상위상 공간에서의 개집합 형태 질문입니다

[수교과]

Q1) 사진에 질문이 나와 있어요!
Q2) Q1)에서 가능하다면 이를 만족하는 G들의 집합을 (Y,T_y)의 기저라고 할 수 있나요?
Q3) Q1)에서의 G들만 고려하면 안 되는 이유는 무엇일까요?

[쿨여누]

안됩니다.
<반례> 다음 주어진 문제에서(기출문제입니다)
함수 f는 전사함수이고, [0,1)상의 위상을 다음과 같이 정의했기때문에 [0,1)에는 함수 f에 대한 상위상이 주어져있는 상황입니다.

이때 β={(a,b)|a,b∈R}를 (R, u)보통위상의 기저라 할때,
f^{-1}(G)=(a,b)꼴이 되는 [0,1)의 부분집합 G는 존재하지않습니다.
따라서 {G⊂[0,1)|f^{-1}(G)∈β}=Ø 입니다.

[수교과]

f^{-1}(G)가 기저 형태가 되는 G가 존재하지 않을 수도 있네요ㅠ 감사합니다ㅠ!! 그럼 존재하는 f에 대해서 논의가 될 수 있나오?

[쿨여누]

문제상황에 따라서 다릅니다만 일반적으로 성립하지않습니다.(한번 쌤이 조건을 추가하여 명제를 만들고 증명을 직접해보세요. 증명을 해나가다보면 증명이 막히는 부분에서, 쌤이 추론했던 "왜 이것만고려하면안되는가, 불충분한가"에 대한 이유를 알수있을거에요)