두 번째 교실 밖 수학교실 강의
1. 최근의 특목고 입시나, 대입(특히 이과 학생에게는 수리와 과학논술이 20~70%까지 반영하여 사실상 당락 좌우합니다) 은 논술과 심층면접이 중요성이 갈수록 강조되고 있습니다. 최근의 수리논술의 경우 복잡한 풀이과정을 요구하는 ‘계산형’ 문제가 사라지고 추론과정을 서술하는 문제가 많아지고 있습니다. 특히 올해 수시 2학기부터 논술출제 방침이 바뀌었습니다. 논술고사의 제시문으로 영어지문을 활용할 수가 없으며 수리논술도 수학적인 풀이과정이나 정답을 요구하는 문제를 출제할 수 없도록 한 것입니다. 수험생들은 바뀐 논술출제경향을 잘 숙지해둬야 합니다. 과거와 같은 문제 풀이형 본고사 형태에서 벗어나 새로운 문제 유형을 통한 다양한 선발 양식을 시도하려는 대학들의 노력과 움직임을 예상해 볼 수 있습니다.
수리논술 반영대학은 고려대가 대표적이며, 서울대 이과게열, 대부분의 의대, 이화여대, 중앙대, 한국외대등 입니다. (해마다 약간의 변동이 있으므로 해당 대학 홈페이지를 확인하는것이 꼭 필요합니다) 이들 대학은 다른 전형요소에 비해 논술의 실질 반영율이 높아 당락에 결정적입니다. 이들 상위권 대학에 지원하는 수험생들의 내신성적은 차이가 거의 없기 때문에 논술·심층면접이 사실상 당락을 결정짓는 핵심 요소가 됩니다.
현재 고1이하 학생들에게 논술은 대입에서 더욱 중요합니다. 고1학생이 입시를 치르는 2008학년 입시부터 내신과 수능이 9등급제로 바뀌기 때문입니다. 수능은 변별력이 떨어지고 내신은 학교간 학력차로 대학에서 크게 반영하지 않을 가능성이 많습니다. 결국 대학들은 우수학생들을 선발하기 위해 논술시험과 구술면접을 강화할 것으로 보입니다. 2008학년 입시에는 정시논술도 지금의 수시논술과 같은 통합교과형 논술이 출제될 전망입니다. 고1 학생들은 다양한 분야의 책들을 접하고 이에 대한 자신의 생각을 논리적으로 서술할 수 있도록 꾸준히 준비해야 할 것입니다. 정시의 경우 각 대학의 모집단위별로 수험생들의 학생부와 수능 성적이 거의 차이가 없으므로 논술고사의 성적이 상당히 중요합니다.
수리 과학논술 출제 경향과 대비법
1.수리논술이란?
수학적, 논리적으로 주어진 자료를 분석하여 주어진 문제를 해결할 수 있는 방법을 자신의 생각으로 써내는 논술시험입니다. 즉 과거의 본고사처럼 난이도 높은 수학문제를 주관식으로 출제하는 것이 수리 논술은 아닙니다.
1) 생활 속의 수학 과학을 찾아라
자연계 논술에서 두드러진 경향은 생활 속에서 문제의 소재를 찾는다는 점입니다. 특히 생활과 관련된 수학, 과학 문제를 내는 경향은 앞으로 더욱 늘어날 것으로 예상됩니다. 이에 대비하려면 교과서를 생활과 연결짓는 것은 물론 과학책이나 잡지를 꾸준히 읽는 것이 좋은 방법입니다. 이기태 경희대 입학처장은 “이공계로 진학하기 위해 논술을 공부하려는 학생에게 과학 잡지를 읽으라고 권유합니다. 몇 가지 논술 예를 들어 보겠습니다.
06년 문제
고려대 - 자연현상이나 일상생활에서 삼각함수와 지수함수가 사용되는 예를 찾고 어떻게 사용되는지 설명하라.
복소수는 왜 필요한지 설명하고, 복소수의 성질 중에서 실수의 성질과 구별 되는 것 세 가지를 찾아서 예를 들어 설명하라.
한양대 예시문제 - 흔희 ‘머피의 법칙’이라고 불리는 이야기 중에서 통계적 근거가 있는 경우와 그렇지 않은 경우의 예를 들어보아라.”
이화여대 - 삼각비를 이용해 남산타워의 높이를 계산하는 방법
동국대- 매미의 수명 주기가 소수가 아니면 소수인 경우보다 천적을 만날 가능성이 늘어 나는 이유를, 번식 주기가 2년인 천적과의 관계를 예로 들어 7줄(한 줄 당 글자수 의 제한은 없음) 이내로 설명하시오
2. 자연에 대한 철학적 기초에 대한 질문을 논술 형식으로 출제할 수 있다.
사회탐구 과목에서는 다양한 입장이 있을 수 있기 때문에 자신의 주장을 제시하고 그것을 논증을 통해 정당화하는 논술형 평가가 가능합니다. 그러나 수학이나 자연과학은 하나의 정답이 존재하므로 기껏해야 그 풀이 과정을 설명하는 데 그치고 만다고 생각하면 수학이나 과학 관련 논술고사를 효과적으로 대비할 수 없습니다. 가장 쉽게 생각해 볼 수 있는 것으로 자연에 대한 철학적 기초에 대한 질문을 논술 형식으로 출제할 수 있습니다. ‘자연은 지배의 대상인가’ ‘자연은 수학적 계량화에 의해 파악될 수 있는가’ 등 과학 철학이나 과학사에서 많이 다루는 쟁점들이 여기에 포함됩니다. 수학 문제를 푸는 과정도 결국 논증 과정이 포함돼 있으므로 논술 범주에 넣을 수 있습니다. 단, 수학의 논증 과정은 수(數)를 기본 개념으로 한다는 점에서 차이가 있을 뿐입니다.
2) 시사와 관련된 문제는 논술의 단골 메뉴입니다.
주의할 것은 시기가 약간 늦은 뉴스가 곧잘 문제로 출제된다는 점입니다. 예를 들어 지난해 화제가 됐던 뉴스가 올해 논술 문제로 나오곤 합니다. 중앙대 문제인 ‘매미 애벌레와 천적의 일생에 나타난 수학적 규칙성을 분석하라’는 지난해 17년 만에 매미가 미국 전역을 뒤덮어 화제가 됐는데 올해 문제로 출제됐습니다. 실제로 두 연예인의 인기도 조사표를 이용하여 앞으로의 전망을 예측하는 문제, 교통사고 자료를 보고 논술하는 문제가 출제되었습니다.
3) 논술이 본고사형에서 탈피한 대신 통합 교과형으로 발전하고 있습니다.
중앙대의 ‘매미’ 문제가 대표적인 예입니다. ‘알→애벌레→번데기→성충’으로 이어지는 매미의 생활사를 17이라는 소수와 연관짓고 다시 생물의 천적관계와 관련해 설명해야 합니다.
풀이형 수리논술이 사라지면 다른 교과와 연결하는 경향이 더욱 강해질 것을 예측할 수 있으며 과학과 수학을 연관시킨 문제가 예상됩니다. 교과서를 넘어선 문제도 늘어나는 추세입니다.
4) 본고사형’ 문제는 잊어라
2005년도 입시에서 일부 대학의 자연계 논술, 특히 수리논술이 본고사 논란을 일으켰습니다. 교육부의 요구대로 자연계 논술이 본고사형에서 벗어난다면 어려운 문제를 풀기보다 원리나 개념을 이해하는지를 묻는 문제가 될 것입니다. 고려대 1학기 수리논술에 나온 ‘복소수가 왜 필요한지 설명하라’같은 문제가 좋은 예입니다. 복잡한 함수를 미적분하는 문제보다 미적분이 왜 등장했는지 묻는 문제가 나올 가능성이 높습니다. 지금까지 나온 어려운 문제는 다 잊어버리고 충분히 이해하지 못한 원리와 개념을 다져야 한다고 말하는 전문가도 많습니다.
5) 문제 유형도 요약형, 지문 비교·분석형, 설명형 등으로 다양해질 것으로 전망됩니다.
영어 제시문을 낼 수 없기 때문에 우리말 제시문이 더욱 어려워지거나, 도표, 통계자료, 그림, 시, 문학 작품 등 다양한 자료가 동시에 등장하는 문제도 많이 출제될 것으로 예상됩니다. 수리논술에서 주의할 점은 문제를 풀 때 답뿐만 아니라 풀이과정도 함께 적어야 하므로, 답을 구하는 과정을 채점하는 교수가 알아볼 수 있을 정도로 적어야 한다는 것입니다. 특히, 수능시험에 적응된 학생들은 답을 맞히는 훈련은 많이 되어 있으나, 풀이과정을 적는 데에는 미숙하므로 답을 유도하는 풀이과정을 작성하는 훈련이 필요합니다. 기본적인 훈련방법은 문제를 풀고 답만 맞혀 보는 것이 아니라, 참고서에 나온 풀이과정과 자신이 푼 풀이과정을 비교하여 표현이 부족한 부분에 대해서는 다시 풀어보는 것이 좋습니다.
문제의 유형의 예는 '시간적 추이에 따른 데이터 분석' '증가율 분석' '그래프해석' '가설을 뒷받침하기 위한 조건의 선택' '임의의 도형의 길이, 넓이, 부피를 구하는 방법제시' '실험의 결과 데이터 분석' '수학적 일반화' '통계자료의 해석과 그 모순의 지적' '미래예측' '최적화문제' '확률을 이용한 자료해석 및 방향설정'.
6) 문과, 이과 모든 대학의 논술문제와 심층면접 기출문제, 예시문제 들을 철저하게 다시 검토하고 현재 사회적, 과학적 이슈로 논의되는 문제들에 대한 자료를 통해 많은 수리논술형 문제를 자신의 입장에서 정리해 보아야 합니다. 또한 좋은 예시 답안을 만들기 위해 같은 문제를 반복해서 풀어보고 스스로 문제를 변형하여 답안을 만들어 봐야 합니다. 답안을 본인이 검토해보고 글을 쓴 다음에는 다른 사람이나 친구들의 조언을 받는 것을 추천합니다.
7) 과거와 현재의 상황분석은 반드시 주어진 자료만을 이용해야 하며 자신의 상식이나 지식을 부언하면 무조건 감점 당하는 것에 주의해야 합니다. 그러나 미래예측, 방향제시, 추정 등의 문제에 대한 답안은 자신의 의견이 들어가야 합니다. 점수를 잘 받으려고 이것저것 쓰는 것은 위험합니다. 답안지의 공간을 잘 살펴 지시하는 대로 답안을 요약해야 합니다. 그러나 너무 간단히 적어 꼭 필요한 내용이 안 들어가도 감점입니다. 너무 과하지 않게 그러나 꼭 필요한 내용은 반드시 언급해야 합니다.
이상을 정리해 보면 수리 논술은 먼저 수학의 원리와 개념을 파악, 이해하고 그 다음에 그 원리, 개념들이 실생활에 어떻게 적용되는 예를 찾아야 합니다. 대학에서 수학, 과학이 실생활에 적용되는 예를 강조하는 것은 원리와 개념을 정확히 이해하고 있느냐를 보는 것입니다.
** 홍성복 고려대 수리논술출제위원장의 올바른 수리논술 작성 4계명
수리논술은 인문계 논술이나 심지어 다른 과학논술과도 답안 작성법이 다릅니다. 많은 자연계 학생이 실수를 하거나 어이없는 감점을 당하기도 한다.
1.풀이는 단계적으로
수학은 논리다. 어떻게 답을 쓸지 파악한 다음 단계적으로 풀이를 써야 한다. 많은 학생이 답안을 뒤죽박죽으로 쓴다. 수식의 앞뒤를 섞으면 논리 전개가 잘되지 않는다.
2.질문을 빼먹지 말자
질문을 잘 읽자. 2개 이상의 질문을 한꺼번에 할 때가 있다. 생각보다 많은 학생이 질문 일부를 빼먹는다. 다른 질문에 대한 답이 옳아도 감점을 당한다. 문제를 푼 다음에 모든 질문에 답을 썼는지 살펴본다.
3. 학원 공식’ 쓰지 마라
단순한 계산에 이상한 공식을 쓰는 학생들이 있다. 대부분의 학원에서 배운 공식인데 쓸데없는 공식이다. 답을 맞히고도 감점을 당할 수 있다. 교과서 공식이면 충분하다.
4.도표와 그림 속 숫자를 틀리지 말자
수리논술인 만큼 도표나 그림이 들어간다. 간혹 도표나 그림 속 숫자가 본문 숫자와 다를 때가 있다. 풀이의 전개 과정과 도표 등을 비교해 올바른 숫자를 넣어야 한다.
수학 관련 심층 면접
최근 수학 심층면접 문제는 자연계열의 경우 학과별로 전공 소양을 측정하는데, 면접관 앞에서 수학의 기본 개념 및 그것을 응용한 문제 풀이나 자연과학적 현상 및 개념을 직접 칠판 등에 써 가면서 설명하는 형식이 대부분입니다. 간단한 수학 문제 풀이부터 정의와 용어에 대한 설명, 증명문제, 응용문제까지 다양하게 출제되고 있습니다. 정확한 답도 중요하지만 배경지식을 종합해 자신이 알고 있는 내용을 충실하게 말로 설명하고 전개하는 능력을 평가하는 것입니다. 모든 대학에서 수학은 결과보다 풀이 과정을 중요시하므로 수학 교과의 핵심 개념과 원리를 확실하게 알아야 합니다. 행렬·미분·함수 등은 단골 출제 문제입니다.
특히 과학 관련 심층면접은 수학 등과 통합교과적 문제가 출제되는 경우도 있습니다.
논술, 심층면접 대비 방안
수리 논술은 수학 문제다’라는 생각으로 준비하면 실패할 가능성이 큽니다. 수리 논술은 단지 수학 공식을 외워서 문제를 푸는 학생들보다는, 원리와 개념을 이해한 후 논리적인
사고를 할 수 있는 학생들에게 유리하기 때문입니다. 주어진 과제에 대해 자신의 주장을 펼치려면 반드시 가정과 그에 따른 근거가 있어야 하며, 그것을 바탕으로 추론해 자신만의 결론을 낼 수 있다면 고득점을 얻을 수 있습니다.
1) 지원 예정 대학의 논술, 혹은 심층면접 기출문제를 통해 출제 경향부터 명확하게 파악해야 합니다. 또 교과서 이외의 수학 관련 서적에서 기출문제나 모의고사 문제들을 자주 접하여 문제에 대한 친근감을 기르는 게 중요합니다.
2) 기본적으로 수학 교과서의 핵심사항은 완전히 알아두도록 해야 합니다. 개념과 원리에 대한 기초를 확실하게 공부해야 합니다. 기본적인 공식의 활용으로 답변이 가능한 문제라도 추가 질문 등을 통해 결국은 공식의 도출 원리를 묻게 됩니다. 단순한 암기를 넘어서 개념이나 원리의 적용까지 가능하도록 준비해야 합니다.
4) 주변의 생활 속에서 수학이나 과학적 원리를 찾는 습관을 기르는 것이 좋습니다. 예를 들면 복권, 경마, 영화의 특수효과 등에 적용된 수학적 원리를 파악해 보는 것입니다.
5) 수능 대비와는 달리 글로 표현하고 말로 설명하는 연습이 필요합니다. 객관식 시험은 우연히 답이 나와도 점수를 받을 수 있지만 논술이나 심층면접은 문제에 대한 해법이나 사고의 과정을 논리적이고 타당하게 나타낼 수 있어야 합니다.
특히 심층면접의 경우 교과의 내용을 직접 설명해 보고 문제풀이 과정을 다른 사람 앞에서 논리적으로 설명하는 연습이 반드시 필요합니다.
