고유 시간-9

[뽀야]

문제를 하나 풀면서 시작해 보겠습니다.

문제 "0.6c"의 속도로 등속도 운동하는 물체의 시간축은, 아래 그림과 같다.

이때, 물체의 시간축 위에 눈금 (1, 2, 3, ...)을 그려 보아라.

답 로렌츠 변환식에 의해, 시간축에 대한 기저 (basis) 벡터는 다음과 같습니다.

따라서, 눈금은 아래와 같이 그려야 합니다.

이처럼, 등속도 운동하는 물체의 시간축 눈금은 "로렌츠 변환식"을 사용해서 그릴 수 있는데요,

그렇다면, 곡선 운동하는 물체의 시간축 눈금은 어떻게 그려야 할까요?

우선, 물체의 궤적을 아래 그림과 같이 나타내 보겠습니다.

기저 (basis) 벡터는, 다음과 같이 그릴 수 있을 것입니다 (빨간색 화살표).

즉, 기저 벡터는 물체의 궤적에 접하는 벡터로군요.

이와 같이, 특정 곡선에 접하는 벡터를 "접선 벡터 (tangent vector; 탄젠트 벡터)"라고 부릅니다.

본론으로 들어가기에 앞서, 접선 벡터를 구하는 방법을 배워 봅시다.

문제 2차원 평면에서, 직선 "y=x"의 접선 벡터를 구하여라.

답 그래프를 그려 봅시다.

접선 벡터를 V라고 하면, 이는 아래와 같이 "(1,1) 방향"의 벡터일 것입니다.

너무 쉽군요.

조금 어려운 경우를 생각해 봅시다. 2차원 평면에서 포물선 "y=x^2"의 그래프를 생각해 볼까요?

위 곡선에 대한 접선 벡터는... 얼핏 보기에는 찾기 어려워 보이는군요.

이러한 경우, 아래와 같은 단계를 통해서 접선 벡터를 찾습니다.

(1) 주어진 곡선의 좌표를 잡는다. 곡선은 1차원 도형이므로, 좌표는 하나만 필요하다.

비슷한 문제를 "6강"의 마지막에서 다루어 본 바 있지요. 아래와 같이 포물선 위의 점 (x,y)를 생각합니다.

주어진 식 "y=x^2"을 사용하여, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

보시다시피, 포물선 위의 점 (x,y)를 하나의 변수 "x"로 나타내었으므로, 주어진 포물선을 좌표 "x"로 표현한 것이 되겠습니다. 이를 아래와 같이 표기하겠습니다:

(2) 곡선 위의 점 (x,y)를, 우리가 구한 좌표로 미분한다.

위에서 우리가 사용한 좌표는 "x"이므로, 이것으로 미분하겠습니다:

이것으로 접선 벡터를 구하였습니다. 제대로 구했는지 확인해 볼까요?

위 그림에서 볼 수 있듯이, 이는 포물선의 접선 벡터가 맞군요!!

따라서, 우리는 다음의 결론에 도달합니다.

" 곡선의 접선 벡터를 V라고 하면, 이는 다음과 같이 주어진다. "

사실, 위의 사실은 너무나도 당연한 결과인데요, 그림을 통해 확인해 보겠습니다.

우리가 "1강" 에서 보았듯이, 기저 (basis) 벡터는 아래 그림과 같이 "좌표축으로 한 칸 가는 벡터"입니다.

마찬가지로, 곡선에 대해 아래와 같이 좌표 "s"를 부여할 수 있지요:

이 곡선에 대해, "좌표축 (s축)으로 한 칸 가는 벡터"를 아래와 같이 표기합니다.

(지난 "1강"에서, "n차원 공간의 모든 벡터는 연산자"라고 하였음에 유념합시다.)

그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

이 벡터의 성분 (component)은, 아래와 같이 연쇄법칙으로 주어집니다.

즉, 접선 벡터를 "d/ds = V"라고 표기한다면, 이는 다음을 만족합니다.

간단하군요!!

다만, 한 가지 짚고 넘어가야 하는 점이 있습니다.

이번 시간, 맨 앞에서 풀었던 문제를 기억하시나요? 직선 "y=x"의 접선 벡터 V는 아래와 같이 주어졌습니다.

즉, 접선 벡터에는 임의의 실수를 곱할 수 있는데요, 이 또한 당연한 결과입니다.

접선 벡터를 아래와 같이 나타내 봅시다.

이때, 곡선 위의 좌표를 "s" 대신에 "t"라는 변수를 써 보겠습니다.

그러면, 새로운 접선 벡터는 다음과 같습니다.

연쇄법칙에 의해, 이는 다음을 만족합니다.

이처럼 접선 벡터에는 임의의 실수를 곱할 수 있는데요, 이를 아래와 같은 그림으로 이해할 수도 있습니다.

