텐서-2

[뽀야]

우선, "텐서 (tensor)"가 무엇인지 설명하겠습니다.

아래와 같은 벡터를 생각해 봅시다.

위와 같이, 여러 개의 숫자를 나열해 놓은 것을 벡터라고 부릅니다.

이번에는, 벡터 3개를 아래와 같이 나열해 볼까요?

이처럼, 벡터를 나열해 놓은 것을 행렬이라고 부릅니다.

이제, 조금 다른 관점에서 접근해 봅시다.

아래의 벡터를 생각해 보겠습니다.

이를 보다 엄밀히 표현하면, 다음과 같이 "기저 벡터 (basis vector)"를 사용하여 나타낼 수 있을 것입니다.

즉, 벡터를 아래와 같이 정의할 수도 있습니다.

" 벡터란, 기저 벡터의 선형결합을 말한다. "

(선형결합에 대한 설명은, 전자기학 "11강"의 맨 마지막 부분에 있습니다.)

이번에는, 아래와 같이 기저 (basis) 벡터 두 개를 나열해 보겠습니다.

음... 그냥 나열하니 조금 이상하군요. 따라서, 두 개의 기저 벡터를 나열한 것을, 아래와 같이 표기하겠습니다.

위에서 등장한 ⊗ 기호는, "텐서곱 (tensor product; 텐서 프로덕트)"이라고 읽습니다.

텐서 프로덕트의 의미는 굉장히 간단합니다. 두 개의 벡터를 나열해 놓는다는 뜻입니다.

예를 들어서, 우리는 두 개의 숫자를 나열할 때, (1,2)의 형태로 표기하지요:

텐서 프로덕트도 이와 동일한 의미를 가집니다. 단지 숫자를 나열할 땐 (1,2) 형태로 표기하고, 벡터를 나열할 땐 A⊗B 형태로 표기할 뿐입니다.

자, 이제 2차원 공간을 생각해 봅시다. 기저 (basis) 벡터는 두 개 존재하겠군요:

이를 나열하여 만들 수 있는 경우의 수는, 총 4가지입니다:

자, 그러면 이들의 선형결합을 고려해 봅시다:

이것이 바로 텐서입니다. 정리하자면 다음과 같습니다.

" 텐서란, 기저 벡터 2개의 선형결합을 말한다. "

위의 텐서를 조금 더 간단하게 표현해 볼까요? 아래와 같이 치환합시다.

주어진 텐서를 "T"라고 하면, 이는 아래와 같이 나타납니다.

위 식에서, "텐서의 성분 (tensor component; 텐서 컴포넌트)"과 "기저 텐서 (basis tensor; 베이시스 텐서)"를 아래와 같이 정의합니다.

어떠신가요? 우리가 기존에 알던 "벡터" 개념과 상당히 유사하지요?

텐서를 보다 엄밀하게 정의하려면, rank (랭크)라는 개념을 도입하여 아래와 같이 정의해야 합니다.

" Rank-n 텐서란, 기저 벡터 n개의 선형결합을 말한다. "

일반적인 숫자 (1, 2 등의 숫자)는, 기저 벡터를 따로 가지지 않습니다.

즉, 이는 rank-0 텐서이며, 이를 곧 "스칼라 (scalar)"라고 부릅니다.

우리가 알고 있던 벡터는, 기저 벡터 하나의 선형 결합입니다:

따라서, 이는 rank-1 텐서이며, 이는 "벡터 (vector)"라고 부릅니다.

위에서 보았던 텐서 T는, 기저 벡터 2개의 선형 결합입니다:

이는 rank-2 텐서입니다.

(참고로, rank-2 텐서의 성분 "T^μν"는 행렬의 형태로 표현됩니다.)

마찬가지로, 더 높은 rank의 텐서를 생각해 볼 수 있겠습니다.

나중에 배우겠지만, "레비-시비타 기호 ε"에 "메트릭 텐서 g"의 판별식을 곱해 놓은 것을, "레비-시비타 텐서"라고 부릅니다:

이는 rank-3 텐서입니다.

4차원 시공간에서는, 레비-시비타 텐서가 아래와 같이 인덱스를 4개 가집니다.