6) 주어진 지문의 내용을 빨리 파악해 교과 내용과의 연관성을 찾아야 합니다. 교과 외 과정이 출제되더라도 힌트가 지문에 포함돼 있기 때문에 당황하지 말고 지문을 꼼꼼히 살펴야 합니다. 내용을 파악한 후 고려할 점이 무엇인지 정리합니다. 단순히 결론에 도달하기 위한 과정으로 주어지는 부분이 있고 실제로 이용해야 할 부분이 있는데, 실제로 이용해야 할 부분을 정확히 파악해야 합니다.
7) 중앙대 학업 적성 논술 대비 방법
학업 적성 논술은 언어, 영어, 수리가 혼합돼 출제되므로 단순한 지식의 암기보다는 개념과 원리,
풀이 과정 등을 폭넓게 이해하는 학습 태도가 필요합니다.
과학고 외고 대비법
과학고 진학을 목표로 하면 고2 수준, 적어도 10-가, 나까지는 시험 전에 끝마치고 중·고교의 공통된 단원은 철저하게 익혀 둬야 한다. 서울지역 외국어고는 사고력 문제, 경기지역 외국어고는 기본 개념을 묻는 데 역점을 둔다. 기타 지역의 외국어고에서는 비중이 크지 않다. 한 유형의 문제를 반복하기보다는 다양한 종류의 문제를 많이 풀어보는 것이 중요하다. 홈페이지 등에 올라온 기출문제는 최소한 3년 전 것까지 짚어야 출제 방향을 짐작하는 데 도움을 받을 수 있다. 매년 출제 메뉴로 등장하는 도형(원과 삼각형), 약수와 배수, 경우의 수, 함수와 관련한 문제에 주의를 기울이고 고3 수준의 어려운 문제에도 대비해야 한다.
특히 실생활에 관련된 수학적 원리에 관심을 많이 가져야 합니다.
다음은 유니드림 대학입시연구소 소장 이종서(상담실장)의 글을 참고해서, 전공 적성 평가와 지필․논술고사의 대비 요령을 살펴보고 이러한 전형 방식을 택하고 있는 각 대학의 전략을 정리해 보았습니다.
논술 비중도가 높은 대학-
- 고려대학교, 성균관대학교 교과 우수자 전형, 경희대학교, 동국대학교, 가톨릭대학교, 서강대학교, 한국외국어 대학교
전공적성 평가 비중도가 높은 대학
- 한양대학교, 인하대학교, 경희대학교, 아주대학교
학업적성 평가 비중도가 높은 대학
- 중앙대학교
1) 논술 고사 중심 대학
① 최근의 논술 경향
고려대의 경우, 언어 논술과 수리 논술이 차지하는 비중이 70%를 차지할 할 만큼 절대적이다. 성균관대, 경희대, 서강대의 공통점은 1단계 전형이 생활기록부를 중심으로하는 단계별 전형이 아닌 일괄 전형이거나 1단계에서 논술 시험을 치루기 때문에 내신 성적이 불리한 학생들도 논술 능력만 뛰어나다면 내신의 불리함을 충분히 극복하고 합격권에 다가설 수 있다.
② 준비 방법
논술을 짧은 시간안에 준비하기는 매우 힘들다. 특히 수능 공부를 하는 고등학교 3학년 학생이 논술에 집중력을 갖는 매우 힘들다. 따라서 논술의 대비법은 일반적인 대비 방법과는 다를 수밖에 없다.
2) 전공적성평가 중심 대학
일선에 있는 선생님들은 전공적성 평가 시험을 치루는 대학의 합격자들은 일반적으로 불성실하지만 머리가 좋은 학생들이 많이 합격한다는 이야기를 종종 한다. 그만큼 전공적성평가는 많은 문제를 짧은 시간안에 풀어야 하기 때문에 순발력과 두뇌 능력이 필요함을 강조한말이라고 할 수 있다. 그런 의미에서 학생들은 전공적성 평가를 지능검사(I.Q Test)라고 말하기도 한다.
하지만 전공적성평가를 단순한 지능 검사로 이해하는 태도는 바람직하지 않다. 전공적성검사는 단순한 지능검사라기보다는 추리력, 논리력, 공간지각력 등을 측정하는 시험이다. 그런 의미에서 그 동안 우리가 많아 보아 왔던 지능 검사의 영역과 일맥 상통하는 면이 있는 것은 사실이다. 그렇지만 이러한 영역을 다룬다고 지능 검사와 일치한다고 볼 수는 없다. 왜냐하면 이 시험이 요구하는 방향은 얼마나 짧은 시간안에 객관적인 답안을 찾아낼 수 있느냐를 판단한다는 측면에서 충분한 준비에 따라서는 짧은 시간안에 더 많은 문제를 풀 수 있는 문제들로 구성되어 있기 때문이다. 특히 최근에 발표된 경희대 적성평가 예시 문항을 살펴보면 한양대와는 또 다른 문제 유형으로 접근하고 있으며 시험 시간도 한양대나 인하대 적성 평가보다는 긴 시간을 줄 것으로 보이고 있다. 따라서 인적성평가는 대비가 불가능한 것이 아니라 각 대학들이 전공적성 평가 문항들을 정확히 공개되지 않음으로써 대비할 수 있는 방안을 일선 학교에서 원천 봉쇄해 버리고 있다는 것이 더욱 큰 문제라고 볼 수 있다.
3) 학업적성논술(평가)
학업적성논술은 중앙대학교에서 실시하는 평가 형태이다. 이 평가 방식은 한양대나 인하대, 올해의 경희대, 아주대와 또 다른 시험의 형식을 띠고 있다.
중앙대 수리 학업적성논술은 주관식 서술형 수학 문제로 인문, 자연계열에 따라 문제가 출제된다. 특히 자연계 학생들이 염두에 두어야 할 필요가 있는 것은 중앙대 적성 평가 논술에서 수리 영역의 변별력이 가장 높다는 사실이다. 이 시험 과정에서는 풀이과정과 증명을 요구하고 있기 때문에 얼마나 체계적으로 수리 능력과 논리적 사고 체계를 지니고 있느냐를 서술하는 것이 무엇보다 중요하다. 따라서 자연계 학생들은 중앙대 적성논술에서 수리 영역에 가장 주안점을 두며 체계적인 대비를 할 필요가 있다.
3. 위 대학들의 수시 대비 전략
1) 내신을 불리함을 극복할 수 있다.
- 자신감이 가장 중요하다
위 대학들은 1단계 전형에서부터 대부분 적성평가나 논술고사를 적극적으로 반영하기 때문에 내신의 불리함을 충분히 극복할 수 있다. 중앙대의 경우는 생활기록부만으로 1단계 전형을 실시하지만 전년도에 5배수 선배에서 10배수 선발로 확대한 만큼 1단계 통과는 그리 어렵지는 않을 것으로 보여지고 있다. 따라서 ‘수시=내신이 우수자’라는 등식을 성립시켜서 자신에게 내재된 능력을 버리는 일을 해서는 안 된다. 즉 관심이 가는 대학은 조금더 적극적인 자세와 자신감을 갖고 지원을 해 볼 필요가 있다는 뜻이다. 특히 2학기 수시에 전략을 세우는 학생들 중에서도 이러한 문제 유형을 먼저 접해 본다는 생각을 가지고 1학기 지원 여부를 검토하는 것도 바람직한 방법일 수도 있다.
2) 자신을 먼저 냉정하고 객관적으로 평가한 다음 지원 여부를 판단하라.
- 환상을 갖지 마라
자신감을 갖는 것도 매우 중요하지만 자신을 냉정하게 평가하지 않은 상태에서 환상을 갖는 태도는 지양되어야 한다. 한양대나 인하대 적성평가 문항은 아직 공개되지 않고 있기 때문에 학생들이 객관적인 평가를 해 볼 기회가 없는 것이 안타깝지만 예시 문항을 통해서라도 보다 객관적인 평가를 통해 지원 여부를 판단해야 한다. 지원을 한다고 하더라도 가벼운 마음으로 지원을 해야 한다. 즉 대학 경시대회를 본다는 느낌으로 아주 가볍게 시험에 응할 필요가 있다. 그래야만이 이후 결과에 대한 휴우증을 없앨 수 있기 때문이다.
3) 다른 평가 요인을 크게 신경쓰지 마라.
- 변수는 거의 없다
수시 전형은 참 많은 변수를 안고 있다. 소위 말하는 고교등급제, 비교과 영역 등 다양한 변수를 안고 있는 것이 수시 전형이다. 하지만 이러한 전형을 실시하는 대학의 경우에는 이런 변수의 요인이 매우 적다. 즉 적성평가, 논술, 학업적성평가 등이 절대적인 변별력을 지닌다. 따라서 이러한 대학을 지원할 때는 이런 변수 요인을 너무 크게 신경 쓸 필요가 없다.
이상의 몇 가지 예를 통해 알 수 있듯이 수리논술문제는 공식의 적용이나 유형을 반복해서 푸는 수학으로는 대비 할 수 없음을 알 수 있습니다. 초등, 중학생이 경시나 특목고를 위해 정석이나 경시문제를 반복해서 풀어서 기능만 익히고 속도를 높이는 방법은 안된다는 것입니다. 다시 말해 진도만을 중시하는 선행학습은 안된다는 것입니다.
새로운 시대에는 단원을 시작할 때 그 단원을 배우는 목적은 무엇이며, 어떤 역사적 유래가 있는지?, 실생활이나 산업에는 어떻게 응용되는지 고민해야 할 때입니다. 수학에 대한 고민이 70%라면 문제 풀이는 문제풀이는 30%로 움직여야 할 때라 확신합니다.
아울러 주어진 문제를 정확히 이해하고 서술해 나가기 위해 독해력과 글쓰기 능력 함양에도 더 힘을 써야 합니다. 수학자의 전기, 수학 관련 동화나 소설 등 다양한 책읽기가 중요합니다.
교재 선택 이유와 소개
수학거미의 저자 안재찬은 “ 수학공부는 공식을 외워 어려운 수학문제를 잘 푸는 것이 아니며, 영재학교나 교육원, 경시대회를 위해 몸과 마음이 지쳐가는 아이들을 걱정하면서 이 책을 집필했다고 합니다.
이 교재 구성은 교과서에서 다루는 기본 내용에 맞추어
1. 이 단원을 배우는 목적이 무엇인가?,
2. 이 단원이 이론적인 근거를 만든 수학자는 어떤 계기가 되어 이것을 생각하게 되었나?
3. 이 단원의 수학적 표현은 어떻게 되는가?
4. 이 단원의 이론이 일상생활이나 산업에서 어떻게 응용되는가?
5. 단원의 내용을 잘 이해하기 위한 다양한 문제로 되어 있습니다.
특목고에는 뭔가 특별한 것이 있다
귀족학교’인가? 영재의 산실인가? 특수목적형 고등학교를 둘러싼 논란이 뜨겁다. 일부 자립형 사립고의 학비는 수익자 부담경비를 포함해 연간 1,000만 원이 넘는다. 중산층으로서도 현기증 나는 진입장벽이다. 반면 사교육비가 학비보다 더 드는 일반 인문계 고등학교에 비해 비용 대비 효율은 더 높다는 반론도 만만치 않다.특목고. 보낼 것인가? 말 것인가? 어느 학교를 보낼 것인가?
지난 9월2일 낮 강원도 횡성의 민족사관고등학교 교정. 덕고산 자락에 자리 잡은 청기와 건물들이 살포시 내려앉은 청학을 연상시킨다. 자연과학교육관인 ‘다산관’ 입구 계단에 앉아 있던 다섯 명의 남녀 학생이 초면인 기자에게 눈인사를 건넸다. 학급회의를 막 마쳤다는 이들 중 한 여학생에게 장래 희망을 물었다.“변호사가 꿈입니다. 국제반(국제계열)이지만 국내 대학에 진학하게 될지도 모르겠어요. 우리나라는 학연을 중시하잖아요? 대학원은 미국에서 다니려고 합니다.”
학연을 기반으로 하는 국내용 네트워크의 가치를 고려해 유학반 소속이지만 학부는 국내 대학에 진학할 수 있다는 대답이었다. 2학년이라는 이 학생에게 단도직입적으로 “혹시 중학교 때 친구들을 만나면 수준 차이를 느끼지 않느냐”고 물어봤다.
“수준 차이가 난다기보다 서로 관심사가 다른 거겠죠. 여기서 미국 대학 진학을 준비하고 있고 교육 방식도 다르다 보니 관심 분야도 서로 달라진 거죠. 친구를 사귀는 기준은 성격이라고 봐요.”다른 2학년 남학생에게 민족사관고 출신들도 과거 명문고 동문들처럼 배타적 네크워크가 될 수 있지 않으냐고 물었다.“민족사관고 출신들이 선후배 관계를 중시하는 것은 사실이지만 배타적 학연으로 발전하지는 않을 겁니다. 도움을 청하더라도 능력이 안 되면 도와줄 수 없죠. 그런 도움은 서로 안 줄 것 같은데요?”
민족사관고는 지난 4월 올해 국제계열 졸업생 26명이 전원 미국과 영국의 유명 대학에 최종 합격했다고 밝혔다. 이 가운데 8명은 5개 이상의 대학에 동시 합격했다. 김진서 양은 미 듀크대·버클리대 등 10개 유명 대학에 합격했다. 이로써 1999년 국제계열 졸업생을 처음 배출한 이래 7년 동안 모두 88명이 미국·영국의 유명 대학에 진학했다.
국내외 명문대로 통하는 관문
서울 혜화동에 있는 서울과학고는 올해 15명을 해외 대학에 진학시켰다. 이 가운데 11명은 2년 만에 고교 과정을 마친 조기 졸업생들이다. 올해 졸업한 대학 진학자들 가운데 71.1%가 조기 졸업자. 이 학교 출신 중 외국 대학에서 박사 학위를 받았거나 박사학위 과정에 있는 동문은 211명으로, 국내 박사와 박사과정 이수자(210명)보다 많다.
지난 8월 국회 교육위 소속인 민주노동당 최순영 의원은 “특목고(특수목적형고등학교, 외국어고·과학고 등) 입학이 상위권 대학의 인기 학과에 진학하기 위한 편법으로 활용되고 있다”고 주장했다. 그러나 특목고는 국내외를 막론하고 좋은 대학에 들어가는 ‘관문’ 구실을 하고 있다는 것이 제대로 된 분석일 것이다.“서울대 특기자 전형 ‘특목고생 잔치’”.
최근 한 신문 1면에 실린 기사 제목이다. 이 기사는 2005학년도 서울대 수시모집 합격자 중 과학고·외국어고 등 특목고 출신 학생의 비율이 전년도보다 크게 높아졌다고 전했다. 서울대 입학생 자료를 토대로 작성된 국정감사 보고서에 따르면 2005학년도 수시모집 특기자 전형에 합격한 518명 중 26.6%(138명)가 특목고 출신이다. 서울대 전체 합격자 중 특목고 출신 비율(10.1%)보다 2.5배가량 높다.
최순영 의원은 “특기자 전형이 사실상 특목고를 위한 새로운 고교 등급제가 되고 있다”고 주장했다. 온라인 교육업체인 메가스터디의 유성룡 입시정보실장은 “수학·과학 등의 경시대회 수상 경력, 외국어 성적 등을 지원자격으로 규정한 서울대 특기자 전형은 특목고생들이 통과하기가 용이하다는 점에서 이들에게 유리한 것이 사실”이라고 말했다.
