[장비] [번역 ST08] 나이퀴스트 정리

[별초보..]

이 글은 STARIZONA의 여러가지 글 중 하나입니다. 이 글의 본문은 여기 입니다.
이 글은 오역을 감추기 위한 의역으로 점철되어 있습니다.
이 글은 저자의 허락을 받지 않았습니다.

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니이퀴스트 정리

분해능과 픽셀의 크기

CCD에 대한 논쟁이 있는 곳이면 언제나, 해롤드 나이퀴스트(Harold Nyquist)의 이름이 거론됩니다.
그러나 나이퀴스트가 죽었을 때, CCD 카메라는 처음 천문학자들 사이에서 사용되기 시작하였고, 그로부터 거의 20년이 지난 지금에서야 CCD는 아마추어 천문인들 사이에서도 유명하지게 되었습니다.
그런데 어떻게 나이퀴스트가 여기에 연관이 되게 되었을까요?

1920년대, 나이퀴스트는 벨 연구소에서 근무하면서 전자 신호의 샘플링에 대한 정리를 개발하였습니다.
이 정리는 매우 단순한데, 아날로그 신호를 정확하게 재구성하기 위해서는, 디지털 샘플링 비가 원래 신호 주파수의 두 배가 되어야 한다는 것입니다.
예를 들어, 주파수가 초당 1만번인 오디오 신호를 완전해 재구성하기 위해서는, 두 배 더 많은 초당 2만번을 샘플링하여야 합니다.
이러한 원리는 CD플레이어에서 사용되고 있습니다.

그림설명: 원래 주파수보다 두 배로 샘플링합니다. (빨간 점)

이를 CCD 이미지에 적용해봅시다.
아날로그 신호(망원경 이미지)를 정확하게 재구성하려면, 신호의 주파수의 두 배에 해당하는 샘플링(CCD로)이 필요하게 됩니다.
즉 CCD 분해능이 망원경 분해능의 두 배가 되어야 합니다.

CCD와 망원경이 주어졌을 때, 촬영 시스템의 해상도는 다음의 공식으로 계산할 수 있습니다.

분해능 = ( CCD 픽셀 크기 / 망원경 초점 거리 ) *206

단위는, CCD 픽셀 크기가 미크론, 초점거리는 mm, 분해능은 픽셀당 아크초("/픽셀)입니다.

시중에서 판매되는 CCD와 망원경의 분해능을 알고 싶으면, 아래의 계산기를 사용면 간단히 계산할 수 있습니다.
CCD의 픽셀을 비닝해도 분해능이 바뀝니다. (역주: 2x2 비닝이면 분해능에 2를, 3x3 비닝이면 3을 곱하면 됩니다.)

계산기
(역주:
자바스크립트를 올릴 수 없어 원문을 링크합니다.
계산기를 사용하고 싶으면 원문을 보십시오.
다음은 계산에 참고할 만한 공식입니다.
분해능 = ( CCD 픽셀 크기 / 망원경 초점 거리 ) *206 * 비닝
시야각(Field of View) = ( 3438 * CCD의 너비 혹은 높이 ) / 초점거리
)

예를 들어, 픽셀의 크기가 9미크론이인 CCD와 초점거리가 1000mm인 망원경을 이용하여 촬영한 이미지의 분해능은 1.8"/픽셀입니다.
그러나 이 값은 이론적인 분해능일 뿐입니다.
이유를 살펴보기 위해, 아주 작은 크기의 픽셀을 가진 CCD와, 아주 긴 초점거리를 망원경의 조합과 같은, 아주 극단적인 예를 살펴봅시다.
계산기를 이용하여 SBIG ST-10(역주: 픽셀 크기 6.8미크론, 너비 14.9mm, 높이 10mm)과 Celestron 14인치 F11(역주: 초점거리 3910mm)의 분해능을 계산해보면, 0.36"/픽셀의 값을 얻을 수 있습니다.
문제는 1~2"의 분해능이 나오는 시잉을 가진 관측지조차도 찾기 힘들다는 것입니다.
산꼭데기의 전문 관측소에서도 0.5"보다 더 좋은 분해능을 얻을 수는 없습니다.
일반적인 관측지에서는 3~4"정도가 보통입니다.
게다가 2~3"정도의 분해능을 주는 시잉이라 할지라도, 노출을 오래 주게 되면 4"정도로 번지게 됩니다.

0.36"/픽셀의 높은 분해능은 전혀 쓸모가 없을까요?
꼭 그렇지만은 않다는 것을 뒤에서 설명하긴 하겠지만, 대부분의 딥스카이 촬영에서 위와 같은 분해능은 확실히 오버입니다.

