또 하나의 교재 MIC

[최영주-사랑초]

 

또 하나의 교재 MIC

김민경(고려대학교 대학원)

이명희(서울숭곡초등학교) 

김성미(고려대학교 대학원)

1. 들어가며

아는 만큼 보이고, 보이는 만큼 사랑한다고 한다. 하지만 이 연구를 하면서 어쩌면 우리는 보고 싶은 것만 보는 것은 아닐까 생각하였다.

처음 MIC 프로그램의 학생용 교재와 교사용 지도서를 보았을 때, 교사가 수업하기에 참 좋은 교재라는 생각이 들었다. 학생용 교재는 그다지 두텁지 않을 뿐더러, 생활과 관련된 편안한 이야기들이 두루 있었다. 그리고 교사용 지도서에는 해당 학생용 교재 한 권에 대하여 전체적으로 교사가 준비해야 할 것, 학생이 준비해야 할 것 각각에 대하여 상세하게 제시되어 있고, 학생들의 해답에 대한 사례까지 제시되어 있었다. MIC 교재는 초등 5, 6학년과 중 1,2학년의 4개 학년을 위한 수학 교재로 지금 우리  나라에서 운영되고 있는 7차 교육과정에 의거한 수학 교과서와는 상당히 다른 모습이었다.

7차 교육과정에서 수학 내용은 ‘수와 연산’, ‘도형’, ‘확률과 통계’, ‘문자와 식’, ‘규칙성과 함수’의 6개 영역으로 구성된다. 각 영역에 따라 한 단계는 7-9개 단원으로 이루어져 있다. 따라서 한 단계, 즉 한 학기 교재에 다섯～여섯 영역이 고루 포함되어 있다. 한 학기에 한 영역을 한 단원이나 많게는 두 단원 정도 학습하게 되는 것이다. 문제가 되는 것은 학생들의 학습에서 연결성이다. 이 연구는 MIC 교재 중 하나인 “축구공 위의 수학(원제 : Packages and Polygons)"을 초등학교 5학년 2명, 6학년 13명, 총 15명의 학생들과 함께 학습 하면서 느낀 점에 대한 것이다.

이 연구는 A초등학교 5학년과 6학년 학생들을 대상으로 한 5회에 걸친 수업에 대한 것이다. 매 회 수업은 80분～100분 정도 이루어졌으므로 40분을 한 시간으로 하는 수업으로 간주해 볼 때 10시간 정도의 수업이었다. 학생들은 A초등학교에서 자체적으로 운영되는 ‘수학영재반’ 학생들로 학습 능력이 다른 학생들에 비하여 좋은 학생들이다. 이 연구의 연구자는 세 명이다. 세 연구자 중 한 사람은 직접 수업을 하고, 다른 두 사람은 비디오 레코더로 촬영을 하고, 현장 노트를 기록하였다. 매 시간 수업 후, 한 시간 가량 수업에 대한 반성을 위해서 촬영한 비디오를 보면서 세 연구자 간의 논의를 하였다. 전체 5회 수업이 끝나고 수업에 참여한 학생들 중 시간이 허락되는 9명의 학생들과 방과 후 집단 면담을 하고, 전사하였다.

2. 본론

(1) MIC에 대하여

MIC(Mathematics in Context)는 실생활에서 접할 수 있는 사물과 상황 속에서 자연스럽게 수학의 주요 개념들을 터득해 나가게 해 주는 새로운 개념의 수학 교육 프로그램이다. 미국국립과학재단(National Science Foundation, NSF)의 후원 하에 미국 매디슨 위스콘신대학교의 교육 연구 센터와 네덜란드 위트레흐트대학교의 프로이덴탈 연구소가 협력하여 개발하고, 미국의 여러 지역에서 검사를 통해 검증된 새로운 패러다임의 초, 중등학교 용 수학 교육 프로그램이다.

MIC는 전미수학교사협의회(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)가 마련한 '학교 수학을 위한 교육과정 및 평가 규준'에 맞게 구성되어 있으며, 미국의 5학년에서 8학년(우리나라의 경우 초등학교 5학년에서 중학교 2학년)까지의 학생들을 위한 프로그램이다.

네 개 학년의 각 단계는 각 10개의 단원으로 이루어져 있으며, 각 단원들은 기하, 대수, 수, 통계의 네 영역으로 나누어져 있다. 그러나 이들은 우리나라의 초중등 교육과정과 같이 따로 분리되어 있지 않고, 각 영역 내에서의 연계, 서로 다른 영역간의 연계, 수학과 실생활 문제간의 연계라는 연계성을 강조한 것이 MIC의 주요한 특징 중의 하나이다.

연구에서 교재로 사용한 “축구공 위의 수학(Packages and Polygons)”은 도형 영역 Level C 단계 초반부에 해당하는 것으로 초등학교 6학년 후반부와 중학교 1학년 초기에 적절한 학습 단계라고 할 수 있다.

“축구공 위의 수학(Packages and Polygons)"의 단원 목표는 다음과 같다("Packages and Polygons, Teacher Guide, 2003).

학생들은 평면도형과 입체도형에 관한 문제를 조사하고 해결한다. 학생들은 전개도를 그리고 정다면체와 준정다면체 모형을 만들어서 다면체의 꼭지점의 개수와 모서리의 개수, 면의 개수 사이의 관계에 대하여 알아본다.

• 평면도형과 입체도형 조사하기

• 입체도형 모형 만들기

• 정다면체와 준정다면체의 성질 조사하기

• 정다면체의 성질 찾기

• 꼭지점의 개수, 면의 개수 사이의 관계(오일러의 공식) 조사하기

이 단원을 학습하기 위해서 학생들이 미리 알고 있어야 하는 선수 학습의 내용은 다음과 같다.

• 평면적인 설명을 입체도형과 연관시키기

• 90°와 45°

• 한 바퀴는 360°, 직선인 평각의 크기는 180°

• 각도기와 컴퍼스 카드를 사용하여 각의 크기 측정하기

“축구공 위의 수학(Packages and Polygons)" 단원을 학습하는데 필요한 선수 학습 사항과 단원 목표에 비추어 우리나라 7차 수학과 교육과정에서는 이러한 학습 내용이 어느 단계에 반영되고 있는지 알아보도록 하겠다.

(2) 연결성에 대하여

연구에서 사용한 “축구공 위의 수학(Packages and Polygons)”이 도형 영역이므로 이 부분에서는 도형 영역의 연계성에 대하여 언급하기 위해 우리나라 7차 교육과정에서 도형 영역의 내용 체계와 MIC 프로그램에서 도형 영역의 구성에 대해서 알아보겠다. 이 것은 특히 5, 6, 7, 8단계에서 도형 영역의 내용 체계와 단계별 내용이며, 각 부분에서 ”축구공 위의 수학(Packages and Polygons)"의 학습 내용과 관련되는 부분에 밑줄을 그어 놓았다.