특기자 전형이란 그러나 해당 분야의 영재들을 뽑기 위한 것이다. 특목고 출신 위주로 뽑은 것이 아니라면 결과적으로 이들이 많이 뽑혔다고 해서 이런 전형이 특목고 학생 우대 정책이라고 말하기는 어렵다. 이런 학생들을 길러내는 것이 바로 특목고의 설립 목적이기 때문이다. 예컨대 인천과학고가 뽑고 싶어하는 학생은 ‘수학·과학 분야에 흥미와 특기를 갖추고 장차 이공 계열의 학문을 연마하고자 하는 이공계 지망생’이다.
한영외고 장정현 입학관리 담당 교사는 “외국어 특히 영어를 심화학습하고 이를 바탕으로 각 분야에서 연구하거나 일할 꿈을 갖고 있는 학생들에게 진학을 권하고 있다”고 말했다. 한국외국어대부속외고 박하식 교감은 “서울대 특기자 전형에서 특목고생 비율이 높아진 것은 이 대학이 특목고생을 겨냥했다기보다 해당 분야에서 우수한 학생들을 뽑은 결과로 본다”고 평가했다. 서울과학고 주윤수 교감은 “대학들로서는 특목고 학생들을 한 명이라도 더 받으려고 할 수밖에 없다”고 지적했다. 이들이 우수한 자원이기 때문이다.
자립형 사립고를 포함해 ‘특수목적형 고등학교’를 둘러싼 또 하나의 논란은 교육비가 비싸다는 것이다. 교육부가 제출한 국정감사 자료에 따르면 전국 6곳의 자립형 사립고 중 민족사관고·해운대고·상산고 등 세 학교의 교육비는 각각 연간 1,000만 원이 넘는다.
최순영 의원은 지난 8월 “고교 교육의 다양성을 추구한다는 자립형 사립고 정책이 결국 소수 부유층 자녀만을 위한 것임이 드러났다”고 주장했다. 자립형 사립고에 다니기 위해서는 연간 1,000만 원이 넘는 교육비가 든다는 것이 그 근거다.
특목고·자립형 사립고는 영재학교
박하식 교감은 특목고는 평준화 교육을 하는 학교가 아니라 해당 분야의 영재를 길러내는 곳이라고 말했다.“미국의 부시 대통령 부자가 나온 필립스 아카데미가 그런 학교죠. 우리나라 특수목적형 고교보다 학비가 훨씬 많이 들지만 대부분의 미국인은 이런 학교가 미국사회의 발전에 필요하다고 생각합니다. 무서운 속도로 우리를 추격하고 있는 중국도 영재교육을 강화하고 있어요. 우리나라도 무한경쟁시대를 이끌어갈 글로벌 리더를 양성하는 학교가 필요합니다.”
주윤수 교감은 특목고가 귀족학교라는 주장을 수긍할 수 없다고 말했다.“서울과학고에서 부모들의 직업을 조사했더니 50~60%가 자영업자들이었습니다. 말이 좋아 자영업이지 장사하시는 분이 태반이었어요. 나머지 중 다수가 공무원이었고 택시 기사도 10여 명 됐습니다. 그 중에는 생활보호대상자도 있었죠.”
전원 기숙사생활을 하는 서울과학고는 등록금은 일반 공립 고등학교와 같고 식비·간식비로 월 약 30만 원을 받는다.교육부 산하 한국교육개발원이 최근 내놓은 보고서 ‘자립형 사립고등학교 시범운영 평가보고서’는 자립형 사립고들이 제출한 자료를 토대로 ‘입학생 부모들의 사회·경제적 지표를 기준으로 할 때 전반적으로 중류층 이상으로 나타났다’고 밝혔다. 월평균 가족 소득 분포는 200만 원 이하에서 700만 원 이상에 이르기까지 다양했다(참고로 2005년도 1분기 도시근로소득자의 월평균 가계소득은 329만1,216원).
영재란 과연 누구인가? 어떤 아이들인가? 최관영 민족사관고 입학관리실장은 이 학교가 요구하는 영재상으로 미 국립영재교육연구소(NRCGT) 소장인 코네티컷대 조지프 렌줄리 교수가 정의한 영재의 개념을 차용했다. 렌줄리 교수는 영재의 요건으로 ▷평균 이상의 지적 능력 ▷강한 과제 집착력 ▷뛰어난 창의성 등을 꼽았다. 그는 사회적으로 큰 공헌을 한 사람들은 예외없이 이 세 가지 특성을 지니고 있다고 주장했다.
중요한 것은 영재라고 해서 이 세 특성이 모두 두드러질 필요는 없다는 점이다. 그는 세 가지 중 어느 하나는 상위 2% 이내에 들어야 하지만 나머지 두 특성은 상위 15% 이내에 속하면 된다고 설명했다. 가령 과제 집착력, 즉 어느 한 가지 과제 내지 영역에 에너지를 집중하는 능력이 100명 중 1, 2위를 다툴 만큼 뛰어나면 나머지 능력은 평균 이상이면 된다는 것이다.
민족사관고의 경우 내신(중학교 성적) 지원자격으로 3학년 1학기까지 총 5학기 중 한 학기 이상 상위 5% 안에 들 것을 요구한다. 최 실장은 “어느 한 학기 상위 5% 안에 든 경험은 공부를 하면 능력을 발휘할 수 있다는 것을 귀띔해 준다”고 말했다. “더 중요한 것은 과제 집착력입니다. 우리는 수학 문제를 풀다 안 풀린다고 해답을 보는 형이 아니라 사나흘씩 매달려 기어코 풀고 마는 형을 원합니다. 발명왕 에디슨 같은 타입이죠. 우리는 이런 아이들이 미래에 성공할 가능성이 있다고 봅니다.”
특목고에만 있는 특목고 문화
특목고에는 뭔가 특별한 것이 있을까? 있다면 과연 무엇일까? 주윤수 교감은 특목고에 들어오면 “우수한 친구들을 사귈 수 있고 학교폭력·왕따 등으로부터도 자유로울 수 있다”고 말했다. “특목고 아이들은 동질적이면서 동시에 우수한 집단입니다. 그러면서도 상대방을 배려할 줄 아는 아이들이죠. 동아리 활동이 활발하고 선후배 관계도 끈끈합니다. ‘천년바위(www.bawi.org)’라는 서울과학고 동문 사이트는 전국적인 각계 전문가들의 네트워크죠. 단적으로 미국의 유명 대학에는 거의 예외 없이 선배들이 터를 잡고 있습니다. 선후배 관계가 각별해 신출내기 유학생들이 문화적 이질감이나 향수를 거의 못 느낄 정도예요.”
그는 이런 것들이 한데 어우러져 과학고에는 과학고생만이 공유하는 특수한 문화가 있다고 말했다.특목고들은 또 다수가 기숙학교(boarding school)다. 기숙사생활은 이런 동료·선후배 간의 유대를 긴밀히 해 주고 남에 대한 배려를 스스로 익히는 기회를 제공한다. 특목고 입시 전문인 영재사관학원 김형진 원장은 “학습에 대한 집중도도 높지만 우수한 또래집단 속에서 사회를 제대로 익히게 된다”고 말했다.이 학교의 한 2학년 남학생은 “과학과 수학을 잘하는 학생들끼리 공부하다 보면 실력도 늘고 경쟁심도 생긴다”고 말했다. 그는 또 학생 수가 적어 같은 학년끼리는 모두 친하게 지낸다고 말했다.
민족사관고와 서울과학고 교정에서 마주친 학생들은 한 가지 공통점이 있었다. 외부인에게도 인사를 잘한다는 것이었다. 아들이 민족사관고를 나온 남상희(46) 씨는 “민족사관고가 공교육이 실패한 지·덕·체의 조화로운 교육을 제공해 줬다”고 말했다.
“집에서 빚은 도자기를 학교에 보냈더니 좋은 유약을 발라 좋은 가마에서 적정 온도에 구워 돌려줬다고 할까요? 24시간 공동생활을 하면서 절제와 책임감, 약속과 규율의 준수 같은 것들을 배웠죠. 무엇보다 홀로서기를 넘어 스스로 성장하는 사람으로 만들어 줬습니다.”
김형진 원장은 특목고 아이들은 일상적인 대화의 내용도 다르다고 말했다.“지금은 대학생인 민족사관고 출신 제자한테서 들은 이야기입니다. 한번은 중학교 때 친구를 만났는데 대화가 잘 안 되더라는 거예요. 자기는 학교에서 사회 문제, 인류의 평화 같은 주제를 놓고 자주 토론을 벌였는데 연예인들 이야기나 신변잡기적 화제에 머무르게 되더라는 거죠.”
교육 경비 면에서는 어떨까? 남상희 씨는 “사교육비 절감, 기숙사생활에 따르는 외부와의 차단 효과 등을 감안하면 특목고 진학 쪽이 오히려 비용이 덜 드는 편”이라고 말했다. 김형진 원장은 “일반 인문계 고등학생들은 과외 한두 가지 않는 아이가 드문 반면 특목고 학생들은 방학 때 보충하는 정도”라고 말했다.
“인문계 고등학교는 학비만 쌀 뿐 과외비·간식비 등 추가비용이 들어 특목고에 비해 교육비가 결코 덜 들지 않습니다. 문제는 그러고도 비용 대비 효율이 떨어진다는 거죠.”자립형 사립고 운영에 대한 한국교육개발원 평가 보고서는 그러나 “민족사관고를 제외한 나머지 자립형 사립고 학생들은 사교육 참여율이 높고, 자립형 사립고 진학으로 인한 사교육 감소 효과에 대한 재학생들의 반응도 부정적이었다”고 밝혔다.
특목고 진학 준비는 언제 어떻게 시작하는 것이 좋은가? 서울과학고 주윤수 교감은 “중학교 2학년부터 내신이 적용되는 만큼 늦어도 2학년에는 시작해야 한다”고 말했다. “초등학생이라면 과학에 대한 흥미를 키우면서 독서와 과학적으로 사고하는 습관을 기를 필요가 있습니다.”
이 학교 이경운 교무부장은 “특목고 입시 준비 학원에 보내는 것은 나중에 위험할 수 있다”고 말했다.“이런 학원에서는 대개 고교 교과 과목을 압축해 주입합니다. 그 결과 가령 공식에 들어 있는 개념을 놓치고 과목에 대한 흥미를 잃기 쉽죠. 선행학습돼 있는 이런 학원 출신들은 수업시간에 잘 안 듣는 경향이 있고, 성적이 나중에 하위권으로 처지기도 합니다. 한마디로 성취 동기가 중요합니다.
부모의 성화에 못 이겨 공부하는 아이보다 자기가 좋아서 스스로 몰두하는 아이가 유리하죠. 입시 문제를 낼 때도 단순 암기식으로 공부해서는 절대 도움이 안 되도록 출제합니다. 문제가 어렵고 그래서 푸는 데 시간이 많이 걸리지만 풀고 나면 성취감이 느껴지고, 그래서 또 풀고 싶어하는 아이가 되도록 유도해야 합니다. 자기주도적 학습 능력이 있는 아이라야 돼요.”물리 교사인 그는 “이런 훈련을 위해 일반물리나 교양과목용 두꺼운 대학 교재를 지속적으로 파고들게 하는 것이 버팀목이 될 수 있다”고 말했다.
민족사관고에서 만난 한 2학년 남학생은 학원에 의존했던 한 친구의 이야기를 들려줬다.“중학교 때까지 이 학원, 저 학원을 전전했습니다. 저보다 성적이 좋았지만 자기는 학원에 다니지 않으면 공부를 할 수 없다고 하더군요. 민족사관고에 들어오고 싶어했지만 결국 ○○외고로 진로를 바꿨죠. 지금도 계속 학원에 다니고 있습니다.”
남상희 씨는 민족사관고는 “스스로 공부하는 아이에게 더 없이 좋은 학교”라고 말했다. 김형진 원장은 “초등학교 4학년 때 특목고 준비를 시작하라”고 권했다. “특히 영어는 일찍 시작할수록 좋습니다. 어려서부터 영어 비디오와 동화책에 익숙해지도록 하고, 6학년이 되면 토플·토익에 대한 준비도 체계적으로 해야 해요. 수학은 <공통수학정석>까지는 해야 합니다.”
내신은 불리, 면접에서는 유리
한국교육개발원 보고서는 자립형 사립고 학생과 학부모들이 치열해질 2008년도 대학입시 내신 경쟁에서 상대적 불이익에 대해 크게 우려하고 있다고 밝혔다. 민족사관고에서 만난 한 1학년 여학생도 내신 때문에 고민이 많다고 말했다.
“내신에서 불리하다는 것은 알고 들어왔죠. 인정하고 감수해야겠지만 현실적으로 어려운 게 사실입니다.”이경운 서울과학고 교무부장은 “동일계 전형에 따른 이점도 있어 요즘은 내신 때문에 자퇴하는 학생은 거의 없다”고 말했다. 2000년 75명(37.1%)으로 정점에 달했던 이 학교 자퇴자는 계속 줄어 올해는 한 명도 없는 것으로 나타났다. 교정에서 만난 이 학교의 한 2학년 학생은 “내신에 대한 불안감이 심하지만 끝까지 다니겠다”고 말했다. 김형진 원장은 “내신은 인생 전체를 놓고 보면 사소한 문제”라며 “고교 시절의 중요성만으로도 특목고는 진학할 만한 충분한 동기가 있다”고 말했다.
“특목고 수업을 참관하면 바로 깨닫게 됩니다. 교실 붕괴를 걱정하는 일반 인문계 고등학교와 달리 수업이 알차게 진행되죠. 심지어 자율학습 시간도 달라요.”이경운 교무부장은 면접시험에서는 특목고 출신이 오히려 유리할 수 있다고 말했다. “대학 수준의 공부를 한 것이 문제 제시형 면접에서 플러스 알파로 작용할 수 있습니다. 대답을 잘하면 면접관들로서는 추가로 질문을 던지고 싶은 유혹을 받게 마련이죠. 수능형 학습을 해온 일반 고등학교 학생들이 그런 질문에 답하기란 거의 불가능하거든요.”
특목고 출신들의 문제는 없을까? 남상희 씨는 민족사관고에 진학해 좌절하는 아이들도 꽤 있다고 말했다. “우수한 친구들의 장점을 보고 배우기도 하지만 좌절하기도 합니다. 아이들이니까요. 자존심 상해 할 게 아니라 그 장점을 너의 것으로 만들라고 아이에게 계속 가르쳤죠. 처음에는 잘하는 아이들과 차이가 났지만 결국 1년 만에 다 극복했습니다. 부모로서 아이의 정신적 지주가 되어 주는 것이 중요합니다. 서로 떨어져 있지만 문자메시지·이메일·전화 등으로 끊임없이 격려해 줘야 해요.”이경운 교무부장은 특목고에서 받은 수월성 교육을 대학에서 이어가지 못하는 한계가 있다고 말했다.
“고교 과정에서 이미 익힌 것들을 배우니 성취동기가 안 생기는 거죠. 놀아도 학점은 잘 나오고, 그래서 뒤늦게 유학을 생각하는 학생들도 있습니다.”서울과학고의 한 2학년 남학생에게 명문대 진학에 실패하더라도 특목고 생활에서 남는 게 있겠느냐고 물었다. “여기서 배우는 것 자체만으로도 충분한 가치가 있다고 봅니다.”
김형진 원장은 “민족사관고 등 특목고 진학 준비는 실패도 성공”이라고 주장한다. “실패한다면야 준비 과정에서 희생되는 것들도 있죠. 하지만 진학하지 못하더라도 탄탄한 실력을 갖추게 되고, 목표를 세우고 살았던 경험이 장차 소중한 자산이 될 겁니다.”
특목고 입학관리 담당교사가 말한다
글 : 이필재_월간중앙 편집위원
1.우리 학교 자랑거리
2.우리 학교 이런 학생들에 딱!
