힐베르트 공간

[뽀야]

3차원 벡터 하나를 생각해 봅시다.

3차원 벡터가 하나 뿐이면 위 그림과 같겠습니다만, 우리는 "존재 가능한 모든 3차원 벡터"를 고려할 것입니다.

이처럼 "존재 가능한 모든 3차원 벡터"를 모아 놓으면, "3차원 공간"이 됩니다.

마찬가지로, 우리는 "켓 벡터"를 고려할 것입니다.

"힐베르트 공간 (Hilbert space; 힐버트 스페이스)"이란, "존재 가능한 모든 켓 벡터"를 모아 놓은 집합을 말합니다.

그렇다면, 힐베르트 공간은 몇 차원일까요?

이를 알아보기 위해서, 다음의 문제를 풀어 보겠습니다.

문제 허미시안 연산자의 고유상태는, 서로 직교함을 증명하라.

답 우선, "허미시안 연산자 A"의 고유상태를 아래와 같이 표기하겠습니다.

또한, A의 다른 고유상태를 아래와 같이 "a 프라임"으로 표기하겠습니다.

양 변에 대거를 취하면 다음을 얻습니다.

이제, 아래의 값을 계산합니다.

따라서, 다음을 얻습니다.

정리하여 다음을 얻습니다.

그러므로,

즉, 고유상태 | a'>과 | a>가 직교함을 증명하였습니다.

(QED)

이러한 "직교하는 벡터"들은, 좌표축의 역할을 합니다.

예를 들어 볼까요? 2차원 공간에서는 2개의 직교하는 벡터 (x축과 y축)이 있습니다.

3차원 공간에서는 3개의 직교하는 벡터가 있지요.

따라서, 허미시안 연산자의 고유상태는, n차원 공간의 좌표축 역할을 할 수 있습니다.

정리하겠습니다.

(1) 허미시안 연산자가 주어지면, 그에 해당하는 힐베르트 공간이 주어진다.

(2) 이때, 힐베르트 공간의 차원은, 허미시안 연산자의 "고유상태의 개수"이다.

(즉, 고유상태가 3개 있으면, 힐베르트 공간은 3차원.)

일반적으로는, 허미시안 연산자가 주어지면 그에 대한 힐베르트 공간도 주어지지만,

실제로 우리가 관심을 가질 것은 "해밀토니안 연산자에 대한 힐베르트 공간"입니다.

문제 아래와 같은 해밀토니안 연산자에 대한 힐베르트 공간은, 몇 차원인가?

답 고유상태가 몇 개인지 찾으면 됩니다. 아래의 수식에서 시작합시다.

위의 수식은 미분 방정식이며, 해는 다음과 같습니다 (편의상 규격화는 하지 않겠습니다).

이와 같은 "ψ_a"가 몇 개 존재하는지 찾으려면, 위 식에서 가능한 "a"의 개수를 찾으면 됩니다만...

위 식의 "상수 a"에는 별다른 조건이 없으니, 모든 실수값이 들어갈 수 있습니다.

(a가 허수일 수는 없습니다. 허미시안 연산자의 고유값은 실수니까요.)

즉, 가능한 "ψ_a"의 개수는 무한개이고, 힐베르트 공간의 차원도 무한대입니다.

문제 "무한퍼텐셜 우물" 문제에 대해, 고유상태가 서로 직교함을 증명하여라.

답 "16강"에서 배운 바에 의하면, 고유상태는 다음과 같습니다.

이때, "상수 k"의 값은 다음과 같습니다.

따라서, 고유상태를 아래와 같이 표기하겠습니다.

고유상태가 직교하는지 확인하기 위해, 아래의 값을 계산합니다.

이외의 고유상태에 대에서도, 위와 같은 방법으로 직교함을 보일 수 있습니다.

(QED)

다음으로, 우리는 "completeness relation (컴플리트니스 릴레이션)"이라는 아주 중요한 수식을 배울 것인데요,

이를 위해서는 "브라-켓" 기호로 연산자를 표기하는 방법을 배워야 합니다.

아래와 같은 기호를 생각해 봅시다.

함수의 내적은 <f | g>의 형태로 표기하는데, 위의 기호는 조금 다르군요.

위의 기호에, 켓 벡터 | ψ>를 곱해 봅시다:

위 식에서, <g | ψ>는 연산자가 아닌 숫자이므로, 앞으로 빼서 표기했습니다.

이처럼, | f><g | 형태의 기호는 켓 벡터에 작용할 수 있습니다. 즉, 이는 "연산자"입니다!

더 나아가기 전에, 간단한 예제를 하나 살펴보겠습니다.

힐베르트 공간이 "3차원"이라고 해 보겠습니다. 좌표축에 해당하는 켓 벡터는 다음과 같이 3개입니다:

이제, "연산자 I"를 아래와 같이 정의합니다.

"연산자 I"에 벡터 | x>를 곱해 보겠습니다:

위 식에서는 아래의 "규격화 조건"이 사용되었습니다.

마찬가지로, | y>와 | z>에 대해서도 다음을 얻습니다.

이때, | x>, | y>, | z> 벡터는 좌표축에 해당하는 벡터이므로, 임의의 벡터 | ψ>는 이들의 선형결합으로 나타납니다.

따라서, 다음을 얻습니다.

이처럼, "연산자 I"를 취해도 켓 벡터는 불변하기 때문에, 아래와 같이 표기할 수 있겠습니다.

즉, 다음의 결론을 얻습니다.

이를 다음과 같이 일반화합시다.

" 허미시안 연산자 A의 고유상태 | a>에 대해서, 다음이 성립한다: "

만일 a가 연속 변수일 경우 (a=1,2,3이면 연속이 아니고, a="모든 실수"이면 연속),

위의 관계식을 "completeless relation (컴플리트니스 릴레이션)"이라고 부릅니다.

이로부터 푸리에 변환식을 간단하게 유도할 수 있는데요, 우선 아래의 문제를 풀어 봅시다.

문제 다음을 증명하라.

답 함수 f에 대하여 <x | f>=f(x)이며, | p>는 운동량 고유상태이므로 위의 수식이 성립합니다.

... 라고 해도 되지만, 브라-켓 기호에 익숙해지기 위해서 아래와 같이 증명해 보겠습니다.

우선, | p>는 운동량 고유상태이므로 다음이 성립합니다.

또한, <x | f>=f(x)이므로 다음이 성립합니다.

즉, 다음을 얻습니다.

이제, 아래와 같은 미분 방정식을 풀기만 하면 되는군요.

적절히 규격화하면 다음을 얻습니다.

(QED)

이제, completeness relation을 사용해 봅시다:

이는 푸리에 변환의 공식이로군요!

따라서, 아래의 결론을 얻습니다.

" 푸리에 변환이란, 힐베르트 공간에서 좌표축 | x>를, 새로운 좌표축 | p>로 바꾸는 행위이다. "