먼저 우리나라 7차 교육과정에서 도형 영역의 내용 체계는 <표 2-1>, 단계별 내용은 <표2-2>, <표2-3>, <표2-4>, <표2-5>와 같다.

<표 2-1> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역의 내용 체계

단계 영역	4단계		5단계		6단계
	4-가	4-나	5-가	5-나	6-가	6-나
도형	•각과 여러 가지 삼각형 •삼각형과 사각형에서 내각의 크기	•여러 가지 사각형 •수직과 평행 •간단한 다각형과 정다각형 •여러 가지 모양 만들기	•직육면체와 정육면체의 성질 •여러 가지 모양으로 주어진 도형 덮기	•합동과 대칭	•각기둥과 각뿔의 성질 •쌓기나무로 모양 만들기	•여러 가지 입체도형

단계 영역	7단계		8단계
	7-가	7-나	8-가	8-나
도형		•점, 선, 면, 각 •점, 직선, 평면의 위치 관계 •평행선의 성질 •간단한 작도 •삼각형의 합동조건 •다각형 •중심, 중심각, 부채꼴, 호, 현의 뜻, 중심각과 호의 관계 •원과 직선의 위치 관계 •다면체 •회전체		•삼각형과 사각형의 성질 •도형의 닮음 •닮은 도형의 성질 •삼각형의 닮음 조건 •평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비 •닮음의 응용

<표 2-2> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역 4-가, 4-나 단계별 내용

<4-가 단계>	<4-나 단계>
ꊱ각과 여러 가지 삼각형 ①이등변삼각형과 정삼각형을 이해한다. ②예각과 둔각의 뜻을 알고, 예각삼각형과 둔각삼각형을 이해한다. ꊲ내각의 크기 ①삼각형과 사각형의 내각의 크기의 합을 구할 수 있다. <용어와 기호> 이등변삼각형, 정삼각형, 예각, 둔각, 예각삼각형, 둔각삼각형, 내각 <학습 지도상의 유의점> ①구체적인 조작 활동을 통하여 도형의 성질을 파악할 수 있도록 한다. [심화 과정] ①삼각형의 각과 관련된 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.	ꊱ여러 가지 사각형 ①수직과 평행의 관계를 이해하고, 평행선의 성질을 안다. ②사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 직사각형, 정사각형 등의 개념을 이해하고, 사각형의 성질을 안다. ③간단한 다각형과 정다각형을 이해한다. ꊲ공간 감각 ①주어진 도형으로 여러 가지 모양을 만들 수 있다. <용어와 기호> 수직, 수선, 평행, 평행선, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 대각선, 다각형, 정다각형 <학습 지도상의 유의점> ①여러 가지 사각형의 관계를 통합적으로 이해할 수 있도록 한다. ②모양 만들기는 간단한 모양을 제시하여 활동 중심으로 전개한다. [심화 과정] ①실생활에서 여러 가지 사각형이 활용된 예를 찾을 수 있다.

<표 2-3> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역 5-가, 5-나 단계별 내용

<5-가 단계>	<5-나 단계>
ꊱ직육면체와 정육면체의 성질 ①직육면체와 정육면체의 구성 요소를 알고, 여러 가지 성질을 찾아 낼 수 있다. ②직육면체와 정육면체의 전개도를 그릴 수 있다. ꊲ공간 감각 ①여러 가지 모양으로 주어진 도형을 덮을 수 있다. <용어와 기호> 직육면체, 면, 모서리, 꼭지점, 밑면, 옆면, 정육면체, 전개도 <학습 지도상의 유의점> ①직육면체의 전개도를 다양하게 그리도록 지도한다. [심화 과정] ①직육면체와 관련된 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.	ꊱ합동과 대칭 ①도형의 합동의 의미를 이해하고, 합동인 도형을 식별할 수 있다. ②자와 컴퍼스를 이용하여 조건에 맞는 삼각형을 그릴 수 있다. ③선대칭도형이나 점대칭도형의 의미를 알고 그릴 수 있다. <용어와 기호> 합동, 대칭, 선대칭도형, 점대칭도형 <학습 지도상의 유의점> ①생활과 관련이 깊은 구체적인 조작 활동을 통하여 선대칭도형이나 점대칭도형의 의미를 알도록 한다. [심화 과정] ①선대칭도형, 점대칭도형과 관련된 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

<표 2-4> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역 6-가, 6-나, 7-나, 8-나 단계별 내용

<6-가 단계>	<6-나 단계>
ꊱ각기둥과 각뿔의 성질 ①각기둥과 각뿔을 이해하고, 구성 요소와 성질을 알 수 있다. ②각기둥의 전개도를 그릴 수 있다. ꊲ공간 감각 ①주어진 모양을 보고 쌓기나무로 만들 수 있다. <용어와 기호> 각기둥, 각뿔 <학습 지도상의 유의점> ①각기둥의 전개도는 다양하게 그릴 수 있도록 한다. [심화 과정] ①앞, 옆, 위에서 본 그림을 보고 쌓기나무로 만들 수 있다.	ꊱ여러 가지 입체도형 ①원기둥과 원뿔을 알고, 구성 요소와 성질을 이해한다. ②원기둥의 전개도를 이해한다. ③회전체를 이해한다. <용어와 기호> 원기둥, 원뿔, 회전체, 회전축, 구 <학습 지도상의 유의점> ①실생활에서 여러 가지 회전체를 찾아보게 한다. [심화 과정] ①도형의 성질을 이용하여 생활 속의 문제를 해결할 수 있다.

