Re:정다면체 논술

[겨울소나기]

중학교 1학년 과정되겠습니다.

첫 수학공부방 주제는 정다면체가 5개뿐인 이유입니다.

정다면체의 종류부터 알려드릴게요.

1. 정다면체가 5개뿐인 이유

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지가 존재합니다.

왜 하필 다섯가지밖에 없느냐를 밝혀드릴게요.

먼저, 정다면체이니 한 면은 정다각형이겠죠?(정삼각형, 정사각형, 정오각형,...,)

또, 입체도형에서는 항상 한 꼭짓점에 모인 평면의 개수가 3개 이상입니다.

즉 입체가 되려면 한 꼭짓점에는 3개 이상의 각이 모여야 된다는 뜻이죠.

그런데 여기서 3개 이상의 각이 모였을 때 그 합이 360도면 평면이 되어버리고 그 초과는 다른 평면과 겹치기 때문에 입체도형이 될 수 없습니다.

정삼각형의 한 각의 크기는 60도이므로 최대 5개까지 모일수 있습니다.(60*5=300, 60*6=360)

정사각형의 한 각의 크기는 90도이므로 최대 3개까지 모일수 있습니다.(90*3=270, 90*4=360)

정오각형의 한 각의 크기는 108도이므로 최대 3개까지 모일수 있습니다.(108*324, 108*4=432)

정육각형의 한 각의 크기는 120도이므로 3개가 모이면 120*3=360이 되기 때문에 정다면체의 한 면이 될 수 없습니다.

따라서 정삼각형이 한 면이 되는 정다면체의 경우의 수는 3가지(정삼각형이 한각에 3개 모인 정사면체, 4개 모인 정팔면체, 5개 모인 정이십면체), 정사각형이 한 면이 되는 정다면체의 경우의 수는 1가지(정사각형이  한 각에 3개 모인 정육면체), 정오각형이 한 면이 되는 정다면체의 경우의 수는 1가지(정오각형이 한각에 3개 모인 정십이각형)이므로

총 개수는 5개밖에 없는 것입니다.

즉석에서 제 머리에서 짜낸건데 이해가 되셨을런지 모르겠네요..

2. 오일러의 법칙

 두 번째로 오일러의 법칙이라는 것을 알려드릴게요^^

다면체에서 꼭짓점의 개수를 V, 모서리의 개수를 E, 면의 개수를 F라고 했을 때,

모든 다면체에서 V-E+F=2의 공식이 바로 오일러의 법칙입니다.

다면체에서 이 법칙을 벗어나는 다면체는 없고요, 예외가 있다면 다면체가 아닌 구, 고리모양 등을 들 수 있겠네요.

예는 아래 표에서 정다면체를 대상으로 정리해 드릴게요^^

그럼 표로 정리하겠습니다.^^(참고로 각 정다면체의 꼭짓점의 개수, 모서리의 개수, 면의 개수는 외워두세요!!)

 

혹시 이해안되시는 부분 있으면 댓글 달아주세요~ 아는 한도까지 최대한 설명해 드리겠습니다^^

(참고/그림, 표 출처 : 자작, 설명 : 자작

퍼가실때는 허락 맡으시길 바랍니다^^)

[출처] [Geometry] 1. 정다면체가 5개뿐인 이유/오일러의 법칙|작성자 Music종놀이