3.우리 학교 졸업생 이런 대학에…
4.1년치 교육비는…
5.심층면접 방식
6.국제반 운영 여부
7.모집 인원 및 지원자격
8.지원 가능 성적
9.학교 홈페이지와 입학관리담당
01〉〉경기과학고
1. 수학·과학 영재들이 조기에 대학을 진학할 수 있도록 수학·과학 교과의 속진 및 심화학습 기회 제공.
2. 이공계 진로에 뜻이 있고 소질이 있는 학생.
3. 100% 대학에 진학. 대략 카이스트 60%, 서울대 20%, 포항공대 10%, 기타(ICU, 의대, 일반대 이공계) 10%
4. 등록금은 분기당 38만 1,150원, 기숙사비 월 약 24만 원.
5. 문항 확인 및 면접관과 문항에 대한 질문 및 답변 (카이스트, 서울대와 유사한 방식)
6. 없음
7. 모집인원 100명, 특별전형(44명), 일반전형(56명) 내신은 전체 300점 만점으로 석차백분율로 적용, 구체적인것은 본교 홈페이지 입학전형 요항 참조
8. 수학, 과학, 영어 성적이 2,3학년 7%이내
9. http://www.kshs.hs.kr 윤종수 입학관리담당자 031-259-0410, 011-472-1484,yountea@hanmail.net
4. 등록금은 1인당 38만6,850원, 기숙사비 무료.
5. 중학교 교육과정의 수학·과학 교과에 대해 본교 자체 출제하여 실시.
6. 없음
7. 남·여 구분없이 69명(학급당 23명), 특별 전형·추가 모집 없음
8. 중학교 3학년 수학과 과학의 1, 2학기 과목별 학년 석차가 모두 상위 10% 이내(단, 조기 졸업 예정자는 2학년 성적을 기준)
9. www.djs.hs.kr, 홍석영 입학관리담당교사(042-863-4307)
02〉〉한국과학영재학교
1. ①무학년 졸업학점제 운영 ②선택 중심의 맞춤식 교육과정 운영 ③PT(Placement Test), AP(Advanced Placement)제도 운영, 우수 학생의 빠른 진도 및 심화 기회 확대 ④R&E(Research & Education) 프로그램 운영으로 학기 중 사사 교육과 방학 중 해외 위탁교육 실시 ⑤Academic Advisor제 운영으로 학생 6~9명 대 교원 1명으로 생활지도, 진로 상담 및 학사 전반에 관한 심층지도 실시 ⑥단체(클럽)활동, 봉사활동 및 인성교육에 역점.
2. 어릴 때부터 자연과학 분야에 특별한 창의성과 재능(영재성)을 갖춘 학생으로 이 분야의 잠재력이 풍부하고 기존의 지식에 얽매이지 않는 자유로운 사고를 하는 학생. 동시에이 분야의 학문을 즐길 줄 알고 투철한 국가관을 가진 학생.
3. 한국과학영재학교로 전환한 후 올해 첫 졸업생 배출 예정. 현재 14명이 모든 교육과정을 이수하고 졸업식을 치렀으며 외국 유학과 KAIST·포항공대로의 진학 확정.
4. 등록금은 일반 고교와 같고 기숙사비 무료.
5. 1단계 서류전형, 2단계 창의적문제해결력검사, 3단계 과학캠프 및 면접으로 진행.
6. 없음.
7. 총 144명이며, 중학교 재학생·졸업생 및 이에 상응하는 자격을 갖추고, 수학 또는 과학 분야에서 뛰어난 재능과 잠재력이 있다고 인정되는 자로서, 학교장·지도교사·담임교사 또는 부산광역시교육감이 인정하는 영재교육 관련기관의 추천을 받은자. (단, 검정고시 합격자는 시·도교육감의 추천을 받은 자)
8. 내신성적을 1단계 서류전형 요소 중의 한가지로 반영하고 성적제한 없음.
9. www.bsa.hs.kr, 정문섭 입시관리센터교사(051-606-2182~3, moonstar2000@hanmail.net)
16〉〉민족사관고
1. ①올바른 민족정신을 바탕으로 학업과 생활을 자주적으로 계획하고 실천하고 조정하는 미래의 지도자로 만들기 위해 학생공화국 체제 운영. 이 안에서 기숙사생활, 학생회활동, 클럽활동, 현장학습, 학생법정 운영은 물론 학교의 공식 행사인 입학식과 졸업식까지 학생 스스로 진행. ②일반선택·심화선택 과목 외에 과학고·외국어고·국제고 등의 특목고가 운영하는 전문 교과, 그리고 대학 전문교과(AP)도 공식적으로 운영. 정규 교과 외에 개별탐구학습(IR), 계절학기제 등을 운영해 학생들에게 영재교육의 양대 산맥인 빠른 진도와 심화학습 차원에서 수준 높은 교육 제공. 학생 개개인의 적성에 따른 다양한 교과 선택권 보장. ③38만여 평의 광활하고 수려한 자연경관 속에 갖추어진 국궁장·인도어골프장·천연잔디구장·인조잔디야구장·테니스코트 등 각종 체육 시설을 이용해 심신 단련. 전통의 향기가 물씬 풍기는 99칸 한옥인 민족교육관에서 전통문화 체험.
2. ①시켜야 움직이는 피동적 학생은 적응하기 어렵다. 스스로 통제하고 단련하면서 자신의 삶을 개척할 줄 아는 학생이라야 두각을 나타낼 수 있다 ②영재성이 있는 학생들이 지닌 정의적 요소 중 하나는 강한 과제집착력이다. 우리 학교는 강인한 인내력과 과제집착력을 지닌 학생을 필요로 한다 ③우리 학교는 민족을 구원하고 세계에 헌신하는 지도자 양성 학교다. 따라서 자신의 안위보다 항상 남을 먼저 생각할 수 있는, 경우에 따라 남을 위해 자신을 헌신할 수 있는 학생을 원한다.
3. ①주요 국내 대학 진학 현황(2005년 2월 현재) : 연세대 58명(조기 22명), KAIST 53명(조기 45명), 서울대 32명(조기 8명), 고려대 23명(조기 4명), 포항공대 14명(조기 12명), 기타 대학 63명(조기 1명) ②주요 외국 대학 진학 현황(2005년 5월 현재) : 미 컬럼비아대 2명, 코넬대 9명(조기 2명), 다트머스대 2명, 하버드대 3명(조기 2명), MIT 4명(조기 2명), 프린스턴대 6명(조기 3명), 스탠퍼드대 6명, 펜실베이니아대 3명, 예일대 3명, 기타 미국 대학 50명(조기 6명), 영 옥스퍼드대 3명.
4. 기숙사비 월 82만 원(방학 때는 내지 않음), 특기적성교육비 25만 원(방학 때는 내지 않음), 수업료 18만7,000원, 학생활동지원비 10만8,000원, 학교운영지원비 5만5,600원으로 연간 총 1,500만원 가량. 전교생 중 25~30%가 장학생.
5. 심층면접은 학생의 분야별 전문성에 관한 평가 및 인성면접이 그 내용이다. 지원자가 원서 상에 있는 분야 중 가장 자신 있는 분야(리더십, 국어, 영어, 수학, 물리, 화학, 생물, 지구과학, 정보, 종합학업능력 중 하나)에 표시를 하고 이를 제출하면, 서류 전형 통과 후 그 분야에 대한 심층 면접이 이루어지게 된다.
6. 강원도 교육청으로부터 국제계열 운영을 정식으로 승인 받아 정규 교육과정에서 운영하고 있으며, 국제계열 지원자격이 민족고 입학전형에 별도로 명시되어 있다.
7. 계열별로 정확한 지원자격 기준은 본교 홈페이지에 있는 입학전형을 참조. 기본적으로 중학교 성적이 한 학기 이상 상위 5%, 토플 성적, 민족사관고등학교 수학경시대회 성적, SAT 또는 ACT Math 성적, 민족사관고등학교에서 지원자격으로 인정하는 경시대회의 수상 실적 등으로 계열별 지원자격을 부여받을 수 있다. 모집인원은 150명이며, 특별전형이나 추가모집은 없다.
8. 본교 입학전형의 지원자격 부분에 명시된 기준 이상의 성적이면 지원 가능.
9. http://www.minjok.hs.kr, 최관영 입학관리실장(최관영 033-343-1116, admissions@minjok.hs.kr, 입학관리실 채은주 선생님 033-343-1116, cej0418@minjok.hs.kr)
17〉〉상산고
1. 과학고나 외국어고와 달리 계열과 진로 선택이 자유롭다.
2. 다양한 선택 교과를 이수할 수 있어 우리나라 대학에 진학하려는 학생들에게 유리.
3. 지금 3학년이 자립형 고등학교 체제 전환 후 첫 졸업생.
4. 등록금은 일반 사립 고교의 3배 수준(월 34만 원), 기숙사비는 월 약 30만 원(식비·간식비 포함), 기타 특강비(특강 신청자만 해당)
5. 국어·영어·수학 분야에서의 질문지를 받고 1시간 내외의 시간을 가지고 면접 준비를 한 후 각 영역 면접관과 개별 면접을 치름(각 영역별 5분 내외)
6. 국제반은 운영하고 있지 않음
7. 360명(남 : 240명, 여 : 120명), 특기자 전형 : 정원의 30% 내외(남학생 : 72명, 여학생 : 36명),추가모집은 없으며 내신반영은 ① 교과성적(240점) : 2학년 1학기 25%(60점), 2학년 2학기 25%(60점), 3학년 1학기 50%(120점) ② 출석성적(30점) : 1학년 1학기 ～ 3학년 1학기까지 ③ 특별활동(10점) : 1학년 1학기 ～ 3학년 1학기까지 ④ 행동발달상황(10점) : 1학년 1학기 ～ 3학년 1학기까지 ⑤ 봉사활동(10점) : 1학년 1학기 ～ 3학년 1학기까지
8. 남학생 : 석차 내신성적 8% 내외, 여학생 : 석차 내신성적 6% 내외
9. www.jb-sangsan.hs.kr, 임현섭 입학관리담당교사(063-223-5830, 011-9628-4936, youhyun38@hanmail.net)
03〉〉대원외국어고
1. 전국에서 뽑힌 우수한 학생들을 64명의 한국인 교사와 22명의 외국인 교사가 가르친다. 22년 동안 쌓아온 교육 프로그램을 바탕으로 창의력과 사고력 배양에 최선을 다한다.또 국제적 지도자 양성과 다양한 외국어 교육을 위해 세계 7개국의 협력학교와 협정을 맺고 상호 방문을 통해 현지 어학연수와 홈스테이 실시. 미국 조지워싱턴대, 중국 베이징(北京)인민대 부속중·고교와 상하이(上海) 상덕실험학교, 독일의 하인베르크고교와 킨지히고교, 프랑스 CIA앙티브 등. 국내 최초로 해외 유학 프로그램(GLP) 운영.35개 동아리 활동도 자랑거리. 특히 해마다 FOLA를 열어 각 나라의 문화를 직접 체험하고 모의 유엔총회를 통해 세계적 지도자 교육을 실천하고 있다. 현재 19회 졸업생을 배출했다. 이들은 법조계·경제계·학계 등 사회 모든 분야에서 탁월한 능력을 발휘하고 있고, 해외에서도 자부심을 갖고 활동하고 있다. 최고의 동문은 대원외국어고의 미래 자산이다.
2. 외국어에 흥미와 능력을 갖추고 장차 글로벌 리더가 되려는 미래지향적 학생. 지도자로서의 인성과 품성을 갖춘 학생이라면 더욱 환영.
3. 최근 3년 국내외 주요 대학 진학률 88.9~92.1%. 2005년 서울대 60명, 연세대 145명, 고려대 170명, 이화여대 40명, KAIST 4명 진학, 미국·일본 대학에 각각 51명과 2명 입학.
4. 2005학년도 입학생 기준 등록금은 108만원. 신입생은 입학금 40만원 별도.
9. www.daewon.seoul.kr 김창호 입학관리부장(02-2204-1500, 016-839-0927, dkis48@unitel.co.kr)
05〉〉명지외국어고
1. 기독교 신앙을 바탕으로 세워진 학교로 전원 기숙사생활.
2. 훌륭한 인성과 창의적 잠재력을 가진 세계적 지도자가 되기를 원하는 학생. 특히 어학에 소질이 있는 학생, 진취적인 학생, 미래에 대한 꿈이 있는 학생, 국내의 우수한 대학에 진학하고자 하는 학생, 외국의 우수한 대학에 진학하고자하는 학생.
3. 현재 1학년과 2학년만 재학 중. 재학생들은 지난 5월 전국 연합모의평가에서 83.4%가 1등급
4. 월 80만 원 수준(등록금 약 30만 원, 기숙사비 약 23만 원, 식비 약 16만 원, 수준별 보충학습비 10만 원 이내).
5. 특별전형에서 성적우수자,학교장추천, 목회자추천등은 인성과 적성을 묻는 구술면접이다. 특정한교과나 수학문제를 푸는것이 아니라 미래의 한국과 세계의 지도자가 될 인물인가를 묻는 시험이다.
외국어우수자전형은 외국어구술 20점, 외국어논술 20점, 외국어독해 20점 합계60점으로 되며, 일반전형에서 심층면접은 영어듣기(60점), 영어독해(15점), 언어적성검사(30점), 창의력 사고력 측정검사(45점) 150점의 지필고사이다.
6. 현재 국제반(유학반)을 운영하며 아이비리그 출신 선생님들이 학생들을 가르친다
7. 모집인원은 정원내 336명과와 정원외15명 이내
8. 학교성적우수자와 지역우수자는 평균석차백분율 5%이내, 학교장추천은 평균석차백분율 10%이내, 목회자추천은 평균석차백분율 15%이내
9. myongji-fl.hs.kr, 전성은 입학관리본부장(031-477-0387, 016-324-8274, jse01@dreamwiz.com)
12〉〉한국외국어대부속외국어고
1. 한국외국어대학교와 용인시가 합작 설립한 최초의 관학 협력 사립 고등학교. 튼튼한 재정, 한국외국어대가 축적한 교육 노하우와 우수한 교수진이 특장. 졸업인증제, 영어 교내 공용어제, 토론·발표 및 쓰기 중심의 학생 참여식 수업, 1인 1악기, 1인 1종목 선택형 체육 수업이 차별화 요소.
2. 자율적인 환경에서 창의성을 발휘하는 학생, 세계적 지도자를 꿈꾸는 진취적인 학생, 평범한 수업이 아니라 양질의 교육을 원하는 학생, 영어권에서 성장해 영어가 한국어보다 편하지만 한국을 더 배우고 싶은 학생.
3. 지난 3월 개교, 현재는 1학년만 재학. 지난 6월 성균관대가 실시한 전국고등학생학력경시대회 영어부문에서 대상·금상·은상·동상·장려상 등 수상. 철학올림피아드 은상, 수학올림피아드 동상, ACT 경시대회 상위권 대거 입상. 지난 5월 실시된 미국 대학 진학을 위한 AP Test에서 다수 학생 만점으로 합격.
4. 등록금은 분기별 95만 원. 학교 운영비 분기별 7만 원. 기숙사비 월 70만 원.
5. 본교의 심층면접은 창의성을 포함한 종합적인 사고력을 평가한다. 기본적인 인성 및 자기표현 능력과, 수리 및 논리적인 사고를 할 수 있는 능력을 평가. 시험방법은 구술/면접활동지 문제를 풀고 난 후 그 결과를 기반으로 하여 면접관이 구술로 면접을 진행한다.
6. 별도의 지원 자격없이 국제반 운영.