<표 2-5> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역 7-나, 8-나 단계별 내용

<7-나 단계>	<8-나 단계>
⑴목표 : 기본도형의 개념을 이해하고, 간단한 평면도형과 입체도형의 성질을 알 수 있다. ⑵내용 ꊱ기본도형 ①점, 선, 면, 각에 대한 간단한 성질을 이해한다. ②점, 직선, 평면의 위치 관계를 알아본다. ꊴ입체도형의 성질 ①다면체에 대하여 알아본다. ②회전체의 성질을 알아본다. <용어와 기호> 외각, 대변, 다각형, 대각선, 정다각형, 삼각형의 결정조건, 삼각형의 합동조건, 접한다, 다면체, 각뿔대, 정다면체, 원뿔대, 구 <학습 지도상의 유의점> ①직관적인 탐구 활동을 통해 점, 선, 면, 각, 원에 대한 성질을 알게 한다. [심화 과정] ①정다면체의 전개도를 그릴 수 있다. ②다면체에서 꼭지점의 수, 모서리의 수, 면의 수 사이의 관계를 알아본다.	⑴목표 : 삼각형의 합동조건, 닮음조건을 이용하여 간단한 도형의 성질을 증명할 수 있다. ⑵내용 <용어와 기호>명제, 가정, 결론, 역, 정의, 정리, 증명, 외심, 외접, 외접원, 내심, 내접, 내접원, 닮음, 닮음비, 닮음의 중심, 닮음의 위치, 삼각형의 닮음조건, 중선, 무게중심, □ＡＢＣＤ, ∽ [심화 과정] ①실생활 문제에서 합동인 도형과 닮은 도형을 찾아본다.

"축구공 위의 수학(Packages and Polygons)"의 학습 내용과 7차 교육과정 도형 영역의 내용을 살펴보면, “축구공 위의 수학” 한 단원을 학습하는데 학생들은 4-가 단계부터 8-나 단계까지의 영역을 고루 학습하게 된다. 이에 대한 논의는 다음의 MIC 프로그램의 편제에 대하여 기술한 후 하겠다.

MIC 프로그램의 편제는 [그림 2-1]과 같다. 점선으로 표시한 부분은 도형 영역과 특히 “축구공 위의 수학(Packages and Polygons)” 부분이며, <표 2-6>은 MIC 프로그램 중 도형 영역의 내용만을 언급해 놓았다(www.naonedu.com, home>MIC>MIC 교육과정, home>MIC>MIC 교재).

[그림 2-1] MIC 교육과정(출처 : http://www.naonedu.com)

<표 2-6> MIC 프로그램 중 도형 영역의 내용

단원	⑴다르게 보여요 (Side Seeing)	⑵각도를 찾아라 (Figuring all the Angles)	⑶조각을 모아모아 (Realloment)
내 용	주변에서 흔히 볼 수 있는 입체(3차원) 모양의 물건을 평면(2차원)으로 알아보고 나타내 봅니다. 입체모양을 여러 방향(앞, 뒤, 옆 등)에서 보고 쌓기 나무로 모양을 만들어 봅니다.	지역의 모양, 우리나라 지도, 지구본을 보기 위한 절대적 방위와 상대적 방위를 사용합니다. 축척이 표시된 지도에서 위치와 이동을 표시하고 각을 알아내기 위해서 직교좌표계와 극좌표계를 이용합니다. 이 책의 마지막에서는 모양을 설명하고 분석하기 위해 각을 이용합니다.	규칙적이거나 그렇지 않은 모양을 알아보고 비교해 보는 활동을 통하여 넓이와 둘레에 대한 이해를 기르게 됩니다. 넓이를 어림하여 계산하는 여러 가지 전략을 발전시켜보기도 합니다. 넓이를 구하는 다양한 전략은 모눈종이에 겹쳐놓기, 모양의 일부분을 다시 배치하기, 모양을 반으로 쪼개기, 공식을 이용하기 등의 활동입니다.
단원	⑷내 몸 안의 수 (Made to Measure)	⑸축구공 위의 수학 (Packages and Polygons)	⑹삼각형을 넘어서 (Triangles and Beyond)
내 용	길이, 넓이, 부피 등을 측정하고 계산하고 결정하기 위해 표준화된 단위와 비표준화된 단위를 이용하게 됩니다. 또, 실제 물건 모형의 기하적인 모양과 각을 측정하는 나침반 종이를 이용해 보기도 합니다.	평면도형과 입체도형에 관한 문제를 조사하고 해결하게 됩니다. 다면체의 전개도를 그리고 정다면체와 준정다면체 모형을 만들어 보고 그 다면체의 모형과 전개도를 이용하여 꼭지점, 모서리, 면의 관계에 대하여 알아봅니다.	삼각형의 기하적 특성들을 조사하고 적용하게 됩니다. 그리고 기하 도형그림을 작도하고 확인하며 기하적인 변환을 하는 문제를 풀이합니다.
단원	⑺어디까지 보이나요? (Looking at an Angle)	⑻삼각형이 닮았어요 (Triangles and Patchwork)	⑼얼마나 올라갔을까? (Going the Distance)
내 용	시선, 보이지 않는 부분 및 보이지 않는 부분과 그림자의 관계에서 비슷한 점을 조사하기 위해 모형을 만들고 사용합니다. 직각삼각형의 높이-거리의 비로 정의 된 각의 탄젠트 값을 학습하고, 이 정의를 여러 직각삼각형 문제를 풀기 위해 사용합니다.	삼각형 조각 나누기를 통하여 닮은 삼각형의 성질을 조사하고 퀼트를 만들기 위한 직사각형 천 조각을 조사하게 됩니다. 닮은 삼각형에 대응하는 각각의 변의 길이를 찾기 위해 닮은 삼각형들의 성질을 사용하게 됩니다. 대응하는 변과 각의 비를 사용하여 삼각형의 닮음을 증명합니다. 또한, 평행선과 엇각 문제를 풀게 됩니다.	벡터, 피타고라스 정리, 기울기 및 탄젠트를 이용해서 지도와 도형상의 거리를 조사합니다. 삼각형의 높이를 구하고, 삼각형, 정다각형 및 원의 넓이를 구하는 과정을 개발합니다.

우리나라의 7차 수학과 교육과정과 MIC 프로그램의 차이점 중의 하나는 학습에서 연결성에 대한 것이다. 우리나라 7차 수학과 교육과정에서 정다면체에 대한 내용은 7-나 단계에서 나온다. 이 단계에서 입체도형의 성질을 알아보는 부분에서 다면체에 대하여 알아보며, 심화 과정으로 정다면체의 전개도 그리기와 다면체에서 꼭지점의 수, 모서리의 수, 면의 수 사이의 관계를 알아보는 과정이 나온다. 하지만 이 부분을 학습하기 위해서는 선행 학습인 6-가 단계에서 각기둥과 각뿔에 대하여 알고, 그 전개도를 그릴 수 있어야 하며, 각기둥과 각뿔을 학습하자면, 5-가 단계의 직육면체와 정육면체에 대한 것을 알고 있어야 한다. 직육면체와 정육면체는 사각형과 정사각형의 개념을 알고 있어야 하므로 4-가, 4-나 단계에서 학습한 것을 기억하고 있어야 한다. 그러나 각 단계는 한 학기 6개월의 시간이 흐른 뒤에 이루어지므로 학습자의 기억력, 이해력이 6개월, 1년, 2년 간 지속된다는 가정 하에 이루어진다. 물론 각 단계에서 학습하기 전에 선행 학습이 어느 정도는 이루어지지만 말이다.

