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: : : : : : 샴에 나오는 문젠데요,
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: : : : : : 설마 교수님께서 진짜로 못 푸시는 건 아닐테지만
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: : : : : : 저랑 30여분 같이 고민했는데 결국 답이 안나왔어여.
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: : : : : : Determine the smallest subbase S
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: : : : : : for the discrete topology T on any non-empty set X.
: : : : :
: : : : : (sol) The collection of all one point subsets of X
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: : : :
: : : : 근데 가령 X의 원소의 개수가 9개라고 하면
: : : :
: : : : one points 를 모으면 9개지만 6개의 subsets으로도 S를 만드는 것이 가능한데 그건 어떻게 설명해야 하는 건가요?
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: : :
: : : smallest 의 정의를 생각해 보세요!!
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: : 정의가 뭔지 설명 부탁드립니다.
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: : 책을 찾아 봤는데 못 찾겠습니다.
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: smallest 라는 말은 없을 것 같고, 더(more than) finer
: 하다는 말을 뭉커가 쓴 토폴로지에서 본듯하군요!!
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: ****님의 설명을 정리해 주시겠습니까.
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: 이래서 답이 이거다....이런 식으로 말입니다.
a--- 이제 설명을 길게 해보이겠음니다.
샴 책은 기본 개념 설명도 잘 되어있고, 문제도 많이 있다고 들었음니다. 그러나 불행이도(?) 본인에게는 샴책이 없군요. 샴에서의 subbase 정의를 보아야 하는데,,,
그래서 나에게 있었던 뭉커가 쓴 책을 찾아보니 그것도 없군요(이사 할 때 다른 짐 속에 들어갔나?,,,아직 이삿짐을 다 못 풀었걸라요)하여튼 다시 찾아보니 James Dugundji 가
쓴 책이 있어서 이 책의 개념으로 설명해드리겠음다.샴 책이라고해서 다르지는 않을 것 같군요.
우선 문제가 이 위상은 discreat topology 임니다.
이에대한 설명은 안해도 되겠지요
그럼 subbase 개념을 설명해드리지요
상기 책 65쪽 정리 3.1이군요
일단 X 의 부분집합들의 모임이군요.그러면 책의 내용은
공집합과 X 자신 ,부분집합에 들어있는 것들중 유한개의 부분집합들의 교집합,그리고 이들의 임의의 합집합 들로 구성된 unique 하고 smallest한 topology가 항상 존재한다고 되어 있음니다.이때 이 부분집합들의 모임을 상기 위상의
subbase 라고 한다 라고 정의 되어 있군요.
다시한번 상기 시키는데 이 위상은 discreat 위상임니다
그러면 X 의 부분집합들의 모임으로 위의 subbase 의 정의에따라 만들어진 위상이 discreat 하여야 함니다.
그래서 one-point set 들로 이루어진 집합족으로써 위의 정의에 맟춰보면 diacreat한 위상이 만들어 지는군요
또한 one-point set 를 포함하는 또다른 집합족(family)이 있다면 그또한 discreat 한 위상이 만들어짐니다.그래서 이 경우 one-pointset들의 모임이 일단 더 smaller 하군요.
그러면 one-point set 들의 모든 모임보다 작은 집합들의 모임이 있거나( 한 점 만으로 이루어진) 아니면 또 다른 부분집합들의 모임이 있다고 합시다 .
먼저 집합 X의 한점이라도 빠진 한 점으로만 되어있는 집합들의 모임이 있다고 합시다 .이 경우는 위상조차도 않되는 군요..(알 수 있겠지요!!)그러면 다음경우로 한 점 집합족이아닌 또 다른 부분집합족이 있다고 합시다.위의 정리에 따르면 이를 포함하는 유니크 하고 스몰리스트한 토폴로지는 존재 함니다.그런데 이 위상이 discreat 할려면 이 집합이 one-point set들을 모두 포함하여야 하는군요(이 부분이 이해가 되어야 할 텐데,,,)따라서 SMALLEST한 부분집합족은 ONE-POINT SET 들의 모임이군요.!!!!1
자 - 그러면 귀하께서 다시 질문한 문제에 대해 다시 질문함니다.
9개의 원소를 가진 집합에서 6개의 부분집합들의 모임으로도(6개를 어떻게 만들었는지 모르지만,,,) 이에 의해 생성되는 위상은 반드시 존재 하게됨니다. 그러나 이 위상이 discreat 한가 확인해 보십시요?. (아닐 것임니다.) 다시 한번 확인해 보십시요.discreat topology 를 만들려면 최소한 (smallest) 모든 ONE-POINT SET들의 모임을 모두 포함하여야 함니다.
이 시간 (이른 새벽)이면 나는 항상 술에 취해있다.
맞춤법이 틀린 것에 대해서는 시비(?)를 걸지 마세요!!!1
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