보시다시피, 눈금 (좌표)을 어떻게 잡는지에 따라 접선 벡터의 길이가 달라지지요.

본론으로 돌아갑시다.

우리는 곡선 운동하는 물체의 시간축에, 눈금 (1, 2, 3, ...)을 그리고 싶습니다.

이를 위해서는 접선 벡터를 구해야 하는데요, 이때의 접선 벡터 V는 반드시 다음을 만족해야 합니다.

(위의 표현을 모르시겠으면 "5강" 참조.) 이유는 간단합니다. 시간축 방향 기저 벡터는 다음을 만족했습니다.

위의 논의는 "7강) 로렌츠 변환" 시간에 했습니다만, 아시다시피 로렌츠 변환식은 등속도 운동하는 경우에만 성립합니다.

그러나, 위의 수식 자체는 곡선 운동하는 물체에 대해서도 성립해야 합니다. 물체가 등속도 운동하는지의 여부와는 무관하게, 물체의 "시간축 한 칸"은 동일한 의미를 가져야 하니까요.

따라서, 곡선 운동하는 물체의 접선 벡터 V는, 반드시 다음을 만족해야 합니다.

접선 벡터가 위 수식을 만족할 경우, 시간축의 눈금을 "고유 시간 (proper time; 프로퍼 타임)"이라고 부르며, "그리스 문자 τ"로 표기합니다:

또한, 위와 같은 접선 벡터를, 물체의 "4차원 속도 (4-velocity; 포 벨로시티)"라고 부릅니다.

문제 2차원 시공간에서 물체의 궤적이 다음과 같이 주어졌다.

그림으로 나타내면 아래와 같다.

주어진 변수 "s"가 물체의 고유 시간인지 확인하고, 아닐 경우 고유 시간을 찾아라.

그 후, 물체의 4-velocity 또한 구하여 보아라.

답 우선, 접선 벡터를 계산합니다:

위 벡터의 길이를 구해 보겠습니다.

즉, 주어진 변수 "s"는 고유 시간이 아닙니다:

위 식을 아래와 같이 변경해 보겠습니다.

즉, 고유 시간 "τ"는 다음과 같습니다.

이는 다음을 만족함을 확인할 수 있습니다.

마지막으로, 물체의 4-velocity를 구하겠습니다.

고유 시간 "τ"를 사용하면, 물체의 궤적을 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

따라서, 4-velocity는 다음과 같습니다.

그림으로 나타내 보겠습니다:

(원래대로라면, "벡터 d/dτ"는 좌표축으로 한 칸 가는 벡터이어야 하지만, 위 그림에서는 편의상 0.5칸씩 전진하는 벡터로 그렸습니다.)

(사족) 아래와 같은 벡터를 생각해 봅시다.

이 벡터의 길이는, 당연히 "1"입니다.

그렇다면, 다음과 같은 벡터는 어떨까요?

이 벡터의 길이 역시 "1"입니다.

여러분들이 생각하시기에, 위의 벡터는 내적이 "-1"이므로 길이가 허수처럼 보일 수 있습니다만,

위의 내적값이 "-1"인 이유는, 주어진 벡터 V가 "시간축 방향"이기 때문입니다.

지난 "7강"에서 배웠던 내용을 떠올려 봅시다.

평범한 2차원 공간에서, 메트릭 텐서는 아래와 같이 주어집니다.

반면, 2차원 "시"공간에서는, 메트릭 텐서에 마이너스 부호가 붙습니다:

이처럼 마이너스 부호가 붙은 이유는 시간축이 허수이기 때문이 아니라, 로렌츠 변환식을 허용하기 위해 수학적으로 부호를 바꾸어 준 것에 불과했습니다.

즉, 우리는 다음의 결론을 얻습니다.

이때, 공간축 방향의 벡터를 일컬어 "space-like (스페이스 라이크)" 벡터라고 하며,

시간축 방향의 벡터를 일컬어 "time-like (타임 라이크)" 벡터라고 합니다:

마지막으로, 아래의 벡터를 고려해 봅시다.

위의 벡터는 시공간에서 "V=(1,1)" 형태이므로, 빛의 궤적 (세계선)의 접선 벡터라고 할 수 있습니다.

이를 내적하면 다음을 얻습니다.

이처럼, 내적하면 "0"이 되는 벡터는 빛의 궤적 방향이라고 할 수 있는데요,

이와 같은 벡터를 "null vector (널 벡터)" 또는 "light-like (라이트 라이크) 벡터"라고 부릅니다:

(사족) 일반적인 문헌에서는, 고유 시간을 아래와 같이 정의합니다.

즉, 4-velocity의 길이가 "c"가 되도록 정의합니다.