NCTM(1989)에서는 수학적 연결성에 대하여 다음과 같이 제안한다.

내용 사이의 관련성을 인식하고, 발견하려는 이러한 지속적인 노력은 이전에 학습한 개념이 다른 문제를 풀거나 다른 수학적 개념을 탐구하는 데 유용하다는 기대감을 학생들에게 심어준다. …… 또한, 새로운 아이디어를 배우거나 문제를 풀 때, 이전에 개발된 아이디어에 의존함으로써 자신의 사고 과정과 기능을 풍족하게 한다. 아이디어와 개념을 통합하는 이러한 능력은 의사소통 기술에서 뿐만 아니라, 자신의 사고에서 자신감을 길러준다.…

MIC 프로그램에서 도형 영역의 한 부분인 “축구공 위의 수학(Packages and Polygons)"의 큰 장점 중의 하나가 연결성이 탄탄하다는 것이다. 이 책은 <표 2-7>다음과 같이 일곱 가지 이야기로 전개된다.

즉, 한 단원의 일곱 가지 이야기를 17차시에 걸쳐 학습하면서, 도형 영역 전체적으로 연결성이 잘 이루어져 있다. 이는 수준 이론과 관계가 있다고 볼 수 있다. 수준 상승 아이디어는 Freudenthal의 수학 학습 개념의 핵심이다. 한 수준에서의 조작 활동이 다음 수준에서 분석의 대상이 된다. 한 수준에서의 조작 대상이 다음 수준에서는 교과 내용이 된다. Freudenthal은 교사와 학생간의 의사소통 과정을 분석하면서 교사와 학생이 사용하는 개념의 의미가 서로 다르다는 것을 알게 되었다. 그들이 비록 같은 용어를 사용한다고 할지라도, 사용하는 용어의 의미는 서로 다른 준거 틀에 기반을 두고 있다. 교사는 나름대로 자신이 가르칠 내용에 관한 여러 가지 단계들의 준거 틀

<표 2-7> 축구공 위의 수학 ― 이야기 전개 과정

첫 번째 이야기. 상품 포장	두 번째 이야기. 펼친 그림			세 번째 이야기. 막대 모형
○학생들은 입체도형을 분류하여 유사점과 차이점을 알아본다. ◦제 1 차시 : 분류하기   ∙입체도형을 모양에 따라 분류하기   ∙여러 입체도형에서 유사한 점과 차이점 찾기  ◦제 2 차시 : 분류하기(계속)   ∙신문과 잡지에서 입체도형 모양을 찾아 작품 만들기   ∙각 모양에 이름 붙이기	○학생들은 입체도형의 전개도를 만들고, 접고, 분석한다.  ◦제 3 차시 : 펼친 그림 만들기   ∙전개도를 접어서 입체도형을 만들고, 모양의 성질 알아내기  ◦제 4 차시 : 어떤 면이 보일가요?   ∙입체도형에서 보이는 면과 보이지 않는 면의 수 찾기   ∙전개도를 접어 정육면체 만들기			○학생들은 빨대와 찰흙을 모서리와 꼭지점으로 하여 입체도형을 직접 만들어서, 입체도형의 모서리의 개수, 꼭지점의 개수, 면의 개수를 조사한다.  ◦제 5 차시 : 입체 도형 만들기   ∙빨대와 찰흙을 모서리와 꼭지점으로 하여 정육면체를 직접 만들기  ◦제 6 차시 : 안정된 구조   ∙빨대와 찰흙을 모서리와 꼭지점으로 하여 입체도형을 만들어서, 삼각형의 면이 갖는 안정적인 구조 조사하기
네 번째 이야기. 다각형			다섯 번째 이야기. 완전한 다면체
○학생들은 정다각형의 성질을 조사한다. 학생들은 외각과 내각을 살펴보고 임의의 정다각형의 내각을 알아내기 위한 방법을 세운다.  ◦제 7 차시 : 뚜껑을 덮어라   ∙정육각형과 정육각형이 아닌 도형의 성질 조사하기  ◦제 8 차시 : 뚜껑을 덮어라(계속)   ∙도형을 반으로 접어서 정다각형의 성질 조사하기   ∙펜타곤을 위에서 본 모습 그리기  ◦제 9 차시 : 시계 속의 다각형   ∙정다각형의 외각과 내각 조사하			○학생들은 5개의 정다면체에 대하여 면이 덮혀진 모형과 모서리와 꼭지점만으로 된 모형을 만들고, 성질을 조사한다.  ◦제 10 차시 : 완전한 다면체   ∙전개도를 접어서 정다면체 만들기  ◦제 11 차시 : 완전한 다면체(계속)   ∙5개의 정다면체의 성질 조사하기  ◦제 12 차시 : 완전한 다면체(계속)   ∙정다면체에서 면의 개수, 꼭지점의 개수, 모서리의 개수 사이의 관계 조사하기
여섯 번째 이야기. 오일러의 공식		일곱 번째 이야기. 정다면체 자르기
○학생들은 오일러의 공식에 대하여 알아보고, 여러 가지 다면체에 적용한다.  ◦제 13 차시 : 면, 꼭지점, 모서리   ∙오일러의 공식을 다양한 다면체에 적용하기  ◦제 14 차시 : 다시 생각하기   ∙오일러의 공식을 다면체에 적용하기 위하여 여러 가지로 알아보기		○학생들은 준정다면체의 면의 개수와 꼭지점의 개수, 모서리의 개수 사이의 관계를 조사한다.  ◦제 15 차시 : 정육면체 자르기   ∙정육면체 전개도의 귀퉁이를 잘라서 준정다면체 만들기  ◦제 16 차시 : 다섯 개의 준정다면체   ∙준정다면체의 면의 개수와 꼭지점의 개수, 모서리의 개수 사이의 관계 조사하기  ◦제 17 차시 : 모아서 만들기   ∙여러 가지 상자에 대하여 면의 개수와 꼭지점의 개수, 모서리의 개수 사이의 관계 조사하기

을 가지고 있지만 학생들은 그렇지 않다. 따라서 교사에게만 존재하는 그러한 틀을 미리 가정하는 주장은 적절하지 못하다. 교사와 학생 모두가 같은 틀을 가지고 있을 때만 자유로운 논증이 가능하며, 이를 기초로 의견일치에 도달할 수 있다. 수준이론에서는 학생에게 수준의 비약이 이루어질 수 있도록 특정한 교육과정과 교수학적 방법을 취해야 한다고 한다(Freudenthal, 1968).

