행렬 영인자에 관한 질문입니다.

[수사]

일반적으로 이차이상 으로 인수분해 되는 고차식은 영인자가 나오지 않는 다고 하는데, 위의 문장이 참이 되는것이 어떻게 증명이 되나요? 부탁합니다.^^

[HolyDpel]

행렬에선 (A+B)^2= A^2+AB+BA+B^2 이잖아요. 근데 만약 AB=BA(교환법칙)가 되면 인수분해 전개식 모두 다 됩니다.(즉 다항식으로 봐도 무방합니다.) A^n=E 이기때문에 A행렬이 역행렬(교환법칙 됩니다)을 갖습니다. A^n=E 에서 E 좌변으로 넘기고 A^n-E= O 가 되고 왼쪽 인수분해하면 (A-E)(A^n-1+...+A+E)= O 이 되고 , 당연히 위가 참이 되겟죠

[dogma]

홀리님은 수사님께서 물으신 질문의 요지를 곡해 하신 듯 합니다. 위 식이 참임을 증명하는 것은 고등수학의 범위를 훨씬 벗어난 내용입니다. 원래 두행렬 AB=0 이면 A=0 or B=0 or A와 B가 영인자(A와B가 0행렬이 아니면서 곱이 0행렬이 되는 경우) 세 가지가 있는데,
위의 경우는 영인자의 개념이 성립하지 않아서 참이 되는 것을 말하는 것입니다.
고등교과 과정이 아니기 때문에 위의 경우는 시험에 나와서는 안 되는 분야 이지만 간혹 잘 모르거나 자신의 수학적인 역량을 과시하고자 출제하는 학교도 좀 있죠.

[dogma]

2차 정사각행렬에서 주로 나오는 문제는 행렬은 방정식화 시켜 3차 이상의 방정식이 인수분해될 때 입니다.

"A^2 + 3A + 2E = O 이면 A=-2E or A=-E이다." 는 거짓이지만
"A^3 - E = O 이면 A=E or A^2+A+E=O이다." 는 참이죠.

전자의 경우는 영인자의 존재때문에 거짓이지만 후자는 영인자가 존재하지 않기에 참이 되는 겁니다.
이것을 증명하기엔 고등수학과정으로는 불가능하므로 선생님들께서는 다음과 같이 말합니다.
" 행렬이 2차 이상의 다항식으로 인수분해될 때, 인수가 종속관계에 있는 경우 영인자는 존재하지 않는다."

[dogma]

수사님께서도 아마 직접증명해주시기엔 무리가 있으실 겁니다. 그냥 암기 시키세요. 그리고 한마디 덧붙이세요.
"절대 수능에 안나와!"

[보이는것이전부는아냐]

위의 내용은 참이 아니라 거짓이예요.
그러니, 맞다면서 그냥 암기 시키면 곤란해요.

A=(1 0) 이면, A^4=E이지만, A≠E 이고, A^3+A^2+A+E≠O이거든요. 반례가 되네요.
(0 -1)

[dogma]

'실수범위 내에서 더 이상 인수분해되지 않는다'라는 전제가 없었군요. 제가 잘못 보았습니다. 질문에 나오는 내용은 확실히 거짓입니다.
덧 붙이자면 ABC=O 이며 A=O or B=O or C=O or AB=O or BC=O 이 가능하기에
위의 예 처럼 (A-E)(A+E)(A^2+E)로 인수분해 될 경우 영인자가 존재합니다.
제가 틀렸습니다. 죄송합니다 ㅠㅠ

[수사]

여러가지 생각 하게 하는 문제네요. ^^ 감사합니다.