<p style="text-align: left;">1) 주어진 f(z)가 |z|<1에서 테일러급수 꼴로 표현된다고 하면, f(z)는 |z|<1에서 해석적이라도 보면 되는 것인가요? 그리고 이 범위는 경계가 포함되지 않은 영역인데, 여기서 f(z)의 원시함수가 존재한다고 판단할 수 있는 이유를 잘 모르겠습니다. 원시함수는 단순연결영역에서 해석적인 f에 대해 존재하는 것이라는 정리에 맞지 않는 것 같아서요..! z=1에서 해석적인 이유를 어떻게 알 수 있을까요??<br>(관련 모고 문제 댓글로 첨부합니다!)<br><br>2) 이러한 f(z)를 |z|>1에서 로랑급수 전개한다는 것의 의미를 잘 모르겠습니다.. f가 한 점을 제외하고 해석적이면 그 한점을 어떻게 찾을 수 있는지, 그리고 f는 |z|<1에서 해석적인데 |z|>1에서 어떻게 접근해야 하는지 여쭤봅니다!</p>
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1) ① 네 해석적입니다. ② |z|<1는 단순연결영역이므로 정리를 적용할 수 있습니다. ③ z=1에서 해석적이지 않습니다. 2) ① 25대비 복소함수론 필수예제 47 p.78 에서 설명하고 있는 급수처럼 나타내는 것을 로랑 급수 전개한다고 합니다. ② 우선 (1-z)f(z)를 생각해보면 |z|<1에서 f(z)=1/(1-z)²이 됨을 알 수 있습니다. 그렇다면 25대비 복소함수론 정리 6.16 p.106을 통해 f는 ℂ-{1}에서 해석적임을 알 수 있습니다. 그렇다면 항등정리를 통해 z≠1일 때 f(z)=1/(1-z)²임을 알 수 있고 |z|>1에서 f(z)=1/z²(1-1/z)²임을 생각하여 로랑급수전개를 생각해볼 수 있습니다.
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1) ① 네 해석적입니다.
② |z|<1는 단순연결영역이므로 정리를 적용할 수 있습니다.
③ z=1에서 해석적이지 않습니다.
2) ① 25대비 복소함수론 필수예제 47 p.78 에서 설명하고 있는 급수처럼 나타내는 것을 로랑 급수 전개한다고 합니다.
② 우선 (1-z)f(z)를 생각해보면 |z|<1에서 f(z)=1/(1-z)²이 됨을 알 수 있습니다. 그렇다면 25대비 복소함수론 정리 6.16 p.106을 통해 f는 ℂ-{1}에서 해석적임을 알 수 있습니다. 그렇다면 항등정리를 통해 z≠1일 때 f(z)=1/(1-z)²임을 알 수 있고 |z|>1에서 f(z)=1/z²(1-1/z)²임을 생각하여 로랑급수전개를 생각해볼 수 있습니다.