전파 통달거리(지평선) 계산

[이기봉]

마르코니 시절에 다른 과학자들이 전파가 아무리 멀리 나가도 수십 km 정도일 거라고 생각했습니다.

그 당시에 그 정도의 거리라면 유선통신망이 잘 발달된 터라

다른 연구가들은 무선통신의 필요성을 느끼지 못하고 있었습니다.

어떻게 계산해서 전파의 통달거리가 수십 km 라고 예상했는지 계산해 봅니다.

다들 아시는 내용이겠지만

혹시 모르시는 분을 위해

전파 통달거리(지평선 거리) 에 대해 생각해 봅니다.

위 그림의 원은 지구의 단면적이고 R 은 지구 반지름입니다.

지상에 높이 h 의 안테나가 설치되어 있습니다.

그러면 전파는 선분 BC 방향으로 직선적으로 전달된다고 생각합니다.

호 AC 의 길이가 지표면을 따라 측정한 전파의 최대 통달거리가 될 것입니다.

선분 BC 의 길이나 호 AC 의 길이는 얼마가 될까요 ?

선분 BC 는 원에 접한, 즉 접선입니다.

그러므로 지구 중심 O에서 점 C 까지의 거리는 지구 반지름 R 이고 선분 OC 와 선분 BC 는 직각을 이룹니다.

즉 삼각형 OBC 는 직각삼각형입니다.

피타고라스의 정리인가요.??

삼각형 OB( 빗변)의 제곱 = 선분 BC 의 제곱 + 선분 OC 의 제곱

그러므로

선분 BC 의 제곱 = (R+h)의 제곱 - R의 제곱

=2*R*h +h의 제곱

선분 BC= ((2*R*h +h의 제곱)의 제곱근) 입니다.

(*는 곱하기입니다.)

위식을 약간 간단히 하면

선분 BC= 2*R*h*{ 1 + h/(2*R) } 의 제곱근 <= (2*R*h) 로 묶음

여기서 지구의 반지름 R = (약 6370 Km) 입니다.

안테나 높이 h= 1Km 라고 하면

h/(2*R) = 1/(2*6370) 는 0 에 가깝고

위식의 1 + h/(2*R) => 1 이 됩니다.

그러면

선분 BC= 2*R*h 의 제곱근 이 됩니다.

삼각함수에서

sinΘ = (선분BC의 길이) / (선분OB의 길이)

= (2*R*h 의 제곱근 ) / (R +h)

여기서 위에 사용했던 수치를 그대로 이용해서

R = 6370 Km

안테나 높이 h= 1Km

라면

sinΘ = (선분BC의 길이) / (선분OB의 길이)

= (2*6370*1 의 제곱근 ) / (6370 +1)

= 0.017716466563519022937236318509536

이 사인 값에서 Θ =1.015 도 입니다.

실제 각AOC(Θ) 는 작기 때문에 선분 BC 의 길이와 호AC 의 길이는 거의 같습니다.

좀 정밀하게 계산한다면 각AOC 를 삼각함수에서 구하고

호AC = R * Θ 로 구할 수 있습니다.

즉 sinΘ = (선분BC의 길이) / (선분OB의 길이) 를 만족하는 각도를 구하고

여기에서 호AC 를 구하면 됩니다.

여기서 Θ가 작을 때

sinΘ = Θ (라디안) 가 됩니다.

예를 들어

Θ = 30도= (π/6) 라디안 = 0.523 라디안

sin(30도) = 0.5 입니다.

각도가 30도 일때 0.5 와 0.523 라디안은 약 4% 오차입니다.

각도가 3도이면

Θ = 3도= (π/60) 라디안 = 0.052359877559829887307710723054658 라디안

sin(3도) = 0.052335956242943832722118629609078 입니다.

그래서 약 0.046% 의 오차입니다.

각도가 1도이면

Θ = 1도= (π/180) 라디안 = 0.017453292519943295769236907684886 라디안

sin(1도) = 0.017452406437283512819418978516316 입니다.

그래서 약 0.005077 % 의 오차입니다.

위에서 안테나 높이가 1Km 라고 할때 각Θ 는 약 1도 였습니다.

위 예에서 보듯이 각도가 작으면 오차가 극히 줄어들므로

각도를 라디안으로 나타낼 때 sinΘ = Θ 라고 볼 수 있음을 알 수 있습니다.

그러면 Θ=sinΘ= (선분BC의 길이) / (선분OB의 길이)

호AC = R * Θ = R * (선분BC의 길이) / (선분OB의 길이)

= R * (2*R*h 의 제곱근) / (R+h)

= ( 2*R*h 의 제곱근) / (1+h/R) <= 분모분자를 R 로 나눔

여기서 지구의 반지름 R = (약 6370 Km) 입니다.

안테나 높이를 1Km 라고 하면

h/R = 1/6370 는 0 에 가깝고

위식의 분모 1+h/R => 1 이 됩니다.

