<p>문제풀이 13번 해설 관련해서 질문드립니다!</p><p> </p><div class="figure-img" data-ke-type="image" data-ke-style="alignCenter" data-ke-mobilestyle="widthOrigin"><img src="https://t1.daumcdn.net/cafeattach/1Lj3M/609133f5dd8a74e5b9a2f05a43abe80a6b1f47dd_re_1723532934301" class="txc-image" data-img-src="https://t1.daumcdn.net/cafeattach/1Lj3M/609133f5dd8a74e5b9a2f05a43abe80a6b1f47dd_re_1723532934301" data-origin-width="2545" data-origin-height="422"></div><p>5주차 강의와 다르게 해설지에서는 정함수 f(z)를 급수표현하여 an=0 인 것을 보이는데, </p><p> </p><p> </p><p style="text-align: start;">이 역시 5주차 강의 풀이처럼 </p><p style="text-align: start;">Q1. <u>lzl<1에서</u> an=0 이므로 f(z)=0 on <span style="color: #333333; background-color: #ffffff;" data-ke-size="size16"> <u>lzl<1</u> 이다.</span><span style="color: #333333; background-color: #ffffff;" data-ke-size="size16"> </span>이 후에 "<u>항등정리에 의해 복소수 전체에서 f(z)=0이다</u>." 라는 내용이 생략된건가요? </p><p style="text-align: start;"><br>아니면</p><p style="text-align: start;"> </p><p style="text-align: start;">Q2. 급수표현이 유일하고 <u>1<r인 임의의 r에 대해서</u> lanl<= ~~~이 부등식이 성립하는데 <span style="color: #333333; background-color: #ffffff;" data-ke-size="size16"> r-> 1일 때도 성립해야하므로 lim(r->1)lanl=0</span></p><p style="text-align: start;">이 되서 항상 an=0 인건 가요?</p><p style="text-align: start;"> </p><p style="text-align: start;">Q3.(종합하자면)</p><p style="text-align: start;">복소함수를 로랑 급수표현하는데 있어서 an 혹은 bn 이 항상 0임을 보이는 문제들을 풀때, lzl=r에서 r을</p><p style="text-align: start;">0으로(17년도 기출)</p><p style="text-align: start;">혹은 상수로(위 문제)</p><p style="text-align: start;">혹은 무한대로(문풀 22번 문제)</p><p style="text-align: start;">보내는 경우가 있는데 이때 그 보내는 근방?에서 an 혹은 bn 이 0인 것인지 아니면 Q2.와 같은 이유로 항상 0인 것인지 모르겠습니다 ㅜ</p><p style="text-align: start;"> </p><p style="text-align: start;"> </p><p style="text-align: start;"> </p><p style="text-align: start;"> </p>
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첫댓글Q2.에서 설명하신 것과 같은 이유입니다. 이는 알고 계신 정의, 정리를 이용하여 차근차근 논리를 전개해보시면 됩니다. f가 정함수이므로 임의의 z∈ℂ에 유효한 매클로린 급수 즉 f(z)=∑aₙzⁿ (|z|＜∞) 로 전개할 수 있습니다.(25대비 복소함수론 정리 5.3 p.76 참고) 이 때 aₙ=f^(n)(0)/n!이고 코시적분공식의 확장버전(25대비 복소함수론 정리 4.21 p.64)을 적용하면 양의 방향의 단순 닫힌 경로 C에 대해 f^(n)(0)/n!=1/2πi(C에 대한 선적분)임을 알 수 있습니다. 이 때 주어진 조건을 활용하기 위해 C:|z|=r, r>1라 하면 해설과 같이 r→1일 때 aₙ=0이 됨을 알 수 있습니다. 즉 f(z)=∑aₙzⁿ (|z|＜∞)의 aₙ이 0이 됨을 보였으므로 f(z)=0 (|z|＜∞)가 성립하므로 임의의 z∈ℂ에 대해 g(z)=-coshz가 됨을 알 수 있습니다.
첫댓글 Q2.에서 설명하신 것과 같은 이유입니다. 이는 알고 계신 정의, 정리를 이용하여 차근차근 논리를 전개해보시면 됩니다. f가 정함수이므로 임의의 z∈ℂ에 유효한 매클로린 급수 즉 f(z)=∑aₙzⁿ (|z|＜∞) 로 전개할 수 있습니다.(25대비 복소함수론 정리 5.3 p.76 참고) 이 때 aₙ=f^(n)(0)/n!이고 코시적분공식의 확장버전(25대비 복소함수론 정리 4.21 p.64)을 적용하면 양의 방향의 단순 닫힌 경로 C에 대해 f^(n)(0)/n!=1/2πi(C에 대한 선적분)임을 알 수 있습니다. 이 때 주어진 조건을 활용하기 위해 C:|z|=r, r>1라 하면 해설과 같이 r→1일 때 aₙ=0이 됨을 알 수 있습니다. 즉 f(z)=∑aₙzⁿ (|z|＜∞)의 aₙ이 0이 됨을 보였으므로 f(z)=0 (|z|＜∞)가 성립하므로 임의의 z∈ℂ에 대해 g(z)=-coshz가 됨을 알 수 있습니다.
답변 감사합니당 :)