이전 직장 퇴직지연에 따른 공무원 임용과 이중취업 시 법적인 문제가 있나요?

[hoop]

안녕하세요. 직장 다니던 중 공무원 합격하여 임용 시까지 다니려고 했는데 생각보다 빠르고 임용 연락이 와서

1월 23일 이메일로 구 직장에 사직서를 제출 하였습니다. 희망 퇴직일은 1월 30일로 기제 하였습니다.

시청에는 2월 10일부터 인사발령이 나고 출근을 하여야 합니다.

그러나 전 직장은 시스템상 매월 15일과 말일에만 퇴사 처리가 되고 부서장의 결재 반대 및 업무 처리일정 부족(?)으로 1월 30일은 퇴사가 불가하고 2월 30일에 퇴사하라고 합니다. 저는 1월 30일 또는 최소한 15일에 퇴사처리해 줄것을 요구하고 있습니다.

ㅇ 30일 또는 15일 퇴사처리가 될 경우 남은 연차 10일을 사용하여 시청에는 출근을 할 수는 있으나(수일 무단결근 포함) 이중취업이 되는 상황인데, 법적문제는 없는지요? 구 직장에서는 이슈가 없다고 하였고, 시청에서는 입사전에 전 직장 퇴사원칙이라고만 합니다.