(메트릭 텐서 앞에 마이너스 기호가 붙었습니다만, 이에 대해서는 훗날 배우게 될 것입니다.)

즉, 이는 rank-4 텐서입니다.

그렇다면, "텐서"는 어떠한 의미를 가지는 것일까요?

답은, "그저 벡터의 나열에 불과하다"입니다. 조금 허무하지요?

앞서 우리가 다루었던 "숫자의 나열"인 (1,2,3) 역시, 딱히 의미는 없고 그저 "숫자의 나열"일 뿐이었습니다.

텐서 역시, 벡터를 텐서 프로덕트 (⊗)로 나열해 놓은 것에 불과합니다.

그러나!!

텐서를 잘 활용하면 "기하학적인 의미를 가지는 물리량"을 만들어낼 수 있습니다.

예컨대, 벡터 A와 B가 만드는 면적을 생각해 봅시다.

위와 같은 면적을 텐서로 표현하기 위해서는, 우선 아래의 사실을 확인해야 합니다.

" 똑같은 벡터 두 개로 면적을 만들면, 0이 나온다. "

예컨대, 벡터 A와 B로 면적을 만드는 연산을 (A,B)라고 한다면, 아래의 수식이 성립해야 합니다.

이를 위해서는 아래의 성질이 필요합니다.

(위와 같이, 두 개를 바꾸었을 때 마이너스가 붙는 현상을, "반대칭성 (anti-symmetry; 앤티 시메트리 또는 앤타이 시메트리)"이라고 부릅니다. 수학에서는 반대칭성을 "skew-symmetry (스큐 시메트리)"라고 부르기도 합니다.)

반대칭성이 성립한다면, 다음을 유도할 수 있습니다.

즉, 우리가 원했던 "(A,A)=0"이라는 수식이 유도됩니다.

자, 이제 반대칭성을 주기 위해서, 아래와 같은 연산을 정의합니다.

좌변에 등장한 ∧ 기호는 "쐐기곱 (wedge product; 웨지 프로덕트)"라고 부르며, 일반적으로 "웨지 (wedge)"라고 읽습니다.

(엄밀히 말하면, 쐐기곱 연산은 "미분 형식 (differential form 디퍼런셜 폼)"에만 적용될 수 있지만, 이는 "상대론" 게시판에서 자세히 다루도록 하겠습니다.)

문제 2차원 공간의 벡터 A와 B에 대해, "A∧B"를 구하여라.

답 천천히 한 단계씩 계산하면, 답을 낼 수 있습니다:

2차원 공간이므로, "i"와 "j"에 1과 2를 대입하면, 아래의 4가지 항을 얻습니다:

"0"이 되는 것을 제외하면, 하나의 수식이 남는군요:

이는 곧 벡터 A와 B의 외적이며, 고전역학 "4강"에서 배운 바에 의하면, 이는 곧 벡터 A와 B가 만드는 면적을 뜻합니다!!

이처럼, 여러 개의 벡터를 "웨지 프로덕트"하여 만들어 낸 텐서를, "미분 형식 (differential form; 디퍼런셜 폼)"이라고 부릅니다. 이는 훗날 "상대론" 게시판에서 자세히 다루게 될 것입니다.

정리해 보겠습니다.

(1) 벡터는 "기저 (basis) 벡터"의 선형결합이다.

(2) 텐서는 "기저 벡터" 여러 개의 선형결합이다.

(3) 텐서 프로덕트 (⊗)는, 벡터를 여러 개 나열해 놓는 행위를 의미한다.

(4) 웨지 프로덕트 (∧)는, 두 개의 벡터로 면적을 만드는 행위를 의미한다.

[베짱이]

안녕하세요, 잘 보았습니다, 질문이 있는데 상단 내용 중 벡터 V를 베이시스와 컴포넌트의 선경결합으로 표현하신것 중 베이시스를 미분기로 ∂를 이용하여 나타낸 이유가 있을까요? 예전에 얼필 i헷과 같은 벡터를 dx로 표현한것을 본것 같은데 이 부분을 잘 모르겠어서요!