즉, 한 단원의 일곱 가지 이야기를 17차시에 걸쳐 학습하면서, 도형 영역 전체적으로 연결성이 잘 이루어져 있다. 이는 수준 이론과 관계가 있다고 볼 수 있다. 수준 상승 아이디어는 Freudenthal의 수학 학습 개념의 핵심이다. 한 수준에서의 조작 활동이 다음 수준에서 분석의 대상이 된다. 한 수준에서의 조작 대상이 다음 수준에서는 교과 내용이 된다. Freudenthal은 교사와 학생간의 의사소통 과정을 분석하면서 교사와 학생이 사용하는 개념의 의미가 서로 다르다는 것을 알게 되었다. 그들이 비록 같은 용어를 사용한다고 할지라도, 사용하는 용어의 의미는 서로 다른 준거 틀에 기반을 두고 있다. 교사는 나름대로 자신이 가르칠 내용에 관한 여러 가지 단계들의 준거 틀을 가지고 있지만 학생들은 그렇지 않다. 따라서 교사에게만 존재하는 그러한 틀을 미리 가정하는 주장은 적절하지 못하다. 교사와 학생 모두가 같은 틀을 가지고 있을 때만 자유로운 논증이 가능하며, 이를 기초로 의견일치에 도달할 수 있다. 수준이론에서는 학생에게 수준의 비약이 이루어질 수 있도록 특정한 교육과정과 교수학적 방법을 취해야 한다고 한다(Freudenthal, 1968).

또한 이것은 Treffers(1987)가 제안한 현실적 수학교육의 수업 이론의 하나인 학습 영역의 연결과도 관련이 있다. Treffers(1987)에 따르면 수학을 배운다는 것은 단편적인 지식과 기능을 수동적으로 받아들이는 것이 아니라 지식과 기능을 하나의 구조화된 전체로 조직하는 것이다. 따라서 새로운 개념과 기능은 기존의 지식체에 동화되거나 아니면 기존의 지식체 자체가 이 새로운 개념과 기능에 의해 새롭게 조직되어야 한다. 이를 위해서는 새로운 관점에서 기존의 지식을 살펴보는 기회를 마련해야 하고 교사는 이런 기회를 충분히 제공해야 한다. 하나의 새로운 개념과 기능을 알기 위한 출발점이 되는 예견 학습과 새로운 개념과 기능을 알았을 때, 기존의 지식체를 새로운 안목에서 보는 회상하는 학습이 이루어져야 한다. 즉, 수학을 학습한다는 것은 단지 지식과 기능의 관련된 요소들의 모임을 마음속에 저장해 두기 보다는 잘 조직화되고 의미 있는 전체에 적합한 구조화된 지식과 기능들을 구축, 구성하는 것을 의미한다. 예견 학습과 회상 학습의 연장선상에서 학습 영역의 혼합을 생각해 볼 수가 있는데, 이것은 관련된 학습 과정을 전체로 보는 관점이다. 학습은 가능한 한 일찍부터 지속적으로 서로 얽혀 있는 여러 영역들로 조직되어야 한다. 수학의 다양한 영역들이 횡적․종적으로 연결되어 전체적인 구조화가 이루어질 때, 수학을 여러 복합적인 상황에 응용할 수 있다.

(3) 수업을 하면서

①MIC 교재에 대하여

MIC 철학에서는 수학 교육을 학생의 입장에서 바라본다. 훌륭한 수학자가 훌륭한 수학 교사는 아니다. 내가 이해하는 것과 다른 사람이 이해할 수 있도록 설명하는 것이 다르듯이. 수학 교사는 학생의 입장에서, 즉 학생이 직면하는 수학 학습 상황에서 교사가 학생이 되어 학생의 입장에서 학생의 사고 과정을 같이 훑어갈 수 있는 마음과 자세를 가져야 한다. 교재 연구란 학생이 학습하는 것과 같은 방법으로 수학을 이해하고 다른 사람과 의견을 교환하며 이해한 것을 서로 확인해 보는 과정이다. 이러한 과정을 거쳐야만 교사는 학생들이 학습할 때 느끼는 어려움을 이해할 수 있고, 학습 목표를 좀 더 완벽하게 이해할 수 있을 것이다. 따라서 두개의 큰 기둥으로 보는 것이 학생용 교재 편찬과 교사 교육에 대한 것이다.

MIC 교재의 많은 장점 들 중 하나이자 우리나라 교과서와의 두드러진 차이는 학생들이 직접 활용할 수 있는 활동지가 포함 되어있다는 것이다. MIC 교재에서는 맨 뒷부분에 잘라 쓸 수 있는 활동지가 있어 교사가 따로 준비를 하지 않아도 바로 활용할 수 있도록 하였다.

“축구공 위의 수학(Packages and Polygons)"에서는 특히 정다면체 다섯 가지나, 준정다면체를 만들 수 있는 전개도가 활동지에 제시되어 있어 학생들이 만들어 보기에 매우 좋다. 이에 대하여 학생들은 다음과 같이 말하였다.

“입체도형은 생각을 잘 하기 어려우니까 직접 만들어서 하게 되면 한 눈에 알 수 있고, 이해하기가 좋아요.”

“활동지로 나와 있어서 도형을 직접 만드니까 훨씬 더 이해가 빠르고 재미를 더 추구할 수 있어서 좋았어요.”

“도형은 머리 속에서 상상하기 어려운데 직접 보니까 의심을 하지 않게 되요.”

“활동지가 있어서 더 재미있고 빨라요.”

이러한 장점에도 불구하고 전후 교재의 전후 맥락을 보려하지 않아 <활동지 3>과 <활동지 4>를 새로 만들어 나누어 주어야 했다.

다섯 번째 이야기는 완전한 다면체, 즉 정다면체에 대한 부분이다. 활동지 3, 4, 5, 6, 7을 직접 잘라 정다면체를 만들어 정다면체의 성질을 조사하는 학습을 하고 나면 정사면체를 정육면체의 내부에 꼭 맞게 끼우는 방법의 수를 조사하는 문제가 나온다. [그림 2-2]가 그 경우이다.

