기본수 방진(라틴 마방진)

[김동석]

기본수 방진(라틴 마방진)

서양사람들이 라틴 마방진이라 한 것을 기본수 방진으로 부르겠습니다. n²형의 사각 틀 속에서 1~n²까지 전부 사용하지 않고 1~n까지 만의 기본수로 가로, 세로, 대각선 방향으로 같은 수 중복 없이 보조 방진을 만드는 방법을 말하지요. 홀수방진은 항상 2방향으로 순열이 같을 수밖에 없지요. 그리고 3배수 홀수방진은 한 축이 반복된 형태로 나타납니다. 짝수방진은 계속 확장가능 한지 한번 찾아보시지요.

2	1	3
3	2	1
1	3	2

2	4	1	3	5
3	5	2	4	1
4	1	3	5	2
5	2	4	1	3
1	3	5	2	4

2	4	6	1	3	5	7
3	5	7	2	4	6	1
4	6	1	3	5	7	2
5	7	2	4	6	1	3
6	1	3	5	7	2	4
7	2	4	6	1	3	5
1	3	5	7	2	4	6

2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	5	7	9	2	4	6	8	1
4	6	8	1	3	5	7	9	2
5	7	9	2	4	6	8	1	3
6	8	1	3	5	7	9	2	4
7	9	2	4	6	8	1	3	5
8	1	3	5	7	9	2	4	6
9	2	4	6	8	1	3	5	7
1	3	5	7	9	2	4	6	8

1	2	3	4
3	4	1	2
4	3	2	1
2	1	4	3

1	2	3	4	5	6
6	5	4	3	2	1
2	4	6	1	3	5
3	1	5	2	6	4
5	3	1	6	4	2
4	6	2	5	1	3

1	2	3	4	5	6	7	8
8	7	6	5	4	3	2	1
4	3	2	1	8	7	6	5
5	6	7	8	1	2	3	4
7	4	5	3	6	8	1	2
2	1	4	7	3	5	8	6
3	5	8	6	2	1	4	7
6	8	1	2	7	4	5	3

2. 방진에서의 응용
방진 만들기를 하면서 3차~5차에서 약간 비추었지만 범 방진 중에서 기본 수로 나누어 보기도 하고 조합해 보기도 하는 방식을 알아 보겠습니다.보조방진1=N(차 수)로 나누어 떨어진 나머지 수, 나머지가 0이면 N(차 수)를 적어 넣는다. 보조방진2=N(차 수)으로 몇 번 나눌 수 있는 가능 수(나머지가 0 이면-1를 하여준다) .  범 방진 ⇒(보조방진1) + (보조방진2) X N  ,    N = (차 수) [보조방진1=1~N(차 수)까지 사용, 보조방진2=0~(N-1)까지 N번을 사용하여 전체적으로 합이 같아야 됨. 특히 범 방진은 양 대각선 방향의 합이 전체가 같도록 만드는 것이 필수임. ]

8차 범 방진[260]

보조방진1[36]

보조방진2[28]

1	2	60	59	7	8	62	61
15	40	32	49	9	34	26	55
18	42	45	21	24	48	43	19
54	27	35	12	52	29	37	14
64	63	5	6	58	57	3	4
50	25	33	16	56	31	39	10
47	23	20	44	41	17	22	46
11	38	30	53	13	36	28	51

1	2	4	3	7	8	6	5
7	8	8	1	1	2	2	7
2	2	5	5	8	8	3	3
6	3	3	4	4	5	5	6
8	7	5	6	2	1	3	4
2	1	1	8	8	7	7	2
7	7	4	4	1	1	6	6
3	6	6	5	5	4	4	3

0	0	7	7	0	0	7	7
1	4	3	6	1	4	3	6
2	5	5	2	2	5	5	2
6	3	4	1	6	3	4	1
7	7	0	0	7	7	0	0
6	3	4	1	6	3	4	1
5	2	2	5	5	2	2	5
1	4	3	6	1	4	3	6

위 방식으로 나누어 보면 방진의 속성을 알아볼 수가 있지요. 범 방진은 가로,세로,대각선의 합이 좌우 상하로 겹쳤을 때도 같아야 되므로 홀수(3배수 제외)방진은 쉽게 만들지만 3배수나 4배수 방진은 조절을 해주어야 합니다.아직 6(홀수x2)차의 경우 범 방진이 나오지 않은 것은 중복된 수가 나오기 때문인데, 누군가 여기에 확신을 줄 분이 없을까요?

9차 범 방진[369]

보조방진1[45]

보조방진2[36]

81	70	62	51	40	32	21	10	2
48	37	29	27	16	8	78	67	59
24	13	5	75	64	56	54	43	35
71	63	79	41	33	49	11	3	19
38	30	46	17	9	25	68	60	76
14	6	22	65	57	73	44	36	52
61	80	72	31	50	42	1	20	12
28	47	39	7	26	18	58	77	69
4	23	15	55	74	66	34	53	45

9	7	8	6	4	5	3	1	2
3	1	2	9	7	8	6	4	5
6	4	5	3	1	2	9	7	8
8	9	7	5	6	4	2	3	1
2	3	1	8	9	7	5	6	4
5	6	4	2	3	1	8	9	7
7	8	9	4	5	6	1	2	3
1	2	3	7	8	9	4	5	6
4	5	6	1	2	3	7	8	9

8	7	6	5	4	3	2	1	0
5	4	3	2	1	0	8	7	6
2	1	0	8	7	6	5	4	3
7	6	8	4	3	5	1	0	2
4	3	5	1	0	2	7	6	8
1	0	2	7	6	8	4	3	5
6	8	7	3	5	4	0	2	1
3	5	4	0	2	1	6	8	7
0	2	1	6	8	7	3	5	4

나는 위 방진을 보고서 한동안  멍해 있었다. 왜냐하면 한번 시도해 보았지만 잘 만들어지지 않기에 만들어지지 않는다고 성급하게 판단하고 홈에서까지 떠벌리고 말았는데  자료 수집 차 방문한 사이트에서 위 방진이 풀렸다는 사실에 쥐구멍이라도 들어갔으면 했었다, 어찌 되였든  성공을 축하 하면서도 마음이 아픈 것은 숨길 수가 없다.