곰페르츠 법칙 '성인 이후 사망력이 나이와 함께 지수적으로 증가한다' 90~100세에서 ...

[문형철]

Gompertz law revisited: Forecasting mortality with a multi-factor exponential model
Li H, Tan KS, Tuljapurkar S, Zhu W. Insurance: Mathematics and Economics 2021;99:268–281.

보험·인구학용 사망률 예측 모형 논문입니다. 암을 다루는 글은 아닙니다. 다만 “나이가 들수록 사망이 어떻게 늘고, 초고령에서 꺾이는가”를 수학으로 다룹니다.

Gompertz 법칙이 뭔가

1825년 Gompertz: 성인 이후 사망력(hazard)이 나이와 함께 거의 지수적으로 증가한다.
대략 “해마다 사망 위험이 일정한 비율로 커진다”입니다.

생명표·연금 계산의 기본입니다.

문제는 두 가지입니다.

• 실제 곡선은 직선(로그 스케일)이 아니라 휘어진다
• 초고령(대략 100세 전후)에서 사망 증가가 둔해지거나 고원(plateau) 처럼 보일 수 있다

순수 Gompertz는 이 부분을 잘 못 잡습니다.

이 논문이 한 일

Gompertz를 다인자 지수모형(multi-factor exponential model) 으로 확장했습니다.
Laguerre 함수로 나이별 형태를 유연하게 맞추고, 추정·예측 알고리즘을 단순하게 만들었습니다.

고령 사망 통계가 비교적 믿을 만한 여러 국가·지역 통합 자료로 검증했습니다.

결과

• 과거 자료 적합이 기존 Gompertz 계열보다 좋음
• 표본 밖 예측도 더 나음
• 나이대별 사망 개선을 더 고르게 예측함
  → 기존 Gompertz 모형보다 고령자의 남은 기대여명을 더 길게 잡음
• 여러 인구를 한 모형에 넣는 확장도 가능하다고 예시

한 줄

“나이가 들수록 사망이 지수적으로 는다”는 Gompertz를 유지하되,

곡선이 휘고 초고령에서 평평해지는 부분을 다인자 지수식으로 잡아

고령 기대여명을 덜 짧 게 예측하는 계리 모형입니다

주장

나이를 먹으면 사망 위험이 거의 지수적으로 늘어나는 Gompertz 패턴은, 특정 유전자나 노화 경로 하나가 만들어서가 아닙니다.
복잡한 생물이 서로 의존하는 많은 부분(장기·계통·기능 블록) 으로 이뤄져 있기 때문에 집단 수준에서 저절로 나옵니다.

역학의 충분원인–구성원인 모형(Sufficient-Component Cause) 과 같습니다.
한 부품이 망가져도 안 죽고, 특정 조합이 동시에 망가지면 죽습니다. 어떤 조합은 특정 병이 됩니다.

모형 핵심 (MICC)

가정을 다섯 개만 둡니다. 분자 경로는 넣지 않습니다.

• 몸은 많은 하위 시스템으로 구성
• 시스템들은 서로 의존
• 각 시스템은 시간에 따라 고장이 쌓임
• 고장 조합이 임계를 넘으면 사망
• 시스템 수가 충분히 많음

이러면 개체군 사망 곡선이 Gompertz가 됩니다.
사람 사망에 맞추면 시스템 수 NNN이 대략 10^6 규모로 나옵니다. 나이 범위 100년 정도를 지수 구간으로 덮으려면 그 정도 복잡도가 필요하다는 뜻입니다.

네트워크를 세밀히 그리지 않아도, “부품이 많고 서로 묶여 있다”만으로 충분하다고 합니다.
그래서 여러 생물종뿐 아니라 복잡한 컴퓨터 코드의 고장 패턴에도 Gompertz가 나타난다는 관찰과 맞습니다.

의미

노화를 “암 유전자 하나, 미토콘드리아 하나”로만 보면 사망 곡선이 왜 그 모양인지 설명이 안 됩니다.
다기관이 서로 붙잡아 주는 시스템으로 봐야, 중년 이후 사망이 가파르게 느는 이유가 나옵니다.

한계는 메커니즘 논문이 아니라 현상 창발 모형이라는 점입니다. 어느 장기가 먼저 망가지는지는 말해주지 않습니다.

한 줄

Gompertz 법칙은 특별한 노화 시계가 아니라,

서로 의존하는 수많은 부품이 하나씩 고장 나다가 조합이 치명타가 되는 과정에서

집단 사망률이 지수로 보이는 현상입니다.

A) 사망률 (나이 0–200세)

세로축: 그 나이에 살아 있는 사람이 1년 안에 죽을 위험.

• 파란 직선처럼 치솟는 선: 순수 Gompertz. 나이가 들수록 위험이 지수로만 커져서 120세 이후 무한대로 갑니다. 현실적이지 않습니다.
• 검은 실선·점선: 모형. 중년 이후 급히 오르다가 초고령에서 평평해집니다(plateau).
  부품이 거의 다 고장난 뒤에는 위험이 더 안 늘고 고원에 앉습니다.
• 빨간 네모: 사람이 실제로 사는 구간(대략 120세까지).

핵심: 우리가 보는 “나이가 들수록 사망이 가파르다”는 고원 앞부분입니다.

B) 그 네모를 확대

• 왼쪽(선형): 0–80세는 거의 바닥, 80세 이후 급상승.
• 오른쪽(로그): 로그로 그리면 중년–노년이 거의 직선 = 이게 Gompertz입니다.
  100세 넘으면 직선에서 살짝 꺾입니다. Li 2021 논문이 말하던 “휘어짐·고원”과 같습니다.

C) 생존 확률 S(t)

태어나서 그 나이까지 살아 있을 확률.
거의 60대까지 높다가 80–90대에 급히 떨어집니다. 빨간 선(자료)과 검은 선(모형)이 겹칩니다.

D) 수명 분포

언제 많이 죽나. 히스토그램 + 빨간 곡선.
정점은 80대 후반–90대 초. 아주 어린 사망은 왼쪽 끝에 조금.
전형적인 현대 인간 사망 분포입니다.