[그림 2-2] 정육면체 속에 정사면체 넣기(나온교육연구소, 축구공 위의 수학, 2004, p.33)

학생용 교재 51쪽 <활동지 3>에 제시된 정사면체의 한 모서리의 길이는 7.7㎝, 53쪽 <활동지 4>에 제시된 정육면체의 한 모서리의 길이는 4.9㎝, 대각선의 길이는 6.9㎝이다. 이 상태 그대로 만들면 정육면체 속에 정사면체가 들어갈 수가 없다([그림 2-3]). 정육면체 속에 정사면체가 위의 그림처럼 들어가려면 정육면체의 한 면의 대각선의 길이와 정사면체의 한 모서리의 길이가 같아야 한다. 따라서 교재에 활동지가 제시되어 있었지만, 다음 수업 내용과의 연결을 고려하지 않아 <활동지 3>과 <활동지 4>는 쓸모없는 활동지가 되었다. 연구자는 수업을 위해 정사면체와 정육면체의 전개도를 새롭게 만들어 학생들에게 나누어 주어야 했다([그림 2-4]). 또한 넣는 방법의 개수를 알아보는 데, 여러 방향으로 돌려 보아야 할 필요에서 [그림 2-5]와 같은 도형을 연구자가 직접 만들어 학생들에게 보여주기도 하였다.

우리나라 수학과 교사용 지도서와 MIC 교사용 지도서에서는 모두 학습 목표와 교수-학습 방법, 지도상의 유의점 등을 제시해주고 있으나, 몇 가지 측면에서 MIC 교사용 지도서가 보다 상세하다. 예를 들어, 학생 및 교사의 준비물, 문제 각각에 대한 해설, 문제에 대한 정답뿐만이 아닌 학생의 해답 사례 등이 그 경우이다. [그림 2-6]의 우리나라 교사용 지도서에는 수업에 준비물이 필요하나, 제시된 것이 없다. 반면, [그림 2-7]의 MIC 교사용 지도서에는 수업에 필요한 자료가 학생별, 교사별로 상세히 제시되어 있다.

[그림 2-6] 우리나라 교사용 지도서 예(출처 : 교육인적자원부, 교사용지도서 수학 6-나)

[그림 2-7] MIC 교사용 지도서 예(출처 : 나온교육연구소, 축구공 위의 수학, 출판중)

특히 [그림 2-7] MIC 교사용 지도서의 경우, 교사가 수업을 하기 위해 교사용 지도서를 보면, 수업에 필요한 교사용 준비물, 학생용 준비물이 개인별인지, 모둠별인지, 학급 전체인지에 대하여 까지 상세하게 제시되어 있다. MIC 교사용 지도서가 가지고 있는 가장 큰 장점 중 하나이다.

하지만 MIC 교사용 지도서도 연구자들이 실제 수업을 해 본 결과 잘못된 점이라든가, 불충분한 점이 많이 있었다. 앞서의 [그림 2-2] 정육면체 속에 정사면체 넣기를 다시 보자.

이 문제에 대하여 교사용 지도서는 [그림 2-8]과 같다.

여기서 학생 활동에 대한 해답 및 예제와 문제에 대한 설명을 상세히 보면 다음과 같다.

☞ 해답 및 예제 : 각 모서리를 위로 넣는 방법이 2가지 또는 4가지 있다. 2×6=12, 4×6=24. 그러므로 12가지 또는 24가지 방법이 있다. 두 가지 예가 아래 그림에 그려져 있다.(그림은 아래의 사진 참조)

☞ 문제에 대한 설명 : 모든 면이 똑같게 보이기 때문에 어떤 학생들은 4가지, 2가지, 심지어는 1가지 방법 밖에 없다고 말하기도 한다. 학생들이 어려워하면, 정사면체의 각 면에 각각 다른 색을 칠 한 후에 다시 생각해 보도록 한다.

[그림 2-8] MIC 교사용 지도서- 정육면체 속에 정사면체 넣기(출처 : 나온교육연구소, 축구공 위의 수학, 출판중)

해답을 보면 이 문제의 의도는 정사면체의 각 면이 다른 색일 경우를 전제로 한다. 하지만 학생용 교재에서는 이에 대한 언급이 전혀 없다. 따라서 교재의 문제만으로는 교사와 학생 모두 문제에 대한 정확한 의미 파악이 어렵다. 게다가 학생용 교재의 그림은 흑백이므로 더욱 그러하였다. 실제로 연구자들이 수업 전에 예상으로는 한 가지 방법이라 예상하였다. 그러나 실제 수업에서 이 문제에 대하여 학생들 중 일부는 연구자들과 같은 1가지라는 의견을, 다른 일부 학생들은 교사용 지도서와 같은 24가지라는 의견을 제시하였다.

문제 자체가 다양한 답을, 발산적 사고를 요구하는 질문일 지도 모른다는 생각으로 지도서를 보았으나, 지도서에는 전자의 경우는 전혀 언급하지 않았고, 후자만을 해답 및 예제와 문제에 대한 설명에 제시하였다.

교사의 혼란과 마찬가지로 전체 5회의 수업이 끝난 후 학생들과 한 집단 면담에서 학생들이 이 교재의 단점으로 꼽은 가장 큰 것이 이 문제였다.

S1 : 안 좋은 점은 오타도 많고 너무 말을 빙빙 돌려서 문장의 뜻을 이해 못하는 것도 많고, 같은 문장이 쓸데없이 반복되는 경우가 많았어요.

S2 : 문제를 막 빙빙 돌려서 말하니까요 무엇을 묻고 있는지 문제를 알아듣지 못하겠어요.

S3 : 개선할 점은 번역을 잘해서 어색하지 않게 하고,……

7차 교육과정에서는 교육과정 및 교과서의 각 차시별 수업은 수업 목표를 고려하여 교육과정에 의거하여 교사의 재량을 발휘하여 교수∙학습 자료를 개발하여 사용하도록 한다. 하지만 교사가 매 시간 교사 재량을 발휘하여 재구성하여 수업하는 데는 한계가 있다.

②교사의 역할에 대하여

이 연구를 하면서 수학을 가르치는 교사는 더 이상 수학의 내용과 지식을 전달하는 사람이 아니다. 수학 교사는 학생들 속에서 학생들과 함께 학생들의 수학 학습 과정을 안내하는 안내자이며, 촉진자이며, 학생들 스스로 수학을 창조하도록 도와주는 사람이이 되어야 한다는 것을 알게 되었다.

“교과서의 문제 보이죠? 칠판을 보세요. 이렇게 푸는 거예요. 교과서에 이와 비슷한 문제들이 있지요. 푸세요.”

와 같은 전통적인 방법으로는 한계에 부딪히게 된다.

