무한육변요철문도(無限六邊凹凸紋圖)

[김동석]

무한육변요철문도(無限六邊凹凸紋圖)

박태용님께서 우리들에게 특별한 독창적 육각진 만들기 방식을 보내왔습니다. 이 육각진의 경우 무한 확장이 가능한 경우인데, 이 방식을 소개됨을 매우 기쁘게 여기며 우리 모두 감상 해보시고 모든 경우 확장이 가능함을 검토 해 보는 것이 좋겠다고 여기어 여기에 공개합니다. 이 자료에 대해서는 저작권이 박태용님께 있으며, 박태용님의 허락없이 어떠한 형태라도 사용을 금합니다.
이 자료에 대해서 의문이나 의견이 계시면 박태용님께 메일 주시기 바랍니다.
아래 글은 원작자의 설명입니다.
이 무한육각진의 전체적인 모습은 육각의 형태를 지니고 있습니다. 그리고 그 테두리의 모습은 아래에서처럼 요철이 있기에 저는 이 형태를 무한육변요철문도(無限六邊凹凸紋圖)로 이름을 지었습니다. 별 무리가 없다면 이 이름이 쓰여지길 바랍니다.
아래 배경색 부분은 독자의 이해를 돕기 위한 표시입니다. (가),(나)는 같은 경우를 다른 시각에서 검토했음을 밝힙니다. [숫자놀이 홈지기]

1. 기본형 1~24 [75]

(가)

(나)

같은 색 부분은 합이 [25]으로 같고 합 부분에 배경색이 없는 부분은 연결 방식의 다름을 표시

청색 부분 합 [23]적갈과 청록색 합 [26]군청색은[25]임 무색 배경 합의 부분은(A) 배경부분이 미색부분은 (B)를 표시함.

			15	10
	16	7			22	1
9			18	3			24
	17	8			23	2
13			19	4			11
	12	6			21	14
			20	5

			15	10
	16	7			22	1
9			18	3			24
	17	8			23	2
13			19	4			11
	12	6			21	14
			20	5

2. 1차 확장 1~42 [129]

(가)													(나)
같은 색 부분은 합이 [43]으로 같고 합 부분에 배경색이 미색 부분은 연결 방식의 다름을 표시													청색 부분 합 [41]분 보라와 군청색 합은 [44]임.무 배경 합의 부분은(A) 배경부분이 미색부분은 (B)를 표시함.
			16	25			19	22								16	25			19	22
		27			18	24			21						27			18	24			21
			17	26			20	23								17	26			20	23
	7	34			10	31			13	28				7	34			10	31			13	28
36			9	33			12	30			15		36			9	33			12	30			15
	8	35			11	32			14	29				8	35			11	32			14	29
			1	40			4	37								1	40			4	37
		42			3	39			6						42			3	39			6
			2	41			5	38								2	41			5	38

3. 무한 육각요철문도의 해설(저자 직접 강의록)
먼저 기본적인 규칙을 보여드리겠습니다.

	1+무한-2
무한+			+3
	2	무한-1

이러한 구조 속에서 그 합은 3*(무한 +1)이 되고 무한과 1 그리고 무한-1과 2, 무한-2와 3은 대칭관계가 됩니다. 여기서 타원으로 연결된 부분이 육각진의 열쇠가 됩니다. 타원으로 연결된 부분은 각각 (무한+1= 2a) 2a-2, 2a+1, 2a+1이 되고 간단하게 -2, 1, 1로 표현하자면 아래와 같이 될 것입니다
+
이때 A, B부분의 합을 형성하는 6개 수의 합은 다른 주변의 4개의 육각진의 합과 같습니다.
이것을 무한으로 확장시킨 모습은 아래 그림과 같습니다.

여기까지 이해가 되신다면 다음 내용부터는 아주 쉽게 이해하실 수 있을 것입니다. 제가 발견한 법칙(자연수의 연결법칙)을 통해서 여기 소개한 육각진뿐만 아니라 마방진과 특수진 등등 모든 진의 형태에 대해 수리적으로 증명할 수 있습니다. 이 법칙은 아마도 저 아닌 다른 사람도 한 번쯤은 생각했을 법한 내용이기때문에 너무나 쉽게 이해할 수 있을 것입니다.

