상대론적 등가속도 운동 13

[뽀야]

지난 시간에 우리는 "상대론적 라그랑지안" 개념을 배웠는데요, 이를 바탕으로 자유 입자가 등속도 운동함을 보일 수 있었습니다:

만일 입자가 힘을 받는다면, 운동 방정식은 아래와 같이 기술될 것입니다.

위 식에서, "힘"을 "소문자 f"로 표기했는데요, 왜냐하면 상대론에서는 "대문자 F"가 "전자기장 텐서 (electromagnetic field strength tensor; 일렉트로마그네틱 필드 스트렝쓰 텐서)"로 쓰이기 때문입니다.

문제 메트릭 텐서가 민코프스키 메트릭 텐서라고 가정하여, 다음을 증명하라.

답 아래의 4-velocity 관련 수식에서 출발합니다.

양 변을 "τ"로 미분합니다:

메트릭 텐서의 성분은 대칭 행렬이므로, 다음을 얻습니다.

아래의 식을 대입합니다.

결과는 다음과 같습니다.

(QED)

즉, "힘 f"는 물체의 시간축 방향에 항상 수직합니다. 따라서, 아래의 결론을 얻습니다.

" 힘 f 는 항상 공간축 방향으로 작용한다. "

그림으로 나타내면 아래와 같을 것입니다.

이제, 아래와 같이 힘 벡터의 크기를 "상수 a"라고 두겠습니다.

(힘은 공간축 방향으로 작용하므로, space-like함에 유의합시다.)

이와 같은 "일정한 힘"이 작용하는 경우에 물체의 궤적을 구해 봅시다.

우선, 아래의 식을 참조하시기 바랍니다.

(앞서의 문제에서 사용했던 방법을 사용하면 유도 가능합니다.) 다음의 식을 대입합니다.

결과는 아래와 같습니다.

잠시 정리해 보는 시간을 가질까요?

(1) 속도 "dx/dτ"는 시간축 방향이다.

(2) 힘 f는 공간축 방향이다. 즉, 속도를 미분한 값 "d^2x / dτ^2" 또한 공간축 방향이다.

(3) 위에서 보았듯이 df/dτ는 힘과 수직하므로, 속도를 두 번 미분한 값 "d^3x / dτ^3"는 시간축 방향이다.

즉, 속도 "dx/dτ"와 속도를 두 번 미분한 "d^3x / dτ^3"는 방향이 같습니다!!

이어서, 앞서 유도했던 아래의 식에서 계속하겠습니다.

양 변을 "τ"로 미분합니다:

아래의 식을 대입합니다.

결과는 다음과 같습니다.

따라서,

위에서 본 바와 같이, 속도 "dx/dτ"와 속도를 두 번 미분한 "d^3x / dτ^3"는 같은 방향입니다.

또한, 속도 벡터 (4-velocity)의 길이는 항상 "1"입니다. 이를 바탕으로, 아래의 결과를 얻을 수 있습니다.

보시다시피, 간단한 미분 방정식이 나왔군요!!

미분 방정식을 풀기 위해, 초기 조건을 아래와 같이 주겠습니다.

(1) 초기 위치

(2) 초기 속도

그러면, 미분 방정식의 해는 다음과 같이 주어집니다.

물체의 궤적을 그림으로 그리면, 다음과 같습니다.

궤적을 잘 보시면, 시간이 갈수록 물체의 속도는 빨라지지만, 절대로 광속 (기울기 1)을 넘지는 못하는 모습을 확인하실 수 있습니다.

그렇다면, 가속하는 관찰자에 대한 "메트릭 텐서"는 어떻게 주어질까요?

일단, 정지 (또는 등속도 운동)한 관찰자는, 아래의 메트릭 텐서의 적용을 받습니다.

(여기서부터는 편의상 "c=1"로 두겠습니다.)

이는 곧, 시간축의 길이와 공간축의 길이가 모두 "1"이라는 뜻이므로, 아래와 같은 시공간을 의미합니다.

이처럼, 정지해 있는 관찰자는, 우리가 기존에 알던 직교 좌표계의 적용을 받는다고 할 수 있겠습니다.