CCD 촬영 시스템의 해상도로는 2"/픽셀이 가장 적당하다고들 합니다.
아래 글에서는, 이 말이 어떻게 해서 나오게 되었는지와, 왜 이 말은 그리 정확하다고 할 수는 없는지, 그리고 왜 이 말이 완전히 무시되기도 하는지에 대해서 설명할 것입니다.

샘플링(Sampling)

나이퀴스트 이론은 디지털 샘플의 주파수가 아날로그 주파수의 두 배가 되어야 한다는 것입니다.
망원경 이미지의 경우 "주파수"란 촬영 시스템의 분해능을 말하고, 위에서 언급했던 것과 같이, 거의 대부분 시잉에 의해 주어집니다.
오랜 노출을 주어 4"의 평균 분해능을 얻고자 한다면, 나이퀴스트 이론을 만족시키기 위해 2"/픽셀의 샘플링이 필요하게 됩니다.

그러면 이 말이 꼭 정확한 것만은 아니다란 말은 무슨 뜻일까요?
이는 나이퀴스트가 이 정리를 만들었을 때, CCD를 염두에 두고 있지 않았기 때문입니다.
나이퀴스트 정리는 오디오 신호나 전자 신호와 같은 2차원의 신호를 다루는 정리입니다.
이 오디오 신호는 강도(intensity)축과 시간축의 두 축을 가지고, 일반적으로 사인 곡선처럼 보입니다.
게다가 아래 그림을 보면 알 수 있듯이, 자체적으로도 문제점을 가지고 있습니다.

그림설명: 신호를 주파수의 절반 간격으로 샘플링합니다.
오른쪽의 붉은 선은 샘플링한 디지털 신호를 다시 재구성한 것입니다.

그림설명: 샘플링한 위치가 신호의 최고점과 일치하지 않을 경우, 문제가 발생합니다.

망원경 이미지의 경우는 3차원이기 때문에 더욱 복잡해집니다.
이 이미지는 x축, y축, 빛의 강도(intensity)의 세 축을 가지고 있습니다.
더 밝은 별일수록 더 높은 강도를 가지게 됩니다.
게다가 망원경 이미지는 사인파와는 모양이 다릅니다.
어떤 물리 법칙에 의해서, 광학계에 의해 맺어지는 점광원(별)의 이미지는 가우시안 곡선의 형태를 가집니다.

참고: 점광원을 가우시안 곡선의 형태로 형상화하는 것을 샘플링의 한 형태로 볼 수도 있습니다.
망원경은 아날로그 신호(별빛)을 받아서, 근사적으로 재구성합니다.
그러나 이 글에서는 이 한 번 재구성된 이미지를, 다시 한 번 최대한 정확하게 디지털로 재구성하는 과정을 다룹니다.

나이퀴스트 정리가 CCD 이미지에는 맞지 않는 이유를 설명하기 위해, CCD에 찍힌 별의 이미지를 x-y 좌표계에 그려보면 다음과 같습니다.

그림설명: 만약 별이 픽셀 하나와 같은 크기라면(일반적인 관측지에서는 4"/픽셀), 별은 정사각형으로 재구성될 것입니다.
그러나 이는 원래 아날로그 신호를 그리 정확하게 재구성했다고 볼 수 없습니다.
만약 별이 픽셀의 한 쪽 끝으로 가게 되더라도, 별은 단지 더 크고 더 어두워지게 될 뿐(빛이 네 개의 픽셀에 나누어졌기 때문), 여전히 정사각형으로 재구성됩니다.

그림설명: 나이퀴스트 정리에 의해 광학계 분해능의 1/2에 해당하는 주파수(2"/픽셀)로 샘플링을 하는 경우에도, 별빛이 네 개의 픽셀 사이에 떨어지게 된다면 여전히 정사각형 모양으로 보이게 됩니다.
그러나 픽셀의 정중앙에 떨어지게 된다면, 조금이나마 둥근 모양에 가깝게 재구성되게 됩니다.
이러한 경우, 원래의 이미지에 좀 더 가까워지긴 했지만, 이는 CCD 픽셀의 중심에 정확하게 떨어진 별에 한할 뿐입니다.

잠시 오디오 신호의 경우로 되돌아가 봅시다.
만약 샘플링을 더 많이 한다면, 즉 원래 신호 주파수의 세 배로 샘플링하면 어떻게 될까요?
디지털 신호는 원래의 신호에 더욱 가깝게 재구성될 것입니다.

그림설명: 세 배의 주파수로 샘플링하면, 더 좋은 결과를 낼 수 있습니다.

이는 CCD와 망원경에도 적용됩니다.