연구자들이 “축구공 위의 수학(Packages and Polygons)"으로 수업을 하기 위해 함께 모여 학생의 입장에서 직접 교재의 문제를 하나 하나 해결해 보면서, 만들어 보아야 하는 것은 교재를 직접 잘라서 그대로 다 만들어 보고, 의문 나는 사항은 상호 간의 논의를 거치며 참고 자료를 찾아보고, 교사용 지도서와 비교해 보는 과정을 거쳤었다. 즉, 학생들과의 수업 과정을 미리 재연해 본 것이다. 이 과정을 통하여 교재가 가지고 있는 의미에 대한 이해를 깊게 하고, 수업에서 어려운 점을 미리 찾아서 보완하였으며, 새로운 활동지를 만들기도 하였다.

이러한 과정을 거친 후에도 실제 학생들과의 수업에서 또 다른 수정해야 할 사항, 보충해야 할 사항이 발견되곤 하였다. 이에 연구자들과 학생들 모두 공통적으로 느낀 것은 수학은 더불어 함께 만들어 가는 것이라는 점이었다. 수학은 혼자 하는 학문이 아니다. 수학자들이 학회, 세미나, 연구 논문 등을 통해 서로의 연구를 검증받고 검증하는 것처럼, 교사와 학생들도 마찬가지이다. 교사 연수에서도 가장 중요한 것은 교사들 간에 수학 학습 전반에 걸쳐 진행되는 가르치고 배우는 과정에 대한 서로 간의 의견 교환일 것이다. 자신의 답을 정당화할 수 있는 능력은 필수적이다. 그리고 이를 다른 사람들과 공유할 수 있으려면 다른 사람들의 의견을 경청할 수 능력과 태도도 길러야 한다.

우리나라의 학교 수학 교재인 수학 교과서를 교재로 한 수학 수업이든, MIC 교재로의 수학 수업이든 결국 수학 학습에서 수학적 지식을 창조하는데 필수적으로 중요한 요소는 교사와 학생, 학생과 학생, 교사와 교사 사이의 상호작용일 것이다. 교사 연수는 지금까지의 연수와는 다른 방법으로 이루어져야 한다. 강의를 하는 강사와 강의를 받는 교사로 상호간에 벽이 있는 기존의 강의식 연수에서 나아가, 강사와 강의를 받는 교사 모두 학생이 되어 직접 문제를 다뤄보며, 수업 자료를 지필 자료이든 구체물이든 만들어 보는 과정을 거쳐야 한다. 또한 교사 혼자만의 작업이 아닌 동료 교사들과 공동으로 의사소통이 이루어지는 공동 작업을 해 보아야 한다.

③MIC 의 Context에 대하여

NCTM 규준집(2000)에 의하면 수학적 이해가 실생활에서 문제를 해결하는데 있어서 개인적 경험과 접한 관계를 가지므로 학교수학은 학생들에게 의미 있는 실질적인 내용으로 구성되었을 때 가치를 갖는다고 한다. 교재에 수록된 내용은 교과 내용뿐만 아니라 문제가 모두 학생들이 능동적으로 참여할 수 있는 내용으로 구성되었다. 학생들은 기존에 이해한 전략을 사용해 현실적 문제를 해결할 기회를 많이 필요로 한다. 그리고 광범위하고 다양한 상황에 숨어있는 수학적 관계를 끄집어내 이해하고 인식해야만 한다.

수학은 학생들이 세상을 이해하는데 도움을 주는 도구가 된다.  수학이 실생활에서 파생되었기 때문에 수학 또한 실생활을 이해하도록 해준다. 그러므로 이 교재는 도입단계부터 실생활과 관련된 상황을 제시하였다.  이러한 내용은 학생들이 수학을 이용함에 있어서 다양한 방법을 깨닫도록 실질적으로 보여준다.

이 교재에 제시된 다양한 모델들은 학생들이 다양한 단계별로 제시된 추상적 내용의 문제들을 해결하고 완전하게 추상화 되지 못한 개념을 더 공고히 할 수 있도록 항상 다시 돌아볼 수 있도록 도움을 준다. 이 모델은 또한 완전한 실생활과 관련된 문제와 수학적 지식의 추상적 세계를 연결지어주는 역할을 한다.

역사적으로 수학 학습에 관한 연구는 지속적으로, 많은 학자들에 걸쳐 이루어지고 있으며, 이제는 학문으로의 이론이 아닌 학교 교실로의 도입과 학생들의 인간적 활동으로의 수학 학습을 추구하고, 학습에 있어서 환경과 상황의 중요성에 주목하고 있다. 이와 같은 입장을 중시하고, 또한 교사와 학생간의 입장뿐만 아니라 학습 환경의 영향에까지 고려한, 교수학적 입장에서 학생들로 하여금 수학적 개념이 이끌어 지도록 하는 방법론적 측면을 연구한 Freudenthal의 현실주의적 수학교육론이론은 ‘수학학습은 실제적인 상황에서 시작해야하고, 학생과 교사 또는 학생들 간의 상호작용을 통해 학생들이 해결과정을 스스로 발명하고 구성하는 것’이라는 입장에 초점을 맞춘 이론이다. 이 이론은 실생활 문제, 현실 또는 문맥, 환경 또는 상황에서 수학적 요소를 발견하고 이를 문제화하여 해결하는 과정을 통하여 다시 실생활에 적용하는 활동을 통하여 학생들에게 있어 의미 있는 수학화를 경험하게 하고자 한다. Freudenthal(1973)은 수학화가 수학을 배우는 인간 활동으로서 본질적인 특성이라면 교사는 학생들에게 이런 수학화의 경험을 제공할 필요가 있고, 학생들은 일상적인 현실을 수학적으로 조직하는 것 즉, 수학화 하는 것을 배우되 가능하다면 자신의 수준에 맞는 수학을 수학화하는 경험이 중요하다고 말하며, 학습자에게 적절한 현실의 현상을 제공하여 학생 스스로 창조적인 활동을 통해서 직접 현실을 수학적으로 조직하는 경험을 강조하고 있다. 또한 실세계 그 자체가 수학화를 가르치는 출발점이 되어야 한다고 말하며, 맥락, Context를 제공할 것을 주장한다. 여기서 ‘맥락, Context’은 ‘어떤 구체적인수업 과정에서 학생들에게 열려있는 수학화 되어야 할 현실의 영역’(Freudenthal, 1991; 강문봉 외, 2001, p.99 재인용)을 의미한다. 네덜란드 수학교육이 ‘현실적’이라고 불리는 이유는 현실 세계와의 연결성 때문만이 아니라  학생들에게 제시되는 문맥이 실세계의 문맥일 수 있지만 항상 그럴 필요가 있는 것은 아님을 의미한다. 환상적인 동화의 세계 심지어는 형식적인 수학 세계조차도 그것들이 학생들의 마음속에서 현실적인 것으로 느껴진다면 문제를 위한 적절한 문맥들이 될 수 있다. 말하자면, 현실적이란 단순한 일상생활을 의미하기보다는 그것을 포함하는 더 광범위한 세계를 체험할 수 있고, 감정이입이 될 수 있으며, 자신의 여러 가지 경험을 혼합해서 생각하고 상상력을 불러일으킬 수 있는 상황을 의미하는 것이다. 이처럼 현실적 수학교육(RME: Realistic Mathematics Education)은 교과서의 학습 내용 뒷부분에 나오는 응용문제와 같이 수학적 지식 습득 후 활용을 위한 문장제 문제와 같은 좁은 의미의 수학적 응용뿐만 아니라, 경험적으로 마주칠 수 있는 상황이나, 타 교과와의 연계 등 현실적인 문제를 포괄하여 수학을 위한 활용이 아닌, 활용을 위한 수학의 학습을 추구하고 있다.