위식 = ( 2*R*h의 제곱근) / (1+h/R)

= 2*R*h의 제곱근

즉 위 식의 결론은 각Θ 가 작으므로

호AC의 길이 = 선분BC의 길이 라는 겁니다.

즉 전파가 직선으로 전파될 때의

최대 거리 =(( 2*R*h)의 제곱근) 입니다.

예를 들어 안테나가 1Km 라면

최대 거리 = ( 2*6370Km*1Km)의 제곱근 = 113 Km 입니다.

안테나가 100m 라면 최대 거리 =( 2*6370Km*0.1Km)의 제곱근 = 36 Km 입니다.

이 통달거리는 지구가 완전히 둥글다는 가정하에 계산된 것이고

실제로는 지구가 약간 타원형인데다가 지형지물에 따라 당연히 달라지겠습니다.

앞이 탁트인 바다에서는 이 계산 결과와 비슷한 실험 결과를 얻게 되겠죠.

 

실제로는 수신측 안테나의 높이도 고려해야 하므로

실제 통달 가능 거리는 선분 BD 의 길이이며

위 그림처럼 송수신 안테나의 각각의 통달 가능 거리를 더하면 됩니다.

그래서 송수신 안테나의 높이가 각각 100m 라면

위에서 계산한 36Km + 36Km = 72 Km 가 됩니다.

잘 아시는 것처럼 실제의 전파의 통달가능 거리는 전파의 주파수에 따라 다릅니다.

즉 전리층에서 전파가 반사하는 경우에는 휠씬 더 멀리 갈 수 있습니다.

그러나 마르코니 시절에는 전리층이 아직 발견되기 전이어서

다른 사람들은 이런 계산에 근거해서

아무리 전파가 세게 나가도 기껏해야 수십 Km 밖에 안 될 거라고 생각했습니다.

그러나 마르코니는 아무런 이론적 근거없이 상상하기를 멀리 나갈 수 있다고 생각했고

1901년에는 약 3,000 Km 거리의 대서양 횡단 실험에 성공하게 됩니다.

그 이전에는 영국과 캐나다 간의 유선 해저 케이블을 이용해서 대서양 횡단 유선 통신을 하였습니다.

마르코니의 무선 실험의 성공은

선박과 육지, 선박과 선박 사이의 통신 수단으로서의 자리를 잡게 되고,

타이타닉의 침몰사건으로 인해 무선 통신에서의 규정등이 좀더 확실히 자리잡게 됩니다.

여기서 혹시 마르코니의 실험에서 주파수가 VHF 나 UHF 대의 주파수였다면

전파가 전리층에서 반사하지 않으므로써

위의 계산의 결과와 실제 실험의 결과가 같았을 것이고

다른 과학자의 계산에서 처럼 통달거리가 수십 Km 밖에 안되었을 겁니다.

그러면 무선 통신의 시대는 훨씬 늦어 졌을 겁니다.

그 당시에는 그 정도의 거리에서는 유선 통신의 시설/유지 비용이 무선통신의 비용보다 저렴했기 때문입니다.

[이기봉]

전파의 통달거리(지평선 거리)를 수학적으로 계산을 하고 싶은 분을 위해 조금 자세히 계산해 보았습니다.
전파의 주파수가 VHF,UHF 대의 TV, FM 라디오 등에서는 위의 계산과 같은 통달거리가 되지만 단파대나 중파대의 경우는 훨씬 멀리 전파되겠습니다.

[맥가이샘(서임철)]

빛은 직선경로를 가는게 거의 확실하지만 전파는 곡선의 경로를 (약간 휘어서) 지나갑니다.
파동은 정도의 차이가 있기는 하지만 회절현상이 있기 때문입니다.

[이기봉]

예..지표파도 있지요.

[bigbrother]

탐구심에 찬사를 보냅니다.

[이기봉]

별 말씀을..ㅎㅎㅎ...
이참에 마르코니 자료를 한번 더 보아 주시면 (특히 저작권 때문에 링크 소개만 된 자료) 더더욱 고마울 뿐입니다.

[오리(成光鎭)]

학구적인 자세를 유지하시는 이기봉님의 글을 읽으며 깨닫는 바가 있습니다.

[이기봉]

과찬의 말씀을..ㅎㅎ.. 학생지도에 도움이 되었으면 합니다.

[운영지기(金鎭會)]

마르코니 불꽃송신기 태동의 이야기로 이기봉님의 깔끔한 해설로 잘 대변 해주셨습니다..짝! 짝! 짝!

[tree]

이런 것은 시간 많은 한량들이나 계산해 보는 것인데. 지적 유희
저는 그냥 남들이 계산해 놓은 것 보고 맙니다.

[새뮤얼 모스]

다 알겠는데....라디안이 어떤 건지 잘 모르겠네요.