자연수의 연결방법이란 1부터 N까지 수의 나열에서 임의의 두 수의 합을 평균의 두 배(1+N)와 비교하는 방법입니다.
자연수의 연결법칙에는 상단연결법칙(음), 하단연결법칙(양), 사선연결법칙이 있고, 사선연결법칙에는 음의 연결과 양의 연결이 있습니다. (자연수의 나열을 대칭형태로 했을 때)

	옆의 수의 대칭관계에서 a는 상단의 연결을 나타내고, b, c는 사선의 연결, 그리고 d는 하단연결을 나타냅니다. 여기서 평균을 A라 할 때 2A는 13이 되고, 연결 a는 11, b, c, d는 각각 11, 14, 23이고 이를 2A와 비교하여 간단하게 표현을 하면 a, b, c, d는 각각 2A-2, 2A-2, 2A+1, 2A+10이고 더 간단하게 -2, -2, +1,+10이라고 할 수 있습니다

이제 앞의 무한육변요철문도로 돌아가서 자연수의 연결법칙을 적용해 보기로 하겠습니다.

1 2 3 4 ----------- N/2
N N-1 N-2 N-3 ----------- (N/2)+1

위의 숫자나열은 1부터 N까지의 합의 구할 때 쓰던 나열법입니다. 여기에서 설명을 간편하게 하기 위해서 몇 가지 제가 임의로 만든 단어를 소개합니다. 먼저 대칭관계를 하나의 막대라고 생각하고 그 막대를 귀장(龜杖)으로 이름 지었습니다. 이것은 제가 육각진의 법칙성을 찾다가 대칭관계를 수의 나열이 없이 이 귀장을 통해서 간편하게 설명할 수 있음을 발견했기 때문에 지수귀문도의 귀(龜)자와 막대 장(杖)을 붙여 귀장이라고 이름 붙였습니다. 그리고 앞에 소개된 무한 육각진의 최소단위의 형태 (아래그림)에 대해서 그 모양이 곤충의 얼굴모양과 비슷하다는 점에 착안하여 충안(蟲顔)이라고 이름 붙였습니다.

이만하면 메뚜기의 얼굴모습과 꽤 흡사함을 알 수 있을 것입니다.
이 충안은 귀장(2A)이라는 기본단위로 만들어집니다.

1 2 3 4 ----------- N/2
N N-1 N-2 N-3 ----------- (N/2)+1

이 대칭형태를 간단한 귀장의 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

앞에 소개된 것과 같이 타원으로 연결된 두 수의 합은 2A와 비교했을 때 -2, +1, +1이 됩니다. 이 충안을 응용하여 정대룡님 홈페이지에 소개된 육각진을 풀어보겠습니다.

		18		17
	7	75	21	75	8
	6		1		5
11	75	22	75	23	75	12
14		3		2		13
	19	75	24	75	20
	10		4		9
		15		16

			15	10
	16	7	75		22	1
9	75		18	3	75		24
	17	8	75		23	2
13	75		19	4	75		11
	12	6	75		21	14
			20	5

위의 그림에서 a 부분들은 각각 귀장을 3개씩 가지고 있기 때문에 합이 6A로 일정합니다. 그리고 B부분은 타원의 연결, 그 합에 의해 이루어져 있기에 역시 6A가 됨을 알 수 있을 것입니다. 여기서 한 가지 또 중요한 것은 회전시키지 않는다는 조건아래 충안들을 얼마든지 자유롭게 배치할 수 있기 때문에 이러한 법칙을 사용해서 엄청난 조합의 수를 발견할 수 있습니다. 그리고 이것은 자연수의 연결 법에 따르는 하나의 법칙성에 불구하다는 것을 말씀드리고 싶습니다.
다음은 육각진의 최소단위인 충안의 다른 형태들을 아래에 소개합니다.

	-2, +1, +1 +2, -1, -1		-4, +2, +2 +4, -2, -2		-6, +3, +3 +6, -3, -3	..........
	-2X, +X, +X (X는 자연수, N/6보다 작은 범위하에서) +2X, -X, -X

이러한 형태들은 무한육변요철문도에 대해 모두 가능한 것입니다. 그러나 그 크기가 줄어들수록 선택의 폭이 줄어 듭니다.이러한 법칙하에서 입체육각진을 쉽게 만들 수 있으며 또한 위아래의 합을 모두 일정하게 만들 수도 있습니다. 기본형이 아닌 것도 마찬가지로 가능합니다. 그런데 위아래 합을 일정하게 만들려고 한다면 층수는 짝수일 때만 가능합니다. 이러한 입체형은 육각진뿐만 아니라 육각성진, 짝수차수 마방진 등에서도 일반적인 법칙아래 가능함을 확인하였습니다.

다음 페이지 특집 자연수 연결 방법에서 다양한 박태용님의 자료를 게시했습니다.
많이 참고 하시길 바랍니다.