7. 모집정원은 10개학급 350명.특별전형 210명 선발, 일반전형은 140명을 모집.별도의 추가 모집은 없고. 내신 적용방법은 특별전형과 일반전형이 차이가 있음. 홈페이지 참조.
8. 교과성적 우수자로 지원할 경우 3학년 1학기까지의 5개 학기중 적어도 1학기 이상의 전교 평균 석차가 상위 5% 이내. 일반전형의 경우는 한 학기 이상의 평균석차가 10%이내. 영어우수자등은 중학교 교과내신 성적과는 상관 없지만 CBT TOEFL 점수가 240점 이상이 되거나, TOEIC 840점, 한국외국어대학교 주최 FLEX B형 영어 수학능력(듣기/읽기) 700점 이상이면 지원 할 수 있다.
9. www.hafs.hs.kr, 여태융 입학관리담당교사(031-322-1914, taeyoong@hafs.hs.kr)
13〉〉이화외국어고
1. 학생들의 개성과 재능을 존중하는 여학생만의 외국어고로 21세기 여성 지도자 양성이 목표. 서울 도심에 자리 잡은 넓고 아름다운 캠퍼스도 자랑거리.
2. 밝은 인성을 지닌, 사고가 자유롭고 창의적이며 지도자로서의 자질을 가진 학생.
3. 80% 안팎의 졸업생이 명문대에 진학.
4. 등록금은 분기당 108만 원, 기숙사비 무료.
5. 언어능력, 사고력 지문, 영어지문을 제시하고 생각하게 한 뒤 면접자에게 질문 내용을 간략하게 답하도록 한다.
6. 국제반은 없으며 유학반은 방과 후 특기적성으로 운영.
7. 210명. 3학년 1학기 영어석차 백분율 30%이내. 미등록생이 생길 경우에 한해서 추가인원만 차점자로 선발한다. 일반전형: 3학년 전교과 석차백분율 (2-1 20%, 2-2 30%, 3-1 50%)와 3학년 국영수사과 평균석차 백분율을 급간 환산점수로 반영하고, 특별전형은 전교과 석차백분율 (2-1 20%, 2-2 30%, 3-1 50%)와 3학년 국영수사과 평균석차 백분율 14% 이내.
8. 일반전형의 경우 전교과 석차백분율 와 3학년 국영수사과 평균석차 백분율내신 성적이 각각 20% 이내 정도면 가능하고, 부족한 내신은 영어듣기와 면접으로 만회 할 수 있다.
9. www.ewha-gfh.hs.kr, 심충구 교무부장(02-771-1693~5 scg620@freechal.com)
14〉〉한영외국어고
1. 21세기 지식정보화사회에 적응할 수 있도록 언어와 사고력 부문의 능력을 극대화하고, 졸업 후 진로를 다양하게 선택할 수 있도록 교육과정 운영. 학년별로 위계학습이 효율적으로 이루어지는 외국어 학습, 해외 어학연수 실시 및 국내 대학과 연계된 AP 프로그램(현재 한양대 자연과학대학과 LAB 과정 AP에 관한 협정 체결)을 국내 최초로 실시. 외국어를82단위 이상 이수해야 하는 특수성 때문에 다른 과목의 경우 대입에 꼭 필요한 과목만 이수. 본교가 주관하는 영어인증시험인 TOSEL 1년에 2회 실시.
2. 외국어 특히 영어를 심화학습하고 그것을 바탕으로 각 분야에서 연구하거나 일할 꿈이 있는 학생.
3. 지난 3년간 졸업생은 990명으로 서울대 10.2%, 연세대 27.1%, 고려대 25.8%, 서강대 3.5%, 이화여대 10.4% 진학.
4. 등록금은 분기당 약 100만 원, 스쿨버스비 연간 약 90만 원(기숙사 시설 없음).
5. 중학교에서 배운 교과를 기본으로 언어영역, 사고·논리 영역, 영어영역에 대한 구술 교과 면접.
6. 완벽한 교내 프로그램으로 OSP(해외유학반)를 모범적으로 운영하고 있기 때문에 본교를 미국 college board에서 SAT 및 AP test center로 인정하고 있다. 지원 자격은 희망자내에서.
7. 홈페이지 참조
8. 중학교 내에서 상위 10%이내 정도
9. hyfl.hs.kr, 장정현 입학관리담당교사(428-7782, jajuh0555@hanmail.net)
19〉〉해운대고(부산)
1. 건학 이념인 ‘국가와 민족, 인류 평화를 위해 공헌하는 미래의 지도자 양성’에 부합하는 특색있는 교육과정 편성 운영. 인성교육과 학력 신장 차원으로 나눠 다양한 프로그램 실시.
2. 과학고·외국어고와 달리 문·이과 구분 없이 선발. 진학 후 다양한 적성검사를 거쳐 2학년 진급 때 계열 선택함으로써 좀 더 올바른 진로를 설정할 수 있다. 국·영·수 중심이 아니라 중학교 5개 교과목의 내신과 교과 외 성적(출결·봉사 등) 및 리더십, 외국어 구사능력 평가 등 다양한 방법으로 학생 선발. 특정 분야에 특성을 가진 학생 유리.
3. 3년 전 자립형 사립고로 전환, 올해 첫 졸업생 배출 예정.자립형 이전의 일반고 때도 명문대 진학률이 부산에서 3위권에 들었던 명문 사학.
4. 연간 납입금은 일반계 고교의 3배인 441만5,400원 수준. 희망자에 한해 입주하는 기숙사비는 연간 240만원. 그밖에 식비·보충수업비·급식비 등은 수익자 부담으로 일반계 고교와 같은 수준. 다수의 학생에게 다양한 장학금(등록금의 15%, 재학생 총원의 30%) 지급.
5. 심층면접은 수학교과에서 중학교 3개학년의 범위내에서 4-5문항 출제하여 수험생이 30분간 사고,풀이하여 면접관과 구술면접을 실시함.
6. 운영하지 않음.
7. 특별전형(100명):중학교 2학년 1학기, 2학기, 3학년 1학기까지의 3개 학기 중에서 1개 학기의 국어, 수학, 영어, 사회, 과학의 5개 교과 중 2개 교과의 석차백분율 평균이 상위 10% 이내인 자. 내신(교과성적) 50%반영
일반전형(80명):중학교 2학년 1학기, 2학기, 3학년 1학기까지의 3개 학기 중에서 1개 학기의 국어, 수학, 영어, 사회, 과학의 5개 교과 중 3개 교과의 석차백분율 평균이 상위 8%이내인 자. 내신(교과성적) 70%반영
8. 중학교 내신성적이 10%이내면 특별전형에 지원가능하나 특별가산점(토익,텝스같은 영어가산점, 수학심층면접)에서 우수한 학생이 유리하고, 8%이내 즉 중학교 내신이 우수한 학생이면 일반전형에 지원가능하나 모집인원수가 적은 관계로 특별전형에 우선지원하고 불합격이면 일반전형에 다시한번 지원하는 것이 바람직.
9. www.haeundae.hs.kr, 박정환 입학관리부장(011-889-5617, saxoxo@hanmail.net)
"수학 공부 방법을 다시 생각해보자?" "선행학습이 장단점?" "도움이 되는 교재나 싸이트는요?" "현대수학의 흐름과 관련분야?" "학과선택=진로 결정" "창의성 교육과 수학"이라는 순서로 여러분과 얘기를 나누고자 합니다.
1. 수학공부 방법을 다시 생각해보자.
1. 수학은 무엇이며 왜 배울까요?
수업을 할 때 수학이 뭐라고 생각하느냐고 물어봅니다. 대답은 90%정도가 계산, 문제풀이라고 답합니다. 처음부터 너무 어려운 질문인가요? 저 개인적으론 "생각하는 연습이다."라고 한 마디로 말하고 싶습니다. 어떤 문제를 해결하려면 다양한 해결책을 생각하고 가장 좋은 것을 채택하겠지요. 수학 공부도 그렇다고 생각합니다. 다만 수와 수식이라는 도구를 사용하여 이런 문제 해결력을 키워 가는 것이죠. 다양한 현상에서 규칙을 찾고 원리를 분석하고, 공통점과 차이점을 찾아보고 이런 과정을 통해 수학적 사고력을 키워 가는 것입니다. 다음 글을 통해 좀더 깊이 있게 설명하겠습니다.
과학자이며 대 수학자인 갈릴레오는 "자연은 수학이라는 언어로 쓰여져 있다."라는 말을 남겼습니다. 이 말은 자연 과학이 수학의 바탕 위에서 연구되며, 기록, 보관된다는 뜻이겠지요? 자연 과학을 연구하는 데는 무엇보다도 "왜 그렇게 되나"를 생각해야 하며, 그 해답을 구하기 위해서는 『논리적이고도 합리적인 사고력』, 즉 『생각하는 힘 전체를 기르는 것』이 가장 바람직합니다. 우리는 이 『생각하는 힘』을 기르기 위하여 수학을 배운다고 하겠습니다. 수학이 생각하는 힘, 생각하는 방법을 길러 준다고 하면, 수학이 모든 학문 연구의 바탕이 됨은 당연하겠지요. 그러나 지금의 공, 사교육 수학공부는 시험 성적, 대입을 위한 문제풀이 요령을 지나치게 강조함으로서 수학공부의 핵심인 수학적 사고력을 등한시하는 것이 현실입니다.
수학적 사고로 훈련된 사람들은 종합적인 분석능력과 자유로운 사고방식에 익숙합니다. 그래서 국방, 경제 등 수학과 직접적으로 관련이 없는 일반 분야에서도 능력을 발휘합니다. 컴퓨터. 군수안보. 정보통신 분야에 수학자들이 대거 영입되는 이유가 그것입니다. (조용승 이화여대 교수, 수학 )
중요한 인물을 보호하기 위해 쓰는 방탄유리를 본 적이 있을 것이다. 방탄유리를 만들려고 했던 사람들의 생각을 상상해 보자. 보통 사람이라면 아마 기존의 유리를 아주 두껍게 해 보려고 하지 않았을까 하지만 근원을 탐구하는 분석적인 사고방식을 가진 사람이라면, 방탄유리가 유리일 필요는 없고, 다만 투명하고, 탄성과 강도가 높아야 한다
는 두 조건만 충족시키면 된다는 점을 먼저 파악하였을 것이다. 이렇게 현상으로부터 원리를 분리해 이해하는 분석적인 사고방식으로 훈련된 사람은 보통 유리라는 것에 구애받지 않고 방금 말한 두 조건에 맞는 새로운 재질을 찾아 나섰을 것이다. 그러나 남의 기술을 모방하는 데 익숙한 사람은 보통 유리와 씨름하면서 결국 세월만 힘들게 보냈을 것이 뻔하다. 이와 같이 선도적인 위치에서 창의적인 연구를 수행하려면 현상으로부터 원리를 분리해 연구하는 수준 높은 사고방식을 갖추는 것이 중요하다.
여기에 이르는 왕도와 지름길을 찾고 싶은가 그것은 바로 수학 연구와 수학 교육에 있다.
이것이 수학의 기원이며 지금 세상을 지배하는 서양 과학의 기원이다. 수학은 공식을 모은 커다란 보따리가 아니다. 현상의 표피를 뚫고 들어가 근본 원리를 찾고 그 원리와 조화를 분석적으로 정리하는 것이 수학이다. 그러니 수학 연구와 교육이 잘 되는 나라가 선도적인 위치에 서는 것 또한 당연하지 않은가. (포항공대 김강태 교수)
2. 수학은 무엇에서 출발하고 옳고 그름의 판단 기준은요?
우리는 태어나면서부터 약속이라는 것을 배우고 지키면서 살아갑니다. 수학도 그렇습니다. 약속 즉 정의에서 출발합니다. 정의가 하라는 대로 하고 지키기만 하면 수학은 잘 할 수 있습니다. 많은 학생들이 맨 먼저 나오는 정의와 기본 개념은 대강 보고 공식을 암기해서 문제 풀이에 치중하면 금방 지치고 바닥이 들어나죠. 선생님들도 새로운 단원을 시작할 때 정의의 중요성을 간과하므로 학생들도 중요성을 모르는 것 같습니다. 문제를 풀어서 답이 맞는가 하는 것도 약속 즉 정의에 어긋나지 않으면 정답이죠. 참 정직하고 단순한 녀석이 수학 아닌가요. 또한 정의가 수학을 자유롭게 합니다. 예를 들면 1+1= 2이지만 a*b= a+b-ab라 정의하면 2*3=2+3-2x3=0이죠. 이것을 통해 컴퓨터 프로그램에 새로운 수식과 연산이 얼마든지 가능하고 자유로울수 있습니다.
3. 수학에 상상력이 얼마나 중요할까요.
이건 논란이 있을 수 있다고 생각하는데, 수학자와 소설가, 시인 중에서 누가 가장 상상력이 필요할까요? 하나의 예를 들겠습니다. 영국의 유명한 수학자 D.힐버트는 제자가 시인이 되겠다고 떠나자, "그 녀석은 시인이 될 만큼의 상상력밖에 안 돼." 했다는 군요. 그 만큼 수학이 상상력이 필요하다는것을 강조한 말로 이해해 주세요. 수학을 잘하려면 전 상상해 봐라, 그림 그려봐라. 또 다른 풀이법은 없나. 등을 강조하고 싶습니다. 많은 학생들이 수학을 어려워하는 이유 중에 하나가 수학공식이나 계산을 못해서가 아니라,. 주어진 문제를 그림이나 수식으로 상상할 수 없어서 이해를 못하는 경우가 더 많습니다. 다음 두 가지 예를 봅니다.
성냥 여섯 개로 정삼각형 네 개를 만들라면?
많은 학생들은 불가하다고 합니다. 이 문제의 뜻은 평면에서 공간으로 상상의 세계를 옮기면 해결됩니다. 평면에 삼각형 하나와 공간을 꼭지점으로하는 정사면체가 답이죠.
학생들은 삼각형의 세 각의 합은 180라 답합니다. 그러나 둥근 축구공 같은 곳에 삼각형을 그리면 세 각의 합은 점점 커지다가 원의 지름에 오면 삼각형은 직선이 되고 합은 540도가 되며 다시 작아지기 시작하죠. 이런 의문을 갖는 학생은 아직까지 못 만났습니다. 즉 평면도형은 성립하지만 구면도형에서는 성립하지 않는 것이죠. 평면에서 구면으로 상상력을 넓히지 못하는 거죠.
4. 수학 공부와 독서는 어떤 관계일까요?
벌써 감이 오셨나요. 전 절대적으로 독서량이 수학 공부와 정비례한다고 믿습니다. 독서력이 상상력과 생각하는 힘, 논리력을 키워주니깐요. 다만 글을 그대로 받아들이지 말고 힘들지만 비판하고, 의문을 갖고, 자기만의 대안을 낼수 있는 독서라면 더 좋겠지요. 낮선 문제, 어려운 문제를 만났을 때, 대부분은 문제 해석을 못해서 해결 못하는 경우가 대부분입니다. 공식을 몰라서, 계산력이 없어서 그런 것은 아니라 생각합니다.
논리적으로 생각하는 힘을 기르기 위해서는 사고력의 핵심인 원리를 이해할 수 있도록 꾸준히 규칙적으로 문제를 해결하는 연습이 필요합니다. 이공계를 전공하려는 학생들이 과학잡지(과학동아, 뉴톤 등)나 이공계관련 책을 읽는 학생이 적음이 아쉽기만 합니다.
- 품앗이 회원 착각 님의 글 중에서 -
공부를 잘하는 아이를 원하신다면 책을 많이 읽히세요.