그림설명: 샘플링을 분해능의 세 배(1.33"/픽셀)까지 증가시키면, 별의 이미지가 픽셀의 가운데에 있든(왼쪽) 픽셀의 교차점에 위치하든 상관없이, 둥글게 보이게 됩니다.
또한 각각의 픽셀은 다양한 강도값을 가질 수 있기 때문에, 원래의 별의 이미지를 더욱 정확하게 복원해낼 수 있습니다.

한 이미지에 사용된 픽셀의 수가 많을수록, 컴퓨터가 선처리를 하는 데 필요한 정보를 더 많이 얻을 수 있게 됩니다.
그러나 여기에도 한계가 있습니다.
분해능을 높이는 방법은 두 가지가 있는데, 그 첫번째는 더 작은 픽셀을 가진 CCD를 사용하는 것입니다.
그러나 이는 시판되는 CCD의 종류나, 동원 가능한 재정적 한계에 의해 제한됩니다.
게다가 이 조그만 픽셀로 광시야를 얻기 위해서는 아주 많은 수의 픽셀을 가진 CCD가 필요하게 됩니다.
이는 돈이 많이 들 뿐만 아니라, 컴퓨터로의 다운로드 시간도 오래걸리며, 이미지 처리도 어렵게 됩니다.

분해능을 높이기 위한 또 다른 방법은, 망원경의 초점거리를 늘리는 것입니다.
그러나 이렇게 하면 시야각이 좁아지고, F수가 커져서 필요한 노출 시간이 늘어나게 됩니다.
물론 장초점에 작은 F수를 가지는 망원경을 구하는 것도 가능은 하겠지만, 그러려면 구경이 매우 커야 하기 때문에, 크기도 커지고 무게도 무거워질 뿐만 아니라, 비용도 많이 들게 됩니다.

해결책

가장 좋은 해결책은, 그냥 나이퀴스트 정리를 잊어버리는 것일지도 모릅니다.
세세한 디테일을 살리기 위해서는 좋은 분해능이 필요하겠지만, 아름다운 사진에 반드시 필요한 조건은 아닙니다.
오히려 큰 대상을 촬영하기 위해서 큰 시야각이 필요할 수도 있습니다.
또한 F수가 작으면 노출시간도 줄어듭니다.
일반적으로 단초점 망원경에서는 작은 픽셀(13미크론 이하)의 CCD를, 장초점 망원경에서는 약간 더 큰 픽셀(16미크론 이상)의 CCD를 사용한다고 생각하시면 됩니다.

잡지나 웹에서 멋지다고 생각되는 이미지도, 그 중 극히 일부만이 2"/픽셀의 분해능을 가진다는 사실을 참고하십시오.
여기 STARIZONA 사이트에서도 이러한 분해능을 가지는 이미지는 몇 장 없습니다.

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이하 원문

Nyquist Theorem

Resolution and pixel size

Harold Nyquist is at the center of a raging CCD debate. Nyquist died, by the way, about the time CCD cameras were first being used by professional astronomers, and nearly two decades before they became popular with amateur astronomers. So how did poor Harry get involved in all this?

In the 1920s, while working at Bell Labs, Nyquist developed a theorem concerning the sampling of electrical signals. The theorem states simply that to accurately reproduce an analog signal, the digital sampling rate must be twice the frequency of the original signal. In plain English, if you have an audio signal, for example, which repeats 10,000 times per second, you can accurately reproduce that signal if you digitally sample it twice as often (20,000 times per second). This goes on all the time in your CD player.

Above: Samples of the signal (red dots) are taken at twice the frequency of the original signal.

Applied to CCD imaging, if we want to accurately reproduce an analog signal (the telescope image) we need to digitally sample (with the CCD camera) at twice the "frequency" of the signal. In other words, the resolution of the CCD should be twice the resolution of the telescope.

The following formula can be used to determine the resolution of a given CCD camera and telescope combination:

Resolution = (CCD Pixel Size / Telescope Focal Length ) * 206

If the pixel size is in microns, and the focal length in mm, then the resolution is given in arcseconds per pixel ("/pixel), the standard unit of measure.

Use the calculator below to see what resolutions certain common CCDs and telescopes have. Binning the pixels in a CCD alters the resolution as well.

CCD Calculator - see the original document

If, for example, you have a CCD with 9-micron pixels and a telescope with a 1000mm focal length, the resolution will be 1.8"/pixel. This is the theoretical resolution. Why? Take an extreme example such as a CCD with tiny pixels and a telescope with a very long focal length. Try the SBIG ST-10 camera on a Celestron 14" f/11 telescope in the calculator above. The resolution of this system is 0.36"/pixel. But from a typical observing site, the seeing conditions (steadiness of the atmosphere) might never be better than 1-2". Half an arcsecond is exceptional seeing from a professional mountaintop observatory. In fact, something more like 3-4" is typical from a backyard location. Over the course of a long exposure, even 2-3" seeing tend to smear out to around 4".

