허수의 발견＜虛數의 發見,Discovery of imaginary number＞

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허수의 발견<虛數의 發見,Discovery of imaginary number>

허수는 16세기에 이르러서 이탈리아의 수학자 카르다노에 의해서 처음으로 음수의 제곱근으로 알려지게 되며, 19세기 독일의 수학자 가우스에 의해 좌표평면 위에 복소수를 나타내면서부터 허수도 실제의 수로 인정을 받게 됨.

음수와 마찬가지로 수학사에서 허수와 복소수의 존재는 이미 오래 전에 알려졌으나 하나의 수로 인정받기까지는 오랜 시간이 필요했다. 고대로부터 방정식의 해법에 대한 연구와 더불어 방정식이 해를 찾는 과정에서 음수와 허수가 불가피하게 등장했으나 수학자들은 양의 근 이외의 근은 모두 무시하였으므로 음수나 허수가 하나의 수로 정착되는 데는 많은 고민이 필요했다.허수는 16세기에 이르러서 이탈리아의 수학자 카르다노(1501~1576)에 의해서 처음으로 음수의 제곱근으로 기록이 된다. 카르다노는 이 음수의 제곱근을 ‘가공의 양’이라고 불렀다. 그는 방정식의 해를 구하는 과정에서 음수의 제곱근을 발견했지만 음수와 마찬가지로 이것을 전혀 쓸모없는 수로 생각했다. 이 후 음수의 제곱근은 ‘가상의 수’, ‘실제로 존재하지 않은 수’로 많은 수학자들의 관심의 대상이 되었다. 그러다가 17세기경 데카르트(1596~1650)에 의해 이 가상의 수가 ‘허수’라고 불리게 되었다. 그러나 데카르트는 실수는 실제로 존재하는 수이고, 허수는 실제로 존재하지 않는 가상의 수라고 했을 뿐 거기에 별다른 의미를 부여하지는 않았다. 그러다가 '수학의 왕'이라 불리는19세기 독일의 수학자 가우스(1777~1855)에 의해 좌표평면 위에 복소수를 나타내면서부터 허수도 실제의 수로 인정을 받게 된다. 그는 좌표평면의 가로축을 실수축, 세로축을 허수축이라고 하고, 복소수 a+bi를 (a, b) 형태의 좌표로 나타내었다

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복소수의 성질

복소수는 실수(實數, real number)와 허수의 합으로 이루어진 수를 말하는데, 2개의 실수 a, b를 사용한 a＋bi인 형식으로 표현되며, 복소수 a＋bi에서 b≠0인 경우 a＋bi를 허수라 하고, a＝0이면 순허수라 한다.

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙과 같이 실수가 가지고 있는 성질의 대부분이 복소수에도 그대로 성립한다. 그러나 그렇지 않은 성질도 있는데, 그 대표적인 예가 근호의 계산에서의 곱의 법칙이다. 즉 는 a와 b가 모두 음이 아닌 실수일 때만 성립한다.

만약 복소수에도 이와 같은 법칙이 성립한다면, 예를 들어 으로 6이 나와야 한다. 그러나 실제로 에서 이 된다.

주요용어정리

허수(虛數, imaginary number)

제곱했을 때, 음수가 되는 수, 즉 실수가 아닌 복소수를 말한다. 예를 들어 이차방정식 에는 실수의 해는 존재하지 않는다. 이 방정식의 해를 i라고 쓰고 이것을 수로 간주한다. 즉 이 성립한다.

실수(實數, real number)

유리수(有理數, rational number)와 무리수(無理數, irrational number)를 통틀어 실수라고 한다. 실수는 유리수나 무리수와 마찬가지로, 무수히 많이 존재하며, 실수의 범위에서는 사칙연산을 자유롭게 할 수 있다.