중2인 우리 큰아이는 책을 굉장히 좋아하고 많이 다양하게 읽었습니다. 초등학교 다닐때에도 학원에 다니면 책 읽을 시간이 줄어들게 되어서 보내지 않았습니다. 아이들을 학원도 안 보내고 그냥 내버려 둔다고 주변 사람들에게 눈총도 받았구요. 하지만 지금까지 성적은 최상급입니다. 중학교와서도 아직 국어 문제집 한번 풀지 않았는데도 상위권이구요. 확실히 책을 많이 읽은 아이들이 모든 과목에 이해력이 생겨서 공부가 훨씬 수월하더라구요.
하지만 우리 작은 아이는 부족한 부분이 많거든요. 제가 두 아이를 비교해 보면 결론은 다양한 독서량입니다. 성적이 문제가 된다고 생각이 되시면 학원에만 보내지 마시고 빠른 시간에 책읽기 부터 시작하세요. 이해력이 좋은 아이들이 어떤 과목을 공부해도 빠른 시간에 효과를 보더라구요. ..
5. 응용력은 어떻게 키우나요? 문장제는 못해요?
간단한 문제는 하는대 문장제나 몇 단계를 거치는 복잡한 문제는 어떻게 해야 할까요. 많은 분들이 많이 풀면, 반복해서 풀면 된다고 하십니다. 전 좀 다르게 봅니다. 그것은 비슷한, 같은 문제가 나오면 통하겠죠. 전 인터넷의 뒤로 기능을 예로 들겠습니다. 앞에서 수학은 정의에서 출발한다했죠, 그렇습니다. 앞부분을 정확하게 몰랐기 때문에 틀리는 것이죠. 다시 한번 틀린 문제, 해결 못하는 문제와 앞부분을 연관시켜 생각하다보면 어느 순간 해결책이 보일 것입니다. 이런 경험이 많아지면 수학은 잘 하게 될 것입니다. 그 만큼 부모님이, 선생님이 기다려줘야 한다는 것입니다. 모른다고 그때 그때 설명해주면 발전을 기대하긴 어려울 것입니다. 저도 우리애들은 시행착오가 있었지요. 기다려야 한다는 것을 알았지만 그것이 정말 힘들더군요. 그런데 언니 어깨 너머로 배우는 동생은 언니책을 혼자하는것을 보면서 많이 배웠습니다.
6. 얘가 공부하는지 안 하는지 아는 방법은요?
전 한마디로 질문이 많으면 공부를 하고 있다고 믿습니다. 하면 할수록 질문과 의문이 많아집니다. 저도 10년 경력이 있지만 아직도 언제나 의문이 나거든요. 이런 제가 실력이 부족하다는 증거나 돼버렸나요. 질문이 없으면 부모님이 틈틈이 질문을 하세요. 답이 맞았더라도 과정을 질문하던가, 다른 방법으로 풀어 보라고 말이죠. 그러니 부모님이나 선생도 공부를 해야만 할 것 같습니다. 더 중요한 것은 문제집에 나온 모범답안과 다르게 풀어서 맞았을 때입니다. 다른 풀이라 틀린 것이 아니라 독창적 사고일수도 있는데 부모님이 모르시면 아이는 틀린 것으로 생각하여 다음에 이런 다양한 방법을 할 수 없을지도 모릅니다. 안타까운 일입니다. 거칠게 생각한 것을 매끄럽게 다듬어 주는 것이 선생이 역할이라고 생각합니다.
예를 들어 "1, 3, 5, 7, ( )에서 ( )안에 알맞은 수는?"의 답은 대부분 9라고 할 것입니다. 어떤 학생이 33이라고 했을 때 무조건 틀렸다고 할 수 있을까요? 2n-1+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 수식을 알고 있다면 정답이 될 수도 있습니다.
7. 수학공식은 암기해야 하나요?..
" 공식을 알면 편하고 모르면 불편할 뿐이다. " 많은 학생들이 수학공식을 암기하고 문제를 대입하는 형태로, 유형별 문제를 많이 풀어보는 방법으로 수학을 공부합니다. 이런 공부는 현대수학에서 강조하는 고차원적 응용력과 창의적 문제 해결력에는 도움이 되질 못합니다. 공식을 유도하는 과정을 공부하면 그 과정에서 공식의 의미를 깨닫게 되고 응용력을 넓힐 수 있게 됩니다. 결론적으로 말한다면 ‘수학에서 기억할 것은 공식의 결과가 아니라 공식을 유도하는 사고 과정’이라는 것을 명심하세요.
즉 ‘외우는 수학’에서 ‘원리를 이해하는 수학’으로 발상의 전환을 해야 수학을 잘 할 수 있습니다. 대다수 학생들은 수학이 공식을 외우지 않으면 하기 힘든 과목이라고 생각합니다. 예 - 대각선의 수와 내각의 총합을 구하는 공식을 " n(n-3)분의 2 , 180 x (n-2) "로 암기합니다. 그러나 모든 도형의 기본이 삼각형이라는 것을 이해한다면 위 공식이 생각나지 않을때, 다음과 같이 간단히 만들수 할수 있습니다.
" (꼭지점의 개수 x 대각선을 그릴수 있는 점의 개수)분의 2, 180도 x삼각형의개수 " 의 예를 생각한다면, 원리이해와 생각하는 습관이 얼마나 중요한 지 알 수 있습니다. 수학공부는 원리를 이해하면 사고력, 창의력은 물론 문제 해결력까지 저절로 길러주기 때문입니다.
초등예 : 4 / 2=2 즉 4 * 1/2 =2. 4/(1/2)=8 4 * 2 =8 에서 어떻게 설명할까? 나눈다는 것을 몇 조각으로 쪼개어지는냐는 것이다.
8. 틀린 문제는 고맙다?
축구공 위의 수학자인 강석진 교수는 수학을 잘하려면 틀리는 것을 두려워하지 말라고 했습니다. 누구나 틀릴 수 있기 때문이죠. 뒤집어서 틀린 문제에 대한 생각을 다르게 보아야 합니다.. 본시험에 앞서 '이 부분을 내가 몰랐구나. '틀렸다고 생각하지 말고, 내가 푸는 것이 달랐구나?' '이런 생각을 못했내. 이런 접근법도 있네? 라고 긍정적으로 생각하면 자신감도 생기고 즐겁게 수학문제를 대할 수 있을 것입니다. 같은 유형의 문제를 반복해서 틀리는 경우가 많은데 정확한 개념을 앎과 더불어 오답노트를 만들어 다시 한번 점검하는 필요합니다. 나중에는 자신이 약점을 명확하게 알 수 있습니다. 자신없는 부분은 공부하기도 싫어지고 문제가 나와도 움츠러들기 마련입니다. 일단 자신이 어느 부분에서 약한지를 정확하게 파악해서그것을 정복하기 위해 꾸준히 노력해야 합니다.
9. 시험 때 실수하는 경우는요?
평상시는 잘하는데 시험을 보면 실수로 틀렸다는 말을 자주 듣습니다.
누구나 시험을 볼 때 긴장합니다. 누가 집중하고 실수를 줄이느냐, 자신이 알고 있는 것을 100% 발휘하느냐? 하는 것이 중요하겠죠. 전 이렇게 권합니다. 2-3 문제는 고 난이도 일수밖에 없고, 내가 힘들면 남도 힘들다. 그러므로 내가 알고 있는 문제는 실수하지 말고 고 난이도는 편한 마음으로 풀면 고득점이 가능합니다. 욕심이 지나치면 더 긴장하여 제 실력을 발휘하기 힘든 것은 당연합니다.
10. 낯선 문제는 어떻게 할까?
수학에서 어려운 것은 낯선 문제에 직면했을 때입니다. 이때 당황하지 말고 다음의 방법으로 해결하면 많은 도움이 됩니다. 즉 문제를 푸는 습관을 바르게 갖는 것이 중요합니다. 첫째, 주어진 문제에서 조건이나 핵심적 열쇠를 찾아라. 둘째, 주어진 문제를 그림이나 자기가 알고있는 상황으로 표현해 보자. 셋째, 출제자의 입장에서 문제의도를 생각해보자. 많은 학생들이 여기 저기 어지럽게 문제를 풀어 나갑니다. 복잡한 계산과정에서는 흘려 쓰는 숫자조차도 혼선을 일으켜 결정적인 실수를 할 수도 있고, 나중에 검토 할 때도 틀린 곳을 찾기도 불편합니다.
11. 피드백과 복습의 중요성.
많은 문제를 풀기보다는 개념이나 원리를 확실히 알기 위해서 한 문제 한 문제를 되돌아봐야 합니다. 이때 틀린 문제의 해설을 보거나 어떤 개념이 사용되었는지 점검하고, 2 - 3명이 틀린 문제를 토론해 보고, 다른 학생에게 설명해 보면 자신이 알고 있다는 문제도 막히는 것을 통해 정확하게 알고 있는지 확인됩니다. 수학을 풀거나 설명할 때, 그림으로 설명하는 것이 좋습니다. 사소한 일이라도 그림으로 그리게 한다면 수학문제를 이해하는데 도움이 됩니다. 서울대생들이 경험담을 쓴 "수학성적 30점 더 올리기"에 "한 문제를 100%알면 점수가 되지만, 100문제를 70%씩 알면 빵점이다."는 시사하는 바가 큽니다. 학원이나 과외에서 많은 문제를 풀어 90%를 맞았다고 잘한다고 생각하는 것은 나중에 수능이나 대학 공부에는 큰 손해를 보게 되는 것입니다.
독일의 심리학자 에빙하우스는 [기억에 관해서(1885)]라는 매우 흥미있는 책에 시간에 따른 기억력의 변화’의하면 인간은 20분 후에는 배운 것 중 의 1/2을, 하루가 지나면 2/3 정도를 잊어버린다고 합니다. 2일 후에는 69%, 15일 후에는 75%, 한 달 후에는 배운 내용의 22% 정도에 불과한 내용 밖에 기억하지 못한다는 결론입니다. 그러나 일단 배운 내용을 그 직후에 복습하고 또 그 후로도 정기적으로 복습한 사람은 80% 정도는 기억할 수 있다고 하니까 복습은 바로 바로!. 따라서, 자신의 실력을 올리는 것은 과외 공부가 아닌 적절한 복습의 습관 하나만으로도 유지될 수 있는 것입니다.
12. 초등, 중등 때 수학을 잘하던 학생이 고등 때 잘 못하는 이유가 뭘까요?
초때는 일반적으로 크게 어려움을 겪지 않다가 일반적으로 중, 고교를 기점으로 수학의 어려움을 호소하는 경우가 많습니다. 초등은 구체적인 수와 식을 이용한 계산과 사고력이면 충분히 잘 할 수 있습니다. 중등부터는 문자를 도입하고 증명을 통해 수학을 설명하기 시작하는데 이때 정확하게 이해 못하므로 어려움을 느낍니다. 예 초등은 2*()=5, 중학생은 2*x=5, 고등학생은 ax=b등으로 문자를 사용하는 정도가 더 높아지는 것을 이해해야 합니다. .
13. 어렸을 때는 못했지만 중, 고등 때 잘 할 수 있나요.
결론부터 말씀드리면 제 경험으론 얼마든지 가능하다는 것입니다. 수학을 못하는 대부분의 학생을 보면 기초가 부족해서가 아니라 수학 공부 방법에 문제가 있기 때문입니다. 수학에 재미를 알면 오히려 수학 공부 그만좀 하라고 말리게 됩니다.
김 군은 서울 인문계를 갈 실력이 안 돼 정원미달인 행신고로 왔습니다. 고1 3월부터 초, 중등수학을 다시 시작했는데, 처음에 한 문제에 30분을 쓰는 정도로 힘들었죠. 처음엔 이러다 말겠지 했는대 점점 수학에 흥미를 갖더니 6개월 후에는 고3 누나보다 더 열심히 한다고 하더군요. 입학때 뒤로 몇 번이 1학년 말에는 수학은 전교 10위 정도였고, 고3때 같은 학교 학생을 통해 들은 말은 별명이 "수학에 미친놈" 이라더군요. 이 학생 때문에 일산으로 오게 되었구요. 정발고 2학년이던 구 군은 1학년 내신이 60점대 였는대 고2 과외로 4번 모두 100점. 현 무원고 2년 백군은 30점대 였는대 내신은 90점 이상입니다. 다만 한가지 수능처럼 범위가 넓고 깊은 수학을 요구하는 시험에는 단기간 성적 상승이 어려운 것도 사실입니다. 백신고를 졸업하고 미국유학간 김 양은 수능 45점에서 75점으로, 올해 백신고 졸업하는 김 양도 20점이상의 점수가 올랐습니다. 백석중을 졸업하고 미국으로 유학간 이 군은 k학원 다니면서 수학에 거부감을 갖게 되었답니다. 너무나 많은 학습분량과 반복학습이 원인이었습니다. 제가 위에서 말씀드린 방법으로 지도한 후 에는 자칭 수학 천재라 하면서 유학을 갔습니다.
2. 선행학습에 장단점.
많은 부모님들은 방학중에 한 학기나 1-2학년 미리 배우기를 선행학습으로 생각합니다. 장점으로는 미리 개념을 정리하고 문제를 풀어봄으로서 내신에 유리하다고 생각합니다. 단점으로는 미리 배웠으므로 학교수업에 소홀하다는 것입니다. 전 이와 다르게 선행학습이란 미리 배우기가 아닌 준비학습, 즉 앞으로 배워야 할 내용에 대한 다양성을 확보하기 위해 수학관련 책을 읽고 수학적 사고력과 시야를 넓히는 것으로 인식을 바꾸어야 한다고 봅니다.
교과서를 미리 배워 수업, 흥미를 잃고, 깊이, 정확하게 알지 못하고 많은 문제를 푸는 것이 선행학습이라면 오히려 깊이있는 공부에 득보다 실이 더 많다고 봅니다. 서울과고때 국제 수학 올림피아드에서 2년 연속 금상을, 서울대 수학과에서 3년 대학생 경시 일등을 한 한린 군은 초, 중등때 아버지에게 고등수학을, 고교는 대학교재, 수학관련 다양한 책으로 공부하고요. 이런 경우는 선행학습이 성공적입니다. 그러나 대부분은 수학은 어렵구나 하는 선입감만 가지고 있더군요. 저는 선행학습은 필요하고, 다음과 같은 방법을 추천하고자 합니다.
중학생 상위권은 중학범위와 겹치는 내용을 고등학교와 같이 병행해야 효과가 있다는 것입니다. 중 3과정과 10-가, 나 과정은 복소수를 빼고는 거의 유사합니다. 특히 외고나 과고를 준비하는 경우는 이와 더불어 "교실 밖 수학교실이나 혼자 크는 수학" 등의 교과서 밖의 공부가 꼭 필요합니다. 과학동아나 뉴톤, 중학 독서평설 같은 월간지를 꾸준히 보면서 흐름을 알아두는 것도 상당히 중요합니다.
중위권은 한 학기 선행 즉 개념을 정확하게 정립하고 내신에 대한 자신을 갖도록 쉬운 교재로 방학을 이용하는 것입니다. 하위권은 한 학기 선행과 이전에 배운 것을 복습하는것으로 공부하는 것입니다.
아래의 기사는 많은 것을 시사하고 있습니다.