Is there any advantage to having a resolution as high as 0.36"/pixel? There are some exceptions, which we will see later, but for most deep-sky imaging 0.36"/pixel is definitely overkill.

It is often stated that 2"/pixel is an ideal CCD pixel resolution. Let"s see why that statement is made, why it might not be entirely accurate, and why it might not even matter at all!

Sampling

Nyquist"s theorem states that the frequency of the digital sample should be twice that of the analog frequency. What is the "frequency" in the case of a telescope image? It is the resolution of the telescope system, which, as we decided above, is almost always limited by the seeing conditions. If we take the average seeing to be 4" over a long exposure, we need a "sampling rate" of 2"/pixel to satisfy the Nyquist theorem.

So why is this oft-quoted theorem not necessarily correct? Part of the problem lies in the fact that Harry did not have CCDs in mind when he developed his idea. The Nyquist theorem deals with 2-dimensional signals such as audio and electrical signals. The graph of an audio signal has two axes, intensity and time, and looks generally like a sine wave. Even this has its drawbacks, as the diagrams below demonstrate.

Above: A wave signal is sampled at certain points, spaced apart one half the frequency of the original signal. The red line in the right image shows how the signal might be reproduced.

Above: The problem becomes clearer when the sampling points do not coincide with the peaks of the original signal.

A telescope image adds one more complexity: it is 3-dimensional. The plot of a star image has three axes, the x-axis (which can be though of as right ascension, if you like), the y-axis (declination), and intensity. Brighter stars have higher intensities. Also, a telescope image is not quite like a sine wave. Due to some unfortunate laws of physics, an optical system forms an image of a point source (a star) as a Gaussian curve:

Note: You may have noticed that this is itself a form of sampling. The telescope optics have taken an analog signal (the star) and formed an approximate, but not exact, reproduction of it. Now the CCD must produce an accurate digital reproduction of the telescope image.

Take a look at the x-y plot of a star image on a CCD to see why Nyquist"s recommendation might not hold true for CCD imaging.

Above: If a star is the same size as a pixel (say, 4"/pixel from a typical site), the star can be reproduced as a square. This is not a very accurate reproduction of the original analog signal. If the star falls on the corner of a group of pixels, the star is still square, just larger and dimmer (since the light is now split among 4 pixels).

Above: At the Nyquist sampling rate of 1/2 the resolution of the system (2"/pixel), the star is still a square if it falls on just four pixels. If the star is centered on a pixel, it is reproduced as a (somewhat) round image. This is a better approximation to the original image, but only for those stars that fall in just the right spot on the CCD.

Go back for a moment to our audio signal. What if we sampled it more often, say at three times the original frequency? A more accurate digital reproduction can be produced.

Above: Sampling at three times the frequency produces better results.

The same holds true for the CCD/telescope system.

Above: By increasing the sampling to 3 times the resolution of the system (1.33"/pixel), the star is now circular in both situations where the star image is centered on a pixel (left) and centered on an intersection of pixels (right). Also, the individual pixels can take on various intensity values to more accurately reproduce the original star image.

More pixels also gives the computer more information to work with for post-processing. The drawbacks? There are two ways to increase resolution. The first is to use a CCD chip with smaller pixels. The problem here is that you are limited by what cameras are available and by financial considerations. Also, to get a wide field of view with small pixels you need a CCD with a large number of pixels. This means more money and more data for the computer to deal with, making for longer download times and more processor-intensive image manipulation.

The other option for increasing resolution is to increase the focal length of the telescope. This means making the field of view narrower and, usually, the focal ratio slower leading to increased exposure times. A fast telescope with a long focal length is possible to obtain, but it will require a very large aperture, meaning more size, weight, and cost.

The Solution?

Maybe the best solution is just to forget the Nyquist Theorem. You want good resolution for fine details, but this is not the most important factor in getting pretty pictures. More likely, you need enough field of view to fit large objects in the image. Also, a fast system is desirable for relatively short exposures. For a basic rule of thumb, figure you want small pixels (13-microns or less) for short-focal-length telescopes, and larger pixels (16-microns and up) for very long-focal-length scopes.

Consider that very few of the impressive images in magazines and on the web, and not a single image in the Starizona CCD Learning Center site was taken with a system producing a 2"/pixel resolution!