곡선뉴턴역학에서 삼체문제의 운동방정식은 18계의 미분방정식

다만, 특수한 경우로, 3개의 질점이 정삼각형의 꼭지점을 이룰 때, 공통무게중심 주위를 타원운동하고 있을 때, 특별한 위치관계로 일직선상에서 타원운동하고 있을 때에 특수해를 구할 수 있는데, 먼저 것을 정삼각평형해(正三角平衡解)라 하고, 나중 것을 직선평형해(直線平衡解)라 한다.

일반적으로 태양계의 천체들은 태양으로부터 인력이 작용할 뿐 아니라, 모든 행성과 위성들 사이에도 인력이 작용하므로 각각의 운동궤도를 구하는 데는 다체문제(多體問題)의 방정식

그러나 행성인 경우에는 태양의 인력이, 위성인 경우에는 모행성목성·소행성

소행성 중에는 태양과 목성을 잇는 선분을 밑변으로 하는 정삼각형의 꼭지점에 있는 트로이소행성행성은 질량이 매우 작아 목성목성

이 경우에는 삼체 중 하나의 질량라그랑주