자, 이제부터 가속하는 관찰자에 대해 논의해 보겠습니다.

우선, 가속하는 물체의 고유 시간을 "τ"라고 하였으므로, 가속하는 관찰자의 시간축 또한 "τ"가 될 것입니다.

또한, 가속하는 관찰자의 공간축은 "ξ"라고 두면, 메트릭 텐서는 다음과 같이 주어집니다.

이때, 가속하는 관찰자의 가속도는 일정합니다 (시간이 지나도 가속도가 변하지 않습니다).

따라서, 메트릭 텐서의 성분은 "시간 τ"에 대해 상수이어야 합니다:

이어서, 앞서 보여 드렸던 물체의 궤적이, 아래와 같이 τ값에 대해 대칭이 있음을 확인할 수 있습니다.

따라서, 메트릭 텐서에 대해서도 위와 같은 대칭이 존재해야 하므로,

이는 곧, 가속하는 좌표계의 시간축 (τ축)과 공간축 (ξ축)이 수직함을 의미합니다:

논의를 계속해 봅시다. 앞서 구했던 아래의 식에서 출발합니다.

즉, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이때, 시간축 방향 벡터 "d/dτ"는, 앞으로 가속하는 관찰자의 좌표계 (τ,ξ)의 기저 벡터로 사용될 것이므로, 아래와 같이 표기할 수 있습니다.

따라서,

이제 공간축 "ξ"를 구할 것인데요, 공간축은 시간축과 수직해야 하므로, 아래와 같이 주어져야 합니다.

(위 식의 "b"는 상수입니다.) "ξ축 (빨간색 화살표)"을 그림으로 그리면 다음과 같습니다.

위 그림의 "점 P"와 "점 Q"를 주목합시다.

"점 P"는 물체의 궤적 위의 점입니다. 이때, 물체의 궤적은 앞에서 이미 구하였습니다:

따라서, "점 P"의 좌표는 다음과 같습니다.

"점 Q"의 경우, "점 P"에서 "ξ축"으로 진행하면 되겠군요.

이때, "ξ축"으로 "ξ"만큼 진행해 보겠습니다:

"ξ축" 방향 기저 벡터는, 앞에서 이미 구하였지요:

따라서, "점 Q"의 좌표는 아래와 같이 주어집니다.

여기서 잠깐, 아래 그림에서 볼 수 있듯이, "점 Q"는 가속 좌표계에서 (τ,ξ)라는 좌표 위에 있는 점입니다.

즉, 가속 좌표계에서 (τ,ξ)인 점을, 정지 좌표계 (t,x)에서 기술하는 공식은 다음과 같습니다.

이것이 바로, 정지 좌표계와 가속 좌표계 사이의, "좌표 변환식"입니다.

위 식을 사용하면, 아래의 메트릭 텐서를 얻어낼 수 있습니다.

여기서 잠깐, 위 식의 "상수 a"는 힘 벡터의 크기를 의미했습니다:

즉, "a=0"인 상황에서는 새로운 메트릭과 원래의 메트릭이 같아야 합니다. 따라서 "b=1"이어야 하므로, 가속하는 좌표계에서의 메트릭 텐서는 다음과 같습니다.

메트릭 텐서의 성분을 행렬로 나타내면, 아래와 같을 것입니다.

"5강"에서 배웠던 방법으로, 주어진 메트릭 텐서가 나타내는 좌표계를 그려 보면 다음의 그림을 얻습니다.

(편의상 위 그림에서는 "a=1"로 두었습니다.)

위 그림에서는 재미있는 사실을 관찰할 수 있는데요, 바로 "x = -1"에서 좌표계가 한 점으로 모인다는 것입니다.

이러한 지점을 좌표계의 "특이점 (singularity; 싱귤러리티)"이라 부르는데요, 특이점에 대해서는 훗날 블랙홀을 다루면서 다시 한 번 접하게 될 것입니다.

(사족) 일반적으로 물체가 가속할 경우, 가속도가 엄청나게 크지 않은 이상은 위의 특이점이 관찰되지는 않습니다.