모 제자의 글 -
일단 저는 집안에 외동아들로 태어나서 학원이란 많은 연습단체를 들락 날락 거렸습니다..하지만 그 때의 공부를 했던 것이 제게 도움이 되었던 것 일까 하는 생각은 해 본 적이 없네요^^ 그 당시는 원래 부모님 말씀을 항상 따랐을 뿐이고 그냥.. 수동적인 삶을 살았으니까요^^
솔직히 .. 어릴때.. 더하기 빼기를 학원에서 배운 다는 거 자체가 저는 상식 밖이라구 생각합니다. 지금 제가 가장 후회하는게 폭 넓은 지식과 사고방식을 키우지 못한것이 후회 됩니다.. 제가 생각하는 어릴 때 다니는 학원은 그다지 많은 이점을 주지 못한다고 생각하거든요
하옇튼 이건 제 생각이지만~ (다른 사람에게는 몰라도.. ^^)
어릴때는.. 강동민 선생님 말대로 책을 많이 봐야 되는게 좋다구 봐요^^
아마 그때 선생님께서 저한테 책 봐라~ 책 봐라~ 정말 말 많이 하셨을 거에여^^ 그런데 ㅡㅡ; 전 글 보는거 진짜 시러해서여^^ 이렇게 늙어서(?) 후회하네여^^
그래서 학교 도서관두 그냥 들락 날락 하구 .. 책이랑 가까워 질려구
노력하구 있답니다...^^ 책을 봅시다!!!!!!!!
저는 수학에 중학교때 부터 눈을 뜬거 같습니다..
중학교때 과고나 외고를 가기 위한 수학 교육을 강동민 선생님께 받았는데요.. 그당시 'A급 수학' 과 '하이레벨' 이라는 중학교 수준보다 높은 수학을 접했습니다.. 그리고 한 학년 높은 형들과 수업을 들은 기억이 있습니다..
저는 지금 그 때 그 수학공부를 한거에 대한것과 그런 지도를 주신 선생님께 정말 감사 드립니다.. 그 당시 그런 수업이 제게 더 넓은 사고 방식을 가져왔고 고등학교 가서도 수학에 대한 자신감과 정말 좋은 것을 얻었기 때문입니다..
중학교때의 그런 한 단계 높은 교육 과정도 중요하다고 봅니다..
하지만 그 사람의 수준에 맞추는 것도 중요하겠지요^^;;
그리고 고등학교때.. 저는 항상 그 해가 지나가기 전 다음학기의 수업량을 다 공부해서 준비를 해놨었습니다.. 그것도 매우 중요했겠지요^^
그렇게 하니까 고2 막판이 되니 수능준비를 약간 끝낼 수 있었습니다.
그리고 그 당시 저는 수학을 즐길 뿐이었습니다...
KMC(등급 : 2A ㅡㅡ;)에도 출전해보고. 일본 국비 시험에도 응시하고.. 수학이 있는 곳이면 다 접근해 보았습니다.. 단지 수학을 즐길 뿐이었어요^^
다른 친구들은.. 싫다고 하고.. 저를 이상하게 보더군요 ㅡㅡ; 흐흐
수리 I 영역은 정말 쉽다고들 하지요.. ^^
하지만 아무리 쉬워도 자신에 대한 믿음과 그것에 도전하려는 정신이 없다면 어려워 질 수 밖에 없는게 수학이라고 생각해요^^
저도 비록 마지막 결전의 날에 .. 수많은 실수를 해서 한순간의 노력을 헛되이 했지만 후회는 없답니다^^ 저는 수학을 좋아했고.. 아직도 수학을 좋아하며~ 앞으로 수학과에 들어가서 전공을 할거니까요^^ (참고: 고려대 수학과 2년입니다)
수학은 자신감과 자신의 노력의 결실이라고 생각해요~
많은 문제를 풀어보는 것도 좋지만.. 틀린건.. 오답노트나 그런 걸로 확실히 푸는게 좋으니까요^^ 틀린건 확실히 알아야죠~ 수학시험은 다 싸이클이 있으니까요~
7차 교육과정에 따른 수학 공부
7차 교육과정은 단계별 학습이므로 이전단계에서 부족한 부분을 학생스스로 공부해야 하는 단점이있습니다. 교과과정에서는 반복되는 부분이 없다고 생각하시면 됩니다. 즉 이전 단원을 모르면 다음 단원이 힘들어 진다는 것입니다. 10단계까지는 국민공통과정이므로 11단계에서 심화학습이 이루어 지고 수능에서도 심화단계에서 직접 출제되는것이 원칙입니다. 따라서 학생들이 느끼는 체험적 난이도는 더 높아진다고 확신합니다. 수능배점에서도 6차(언어 120, 수리 80, 외국어 80, 사탐과탐 120)와 달리 7차는 (언어, 수리, 외국어 100, 사탐, 과탐 과목별 50)으로 수리, 외국어, 사,과탐 비중이 커졌습니다. 자신이 지망하고자 하는 대학별, 전공이 요구하는 영역을 미리 선택하고 준비하는 것이 7차에서는 가장 중요합니다.
예를 들면 인문, 사회계열은 수리 나형(수1 100% 출제)이나 자연, 공학, 의학계열은 수리 가형( 수1 40%, 수2 40%, 선택(미적분, 확률통계, 이산수학) 20%)입니다. 따라서 기존 이과계열은 수학이 비중이 더욱 커졌습니다.
더구나 배점이 30문항 80점에서 100점으로 확대됨으로 문항당 차가 더욱 확대되어 합격에 결정적 역할을 할 것입니다.
그러나 영역별 배점이 현재 언어 120점, 수리 80점, 외국어 80점에서 3개 영역 모두 100점(원점수 기준)으로 바뀌기 때문에 언어의 비중이 상대적으로 줄어들고 수리와 외국어가 중요해졌다.
특히 수리는 배점이 늘어난 데다 주관식 출제 비율이 20%(6문항)에서 30%(9문항)로 증가했고 문항당 배점이 1∼4점으로 수험생 개인에 따라 체감 난이도가 높아질 것으로 보인다. 또 수리 ‘나’형의 경우 상대적으로 쉬운 공통수학이 출제 범위에서 제외돼 상당히 어려워질 가능성이 높다.
2003학년도 수능성적 자료를 2005학년도 방식에 대입해 분석한 결과 문항당 점수의 중요도는 수리 4점, 과학탐구 3.35점, 사회탐구 3.25점, 외국어 2.4점, 언어 2.2점으로 수리영역이 가장 높았다. 수리에서 한 문제를 틀릴 경우 언어 두 문제를 맞혀야 만회가 될 정도로 수리의 난이도가 높기 때문에 수리에서 고득점을 받는 학생이 유리할 수밖에 없다.
▽사탐·과탐도 변수=이번 입시에서 탐구영역도 새로운 변수 중의 하나다. 사회탐구, 과학탐구, 새로 신설된 직업탐구 중에서 하나만 선택하면 돼 부담이 줄어든 것처럼 보이지만 배점이 120점에서 200점(최대 4과목까지 선택 가능)으로 늘어나 부담이 될 수밖에 없다.
또 출제범위가 공통사회나 공통과학 수준이 아니라 2, 3학년 때 배우는 심화과정에서 나오기 때문에 어려워질 가능성이 있다.
물론 각 대학이 탐구영역 200점이 다른 영역의 점수에 비해 높기 때문에 이를 그대로 반영하지 않고 역가중치를 주더라도 전체 수능에서 차지하는 비중은 언어 수리 등과 엇비슷할 것이라는 전망이다
수학은 왜 배우는가? 왜 문제를 푸는가 ==인터넷 검색에서
수학 교과서나 참고서를 펼쳐 보자. 많은 부분이 "예제", "문제(유제)", "연습문제" 등으로 이루어져 있다. 실제로 학교에서 수학을 공부할 때도 대부분의 시간을 이런 "문제" 들과 씨름하게 된다. 그래서 학생들은 흔히 수학공부는 곧 문제풀이라는 인식을 갖고 있다. 정말 그런 것인가? 어떤 사람은 문제풀이만 반복하는 것이 아주 나쁜 공부 방법이라고 말하는데 그것도 정말 그런 것인가?
진짜문제와 연습문제
어떤 문제가 주어졌다고 하자. 지금까지 같은 형태의 문제를 본 적이 없다면, 가지고 있는 지식을 창의적으로 적용하여 풀어야 한다. 이것을 '진짜문제' 라고 부르자. 수학자들은 말하자면 지금까지 그 누구도 풀지 못했던 문제들을 풀려고 노력하는 것이므로 그들의 문제는 모두 진짜문제이다. 다른 학문이나 산업, 일상 생활에서도 무엇인가 의문을 갖고 해답을 구하는 경우가 많은데 이것도 '진짜문제' 라고 할 수 있다. 반면, 이미 풀이법을 알고 있는 상태에서 그야말로 '숫자만' 바꾸거나, 약간의 변형만이 가해진 문제라면 우리는 이미 알고 있는 풀이법을 그대로 적용하기만 하면 되며 이런 문제는 그 풀이법을 반복 숙달하기 위해 사용된다. 이것을 '연습문제' 라고 부르자. 영어로는 '문제'를 problem 이라고 하지만 연습문제는 특히 drill 이라고 불러 구별하는 경우가 있다.
'진짜문제'의 중요성
수학을 배우는 목적은 바로 문제를 해결할 수 있는 능력을 기르기 위해서라고 할 수 있다. 그런데 여기서의 문제는 물론 '진짜문제' 이다. 즉, 지금까지 본 적이 없는 문제가 주어졌을 때, 가지고 있는 지식을 짜맞추고 자기나름대로의 풀이 방법을 창조해 낼 수 있는 능력 - 그것을 얻고자 하는 것이다. 그래서 수학을 공부할 때 풀이 방법을 모르는 도전적인 문제를 해결하면서 그 풀이 방법을 창조 (또는 발견) 해 내는 경험은 무엇보다 중요하다. 그런 경험을 통해 수학적 능력(사고력)을 키울 수 있고 수학, 더 나아가서 공부한다는 것에 대한 긍정적인 태도를 가질 수도 있는 것이다.
교과서나 참고서에서 '진짜문제' 가 될 수 있는 것들은 대개 '예제' 라는 이름이 붙어 있고 그 아래에 풀이가 나와 있다. 안타깝게도 많은 학생들은 예제를 읽고 나서 곧 그 풀이를 읽으며 그럼으로써 몇 안되는 '진짜문제' 를 풀 수 있는 기회를 스스로 놓쳐버리고 있다. 수학 공부를 잘 하고 싶은가? 그렇다면 '예제' 의 풀이를 보지 말라. 몇시간, 며칠이 걸리더라도 스스로 해결하라. 그 전에 나와 있는 해설 같은 것은 물론 보아도 된다. 그러나 풀이를 읽는 순간 진짜문제를 해결할 수 있는 소중한 기회를 잃는 것이다. 그것은 남이 가르쳐 주는 대로 퍼즐을 맞추는 것에 비교할 수 있다. 퍼즐의 묘미는 스스로 해결하는 것이며, 수학 문제도 그렇다.
여러분이 이미 학교 공부를 끝낸 성인이고, 학교에서 수학을 싫어했던 기억이 있다면, 아마도 위에 말한 것과 같이 '진짜문제' 를 스스로 해결해 본 경험이 없었기 때문이었을 것이다. '진짜문제' 를 스스로 해결해 본 사람들은 수학을 싫어하려고 해도 그럴 수 없다.
'연습문제' 의 필요성
그렇다면, 풀이 방법을 이미 아는 문제인 '연습문제' 를 반복적으로 푸는 이유는 무엇인가? 그것은 한마디로 더 앞으로 나아가기 위해서이다. '연습문제' 의 최초의 예는 아마도 구구단 외우기일 것이다. 구구단을 못 외워도 6×7 같은 것은 계산할 수 있다. (그림을 그리던지 해서) 즉, 한자리수 곱셈으로 끝낼 것이였다면 구구단 외우기는 필요 없다. 그런데 두자리수, 세자리수의 곱셈, 더구나 나눗셈, 소인수분해, 식의 계산, 인수분해, 고차방정식의 풀이 등등을 공부하는 것은 구구단을 완전히 외우지 않는다면 불가능하다. 그래서 구구단을 반복 숙달하는 과정이 필요했던 것이다. '연습문제' 의 역할은 그런 것이다. 예를 들어 인수분해나 미분법 같은 것을 계속 반복하고 여러 형태를 다루어 보고 하여 그 '기능'을 숙달함으로써 그 다음 단계의 공부를 할 수 있게 되는 것이다.
따라서 연습문제를 반복해 푸는 것은 결코 나쁜 것이 아니고 그것을 하지 않고 수학 공부를 해 나갈 수도 없다. 하지만 그것을 수학공부의 전부로 생각하는 것은 잘못이다.
수학 공부란?
수천년간에 걸친 인류의 수리적, 논리적 사고의 기록인 수학을 다시금 우리가 공부하는 것은 앞으로 우리에게 수리적, 논리적으로 해결해야 할 '문제' 가 주어졌을 때 그것을 해결할 힘을 얻기 위해서이다. 수학책에 나와 있는 '문제'들을 그런 목적에 맞게 사용해야 원하는 것을 얻을 수 있다. 남이 풀어 놓은 것을 보고 비슷한 유형의 문제가 나올 때 적용시키는 방식으로는 결코 진정한 공부가 될 수 없으며 그것은 빠른 시간 안에 시험점수를 올리기 위해 사용하는 가장 괴로운 공부 방법이다. (그렇게 하면 괴롭다는 것은 많은 학생들이 경험했거나 하고 있을 것이다.) 남의 풀이를 보지 말라. 스스로 풀이를 발견하라. 그러나 이틀 동안 밤낮으로 그것만 생각했는데도 풀리지 않으면 그 때는 할 수 없이 풀이를 보라. (포기의 기준이 적어도 이틀은 되어야 하는데 대개의 학생의 경우 채 2 분이 안된다는 것이 안타깝다.) 처음에는 힘들지만 나중에는 즐겁게 할 수 있게 되므로 결코 힘들지 않을 것이다. 무엇보다도, 그래야만 문제를 해결할 수 있는 능력 (수학적 사고력) 을 얻을 수 있다.
우리의 삶은 어쩌면 '진짜문제' 들을 해결하는 과정의 연속인지도 모른다. 특히 학문적이거나 전문적인 문제들을 해결하는 데는 수학적 사고력이 필수적인 경우가 많다. 수학책에 나오는 문제들을 더 이상 우리를 시험하거나 괴롭히는 괴물들로 생각하지 말자. 괴로움을 당했다면, 그것은 잘못 사용했기 때문이다. 문제들이 거기에 있는 이유는 우리의 정신을 갈고 닦아 우리의 삶에서 부딪칠 더 많은 '진짜문제'들을 해결할 수 있게 하기 위해서인 것이다. /송영준
수학을 배워서 어디에다 쓰나
기원전 3세기경 이탈리아 시칠리섬의 시라쿠사에는 아르키메데스(287-212 B.C.)라는 유명한 학자가 살았다. 그는 임금인 히에론에게 수학을 가르치곤 했다. 하루는 임금님이 그에게 “수학을 배워서 어디에다 쓰는가?”라고 물었다.
아르키메데스는 친절하게도 예를 들어 지렛대와 도르래로 무거운 물체를 들 수 있는 것 등이 모두 수학적인 원리를 이용한 것임을 보였다. 또 포물선의 성질을 이용한 포물거울로 햇빛을 모아 로마함대를 무찌를 수 있었던 것도 수학의 덕분이라고 덧붙였다. 하지만 아르키메데스 자신은 수학의 쓰임보다도 자연에 숨어 있는 섭리를 발견하는 것이 더 큰 즐거움이었다. 지금도 “수학을 배워서 어디에다 쓰는가?”라고 묻는 사람들이 많다. 역사적으로 볼 때 수학은 인류 최초의 학문이다. 고대 그리스 시대에 수학은 곧 철학이었다. 화음이론, 원근법, 투시도, 측량, 천체 관측 등 모든 것이 수학에서 비롯됐다.
