Q*=Q-{0} R*=R-{0}
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Q*는 0을 제외한 유리수로 곱셈(*)에 대하여 군을 이루고
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R*는 0을 제외한 실수로 곱셈에(*) 대하여 군을 이룹니다.
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두 군이 동형이 아님을 증명하는 문제인데요.
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두 군이 동형이라 가정하고
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f:Q* -> R* 의 동형사상이 존재한다고 하면
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f(1)=1이고
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f(2)=f(2*1)=2f(1)=2*f(1)=2*1=2 라고 풀이가 되어 있는데요.
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f(2*1)=2f(1) 이 부분이 이해가 잘안되서... ^^;
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다른 풀이가 있으면 소개해 주셔도 좋겠습니다.
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대수적 성질이라기 보다는 집합적인 성질이 같지 않기 때문에 동형이 아니라는 말이 정확할 것 같습니다. 두 군이 동형이 될려면 우선 원소의 갯수가 같아야만 합니다. 그래야 전단사함수가 존재하고 그 중에서 동형사상을 찾을 수 있기 때문입니다. 그런데 원소갯수가 다르므로 전단사함수가 존재할 수 없습니다.
첫댓글 다른풀이. Q*는 countable, R*는 uncountable 따라서 Q*에서 R*로 one to one and onto 인 함수가 존재할 수 없습니다.
^^ ; 고맙습니다. 대수적성질이 같지 않아 동형이 아니라는 말씀인 것 같은데요.
대수적 성질이라기 보다는 집합적인 성질이 같지 않기 때문에 동형이 아니라는 말이 정확할 것 같습니다. 두 군이 동형이 될려면 우선 원소의 갯수가 같아야만 합니다. 그래야 전단사함수가 존재하고 그 중에서 동형사상을 찾을 수 있기 때문입니다. 그런데 원소갯수가 다르므로 전단사함수가 존재할 수 없습니다.
전단사함수가 존재하지 않으므로 동형사상도 존재할 수 없습니다. 그러므로 주어진 두 군은 동형일 수 없습니다.