현대 사람들이 추구하는 문제 가운데는 “가장 적합한 것을 구하는 것”이 많다. 어떤 상품을 개발할 때 최대 이윤을 남기도록 하는 것에서 인공위성을 설계할 때 발생하는 문제들이 대부분 수학적으로 해결된다. 과거에는 아무렇게나 만들어도 작동하던 것들이 과학과 기술이 발전하면 할수록 점점 더 효율적이고 적합한 것들을 추구하기 때문이다. 한마디로 수학을 떼 놓고는 제대로 할 수 있는 일이 없다고 보면 된다. 이제 인류 최초의 학문이면서 인류 최후의 학문으로 불리는 수학이 걸어온 길을 살펴보기로 하자.
학문 탄생의 산파
고대 그리스의 수학자들은 길이 재는 법을 가르쳐 줬고, 삼각형의 성질을 이용해 강을 건너지 않고도 강 너비를 알 수 있게 해줬으며, 산에 오르지 않고도 산의 높이를 알 수 있도록 했다. 달에 가 보지 않고도 달까지의 거리를 쟀다. 고대 학문의 중심지였던 알렉산드리아 도서관 관장이었던 에라토스테네스는 삼각형의 성질을 이용해 하짓날 정오에 만들어지는 막대기의 그림자를 보고 지구의 크기까지 측정했다. 또 수학자들은 천체의 운동을 관측하면서 시각을 알려줬다. 일년은 3백65일이며, 한바퀴 돌면 3백60도이고, 일년은 12달, 하루는 24시간, 1분 60초라는 것 등이 모두 수학자 덕분이라는 얘기다.
뿐만 아니라 수학자들은 기하학을 바탕으로 땅의 넓이를 재는 법도 알려줬다. 이것은 가을에 곡식을 얼마나 거둘 수 있는가를 예측하게 해주었으며, 국가로서는 세금을 걷는 근거가 됐다. 홍수로 강이 범람해 누구 땅인지 구별하기 어려울 때에도 해결책을 제시했다. 또 수학자들은 그리스의 파르테논 신전이나 이집트의 피라미드를 설계할 때 아름다운 황금비를 제안했으며, 필요한 돌의 양을 미리 알려줬다.
1천5백여년이 지나 지구가 둥글다는 것을 발견하고, 태양을 도는 행성들의 궤도가 원이 아니라 타원이라는 것을 발견한 케플러(1571-1630)의 업적도 그리스의 기하학이 없었다면 이루어지지 못했을 것이다. 이처럼 수학은 시대마다 새로운 학문을 탄생시켰고 미래에도 그러할 것으로 예상된다.
과학을 인도하다
양자역학과 입자물리학에도 군론과 복소수이론, 확률론은 그대로 이용된다. 19세기 초 프랑스의 갈루아(1811-1832)는 5차 이상의 방정식에 근의 공식이 존재하지 않는 이유를 ‘대칭성이론’을 도입해 완벽하게 해결했다. 이 이론은 20세기초에 군론(group theory), 체론(field theory), 표현론(repre-sentation theory)으로 크게 발전했다. 현재 군이론은 통신을 할 때 잡음이 들어가는 것을 수정하는 방법(error correcting code)에, 또는 일부러 잡음을 넣어 보안에 신경을 쓰고자 할 때도 쓰인다.
20세기 수학자들은 ‘유한군론과 리군(Lie group)론’을 통해 자연과 사회 및 인간의 마음에 존재하는 모든 대칭성을 찾아 그것들에 대한 도표를 만들기 시작했다. 이것은 4차원 공간이나 그 이상을 설명하고 나아가 물질의 본질을 규명하는 기본 원리로 쓰였다. 과학자들이 자연세계의 본질을 파헤치기 위해 찾으려고 했던 소립자들을 물질이라기보다 ‘대칭성의 표현’이라고 하는 것도 같은 맥락이다.
신용카드에서 디지털 혁명까지
최근에 물리학의 양자장론과 끈이론(string theory)에서도 19세기말부터 출발해 20세기말에 매듭이론(knot theory)으로 크게 발전한 위상수학(位相數學, topology)이라는 학문이 크게 쓰이고 있다.
현대 수학에서 빼놓을 수 없는 것이 암호이론과 게임이론이다. 암호이론과 관련해 튜링(1912-1954)은 2차세계대전 당시 독일군의 암호를 해독해 영국을 전쟁에서 승리하도록 도움을 준 것으로 유명하다. 또 20세기 경제학과 정치학, 외교학 발전에 크게 기여한 게임이론은 독일 수학자 폰노이만(1903-1957)의 작품이다. 물론 튜링과 폰노이만은 컴퓨터를 발명한 장본인들이기도 하다. 컴퓨터가 오늘날처럼 발전하게 된 데에는 여러 과학자들의 힘이 컸지만, 수학자들의 역할도 무시할 수 없다. 예를 들어 불(1815-1864)의 이진법 대수체계에 대한 이론은 1940년 이후 전기회로에 이용되면서 컴퓨터를 이진 회로로 동작하는 기계로 설계하도록 했다.
현재 전 세계에서 통용되는 ‘공개키 암호’ 의 원리도 군론과 소인수분해이론이 응용된 것이다. 이러한 이론은 현대사회에서 개인들이 신용카드를 쓰고, 은행예금을 인출하며, e메일을 주고받으며, 핸드폰을 사용하고, 기업이나 국방외교의 기밀을 보장하는데 유용하게 쓰인다.
미래시대를 대표하는 용어로 불리는 디지털 혁명도 수학과 함께 시작한다. 프랑스의 푸리에(1768-1830)의 이론에 따르면 모든 주기적인 현상은 sin이나 cos 등 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다. 이 이론은 1948년 미국의 벨 실험실(Bell Lab)의 섀논이라는 수학자의 논문 ‘통신의 수학적 이론’에 적용된다. 이 결과로 아날로그 통신 시대는 막을 내렸고 디지털 혁명을 가속시켰다. 현재 머리카락 굵기의 전선에 6백40만개 이상의 신호를 처리할 수 있게 된 것이 수학자들의 공로란 얘기다. 푸리에이론은 많은 용량의 음악을 담는 CD를 탄생시켰을 뿐 아니라 지구 반대편의 사람들과 얼굴을 보면서 통화하는 것까지 가능하게 만들었다.
날씨와 미분방정식
현대인의 생활과 가장 밀접한 관련을 맺고 있는 날씨도 수학을 빼고는 설자리가 없다. 태풍이 분다든지 비가 온다든지 하는 기상변화와, 지진이 일어나고 해류가 흐르는 것들을 분석하고 예측하기 위해서는 고도의 미분방정식을 잘 풀어야 하기 때문이다. 일기예보가 어려운 이유 중의 하나는 자료를 분석하고 설계하는 수학이 어렵기 때문이다.
미분방정식과 같은 수학은 국가의 경제에도 큰 영향을 미친다. 현재 미국이 누리는 호황은 금융호황이라고 불리는데 이것은 금융수학의 바탕에서나 이뤄질 수 있는 말이다. 1973년 블랙과 숄츠 같은 수학자들은 미분방정식 이론이 금융시장에도 잘 적용되는 것을 발견했다. 금융시장의 흐름을 미분방정식을 통해 알 수 있다는 말이다. 뉴욕의 금융시장에서는 수천 명의 수학자들이 새로운 금융상품을 만들어낸다. 국민 연금이나, 퇴직금, 의료보험금 등 경제활동으로 파생되는 경영 문제와 기업평가 등은 수학자의 손에서 이뤄진다. 세계 경제의 흐름을 수학자들이 이끌어낸다고 말할 수 있다. 이렇게 현대 수학은 과학은 물론 경제분야와 일상 생활 전반에 깊게 관여하고 있다.
수학은 이공계로 갈 사람들만 공부하면 될 것이라고 생각한다면, 이것은 큰 오해다. 수학은 사람의 마음을 종합적으로 훈련시키는 학문이다. 단순히 과학을 배우기 위한 도구가 아니라 바르게 생각하고 바르게 표현하는 방법을 제공하는 언어다. 수학이 비록 실생활에 많은 도움을 주는 면이 많다 하더라도, 눈에 보이는 쓰임에만 중요성을 강조하는 것은 옳지 않다. 금전이 쓰임이 많아도 그 자체가 목적이 아닌 것과 마찬가지이다. 사람의 몸과 마음이 둘이 아니듯이, 이론과 실용도 둘이 아니다.
글을 잘 쓰려면 수학을 잘해야 한다
글을 잘 쓰려면 수학을 잘해야 하는가?
한국에선 이 질문을 하지 않는다. 한국에 있을 때 나 자신이 한번도 들어 보지 못했던 질문이다. 그런데 많은 프랑스인들이 이 질문을 던지고 있고, 또 이 질문에 대하여 아주 자신있게 "그렇다"고 대답하고 있다. 즉 글쓰기와 수학 사이에는 아주 밀접한 연관관계가 있어서 글을 잘 쓰려면 수학을 잘해야 한다는 것이다. 수학 교사와 교수들이 이 주장을 펴고 있고, 문필가로 활동하는 사람들도 이 주장에 많이 동의하고 있다.
이 주장은 당연히 수학에 자신이 없어서 이과를 지망하지 못하고 문과를 선택한 수많은 사람들을 실망시키고 있다. 그들은 이렇게 볼멘 소리를 한다. "초등학교 때부터 수학 때문에 계속 설움을 받아왔고 또 수학 때문에 문과를 지망했는데 글쓰기도 잘 못할 것이라고 하니, 그렇다면 앞으로 우리가 잘할 수 있는 일은 무엇이란 말이냐?" 라고. 나는 프랑스의 수학 중시 교육에 대하여 잘 알고 있기 때문에, 그들의 울분에 찬 항변을 충분히 이해할 수 있다.
프랑스의 전 교육과정에서 수학은 단연 으뜸되는 과목으로 취급 받고 있다. 이과에선 말할 것도 없고 문과에서도 수학은 다른 과목, 예컨대 영어보다 훨씬 더 중요시된다. 수학 중시는 바칼로레아(대학 입학자격시험)에서도 반영되어, 이과에서는 수학의 배점이 영어의 세 배에 이르고 문과에서도 수학은 철학, 프랑스어와 함께 높은 배점이 적용되고 있다. 그런데 다른 과목은 모두 논술로 시험을 치르는 것과 달리, 수학은 정밀과학이므로 학생 사이에 점수 차이가 가장 많이 난다.
수학 실력이 경쟁시험 등에서 중요한 관건이 되는 것은 아주 당연하다. 특히 그랑제콜(수재학교)에 입학하려면 우선 수학 실력이 뛰어나지 않으면 안 된다. 공부를 잘하는가 못하는가의 구분이 수학으로 결정된다고까지 말할 수 있다.
한편 수학 실력도 부족하고 철학에도 뛰어나지 않은 평범한 학생들이 가는 분야 중에 법률학이 포함된다. 가장 뛰어난 문과 학생들의 대부분이 법학을 지망하고 있는 한국의 현실과 상반되는 점이다. 예외가 없는 것은 아니지만, 프랑스에서 우수한 학생이 법률학을 택하지 않는 이유는 판검사, 변호사, 공증인 등의 법률종사자란 다만 기존의 법을 적용하기만 하는, 비창조적이고 비생산적인 기생집단이라는 생각이 프랑스 사회에 널리 퍼져 있기 때문이다.
어쨌든 프랑스에서 법률종사자가 되려는 사람들은 수학과 글쓰기의 관계에 대하여 별 관심이 없다. 반면에 수학 실력은 떨어지나 철학이나 기타 인문과학 분야에 자신이 있어서 문과를 선택한 사람들, 그 중에서도 문필가가 되겠다는 꿈을 가진 사람들은 당연히 수학과 글쓰기사이의 연관관계 주장에 대하여 괸심이 많고, 또 연관이 있다는 주장에 반론을 펴기도한다. 토론은 주로 글쓰기에 필요한 논리력, 추리력, 분석력, 정확성의 추구들이 수학교육을 통하여 알게 모르게 길러진다는 주장과, 수학적인 차가운 논리가 오히려 창조적 감성이나 미적 상상력을 해칠 수 있다는 반론 사이에 벌어진다. 반론자들은 하나의 좋은 예로 괴테를 내세운다. 독일의 으뜸가는 시인인 괴테가 수학에는 아주 뒤떨어졌다는 것이다.
그런데 이 토론에는 한 가지 흥미있는 재치응답이 있다. 반론자가 논리 정연하게 그리고 예를 들어가며 수학과 글쓰기 사이에는 아무 관련이 없다고 주장할라치면, 상대방이 "당신이 그렇게 반론을 펼칠수 있는 것도 실은 수학을 배웠기 때문"이라고 응수하는 것이다. 이응수가 언뜻 보면 순환논리인 듯하지만 일리있는 주장이라고 생각한다. 그래서 나는 글쓰기 중에서 시나 희곡 등은 수학과 크게 관련되지 않는다 해도, 특히 평론만은 수학이 요구하는 정확성과 추구정신이 필요하다고 믿고 있다.
올바른 평론을 쓰자면, 관계된 사실을 정확히 파악하고 또 그 사실이 나오게 된 배경과 앞으로의 전망 등을 정확히 짚어낼 수 있어야 가능하다. 즉 정확성이 요구된다. 그러나 그것만으로는 부족하다. 겉으로 드러나지 않은 사실, 굴절되어 나타난 사실, 미로(迷路)처럼 꼬인 사실 등을 정확성의 무기만으로 접근하면 자칫 자기함정에 빠져 정확치 않은 것을 정확하다고 믿어버리는 일이 생기기 쉽다. 드러난 빙산의 일각을 정확히 묘사하고 모든 것을 알아냈다고 믿는 것과 같다.
"파도만 보지 말고 조류(潮流)의 흐름을 보라." 페르낭 브로델의 말이다. 우리는 흔히 파도만 보고 바다를 보았다고 말한다. 예를 들어 노사정위원회, 코보소 사태 등에서 드러난 사실을 아무리 정확하게 파악해도 속에 감추어진 본질까지 정확히 파악하기는 어려운 것이다. 그러므로 항상 의문을 던지고 확인하는 자세가 필요하다.
수학은 예컨대, "삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다."라는 사실에 결코 만족하지 않는다. 분명히 정확한 사실임에도 그렇다. 왜 만나는가? 또는 왜 만날 수밖에 없는가? 하는 것이 더 중요하다. 수학에서는 증명되지 않는 사실은 '정리(定理)'가 될 수 없고 다만 가설로 남을 뿐이다. 평론이 정확성 이외에 수학에서 배워야 하는 게 바로 증명될 때까지 끊임없이 회의하고 추구하는 정신이라고 생각한다.
내용출처 : mathlove |
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첫댓글 항상 감사합니다^^ 선생님^^ 어제는 저의 네 살짜리 아들에게 간단하게 점심을 주려고 밥과 국을 말아서 한손에는 밥을 다른손에는 반찬을 들고 다가 갔더니 아들이 하는말 " 아빠! 밥의자 가져와 " 합니다. 상을 가져와 앉히고는 다시 물어봅니다. 이것이 무엇이야? 아들에게 밥의자라는 말은 두 번 다시 들을 수 없었지만 밥의자란 말이 왜 자꾸 듣고 싶은 것은 무슨 이유인지 모르겠습니다.^^
초등 2학년 알라를 한 명 키우고 있습니다. (쑥쓰) 참 커 나가는 걸 볼 때 기분이 새롭더군요... 필즈상이 왜 유독 젊은 넘들에게 주는지도 새삼 느끼구요. 새로움은 참 좋은 거 같습니다... 샌님 !! 얼굴 뵌 적 없지만 항상 진일보 하십시요 감사합니다.