네덜란드에서는 이러한 견해를 반영하여 교육과정 개혁을 통해 네덜란드의 생활이 반영된 생활 수학 교과서 시리즈를 1980대에 연구를 시작하였으며, 1990년에는 네덜란드 초등학교 3/4이상이 이 시리즈를 사용하고 있다(Lieven Verschaffel and Erik De Corte, 1996). 그리고 미국에서는 이러한 RME 철학을 바탕으로 미국국립과학재단(National Science Foundation, NSF)의 후원 하에 미국 매디슨 위스콘신대학교의 교육 연구 센터와 네덜란드 위트레흐트대학교의 프로이덴탈 연구소가 협력하여 개발하고, 미국의 여러 지역에서 검사를 통해 검증된 새로운 패러다임의 초․중등학교용 수학 교육 프로그램인 MIC이다. 네덜란드의 생활수학 교과서 시리즈는 네덜란드의 Context가 담긴 네덜란드 교재이다. MIC는 미국의 Context가 담긴 미국의 교재이다. 우리는 대한민국이다. RME 시리즈든 MIC 교재든 이들의 Context는 우리, 우리 아이들의 생활, 우리 아이들의 Context가 아니다.

S4 : 우리 문화랑 틀려요. 호세의 파티가 무슨 파티인지 모르겠어요. 차라리 생일파티로 하지.

S5 : 이 책이요, 외국 것이잖아요. 그래서 그런지 문장이 어색해요.

S3 : 책을 외국 것을 번역하는 것 보다는 우리 것을 만드는 게 더 좋을 것 같아요.

④MIC에 대한 제언

MIC 교재는 우리나라 수학과 교육과정에서 부족한 점을 가지고 있는 상당히 좋은 교재이다. 그럼에도 불구하고 연구자들이 MIC 교재 중 하나인 “축구공 위의 수학”으로 현장에서 직접 수업을 해 본 결과 다음의 세 가지 제언을 하겠다.

하나, 학생용 교재와 교사용 지도서에 대한 많은 보완 작업이 필요하다.

학생용 교재는 학생들이 보는 교재이다. 외국에서 좋다고 하여 사용하는 교재라고 해서 꼭 그것이 좋은 것은 아니다. 학생들은 실험용 마루타가 아니다. 학생용 교재로 출판되기 위해서는 미리 관련자들이 학생이 되어 학생의 입장에서 교재를 심도 깊게 연구할 필요가 있다. 출판되고 난 후 오류를 고치겠다는 발상은 위험하다. 교사용 지도서에 대해서도 같은 견해이다. 실제 수업을 해 보면서, 교사용 지도서 자체의 오류도 많았다. 우리는 그들이 범한 오류를 수정하여 보다 탄탄한 교사용 지도서를 만들어야 한다.

둘, 활동지로 부족한 교구는 함께 제공해 주기 바란다.

정육면체 안에 정사면체를 넣어 보는 문제에서는 닫힌 도형으로는 알아보기 힘들다. 이 경우 연구자들이 직접 나무젓가락을 자르고, 이를 목공풀로 고정시키면서 만드는데 상당한 시간과 노력이 들었다. 만들면서, 물론 탐험의 과정을 겪는다는 장점은 있었지만, 이 정도는 교구로 제공되었더라면, 학생들과 보다 좋은 자료로 수업을 할 수 있었을 것이다.

셋, 우리의 context가 담긴 우리의 교재이어야 한다.

앞에서도 언급했다 시피, 우리의 생활이 담긴 우리의 것이어야 한다. 호세의 깜짝 파티는 우리 아이들의 생활이, 우리 아이들의 context가 아니다. 이 상황은 우리 아이들에게는 전통적인 교재에서 제시된 상황과 같은 교과서 속의 상황일 뿐이다. 우리 아이들의 생각대로 우리의 생활이 담긴 우리의 교재가 되어야 한다.

3. 나가며

이 책으로 학생들과 함께 학습하면서 그동안 단편적으로 지도해 오던 정사면체, 정육면체, 정다면체, 오일러 공식, 축구공에 들어 있는 수학에 대하여 새로운 눈으로 바라볼 수 있게 되었다.

정말이지 우리 생활 주변 곳곳에는 ‘물처럼 공기처럼’ 수학의 숨결이 스며 있다. 그리고 지금 이 순간에도 ‘축구공의 비밀’처럼 수학의 숨결과 손길을 필요로 하는 부분이 우리 주위에 수도 없이 널려 있다. …… 다시 한번 우리 주위를 둘러보자. 우리가 친근하고 편안하게 느끼는 것들일수록 더욱더 주의 깊게 살펴보자. 그리고 그 속에 깃들여 있는 수학의 숨결과 신비를 다시 한번 느껴보자.(강석진, 2003)

수학은 우리와 함께 살아가는 것이다. 수학의 시작은 우리의 삶이다. 우리 아이들은 자신의 삶 속에서 수학 학습의 첫발을 디뎌야 한다. 그래야만 의미가 있게 된다. 5회, 약 450분 정도의 수업을 마치고 학생들과 집단 면담을 한 결과 다음과 같은 반응을 보였다.

S6 : 입체도형은 생각을 잘 하기 어려우니까 만들어서 하게 되니까 훨씬 보기 쉽고 편해요.

S1 : 입체 도형을 직접 만드니까 훨씬 더 이해가 빠르고 재미를 더 추구할 수 있어서 좋았어요.

S3 : 도형은 머리 속에서 상상하기 어려운데 직접 보니까 의심을 하지 않게 되요.

S2 : 활동지가 있어서 더 재미있고 빨라요.

S4 : 문제가 무엇을 묻고 있는지 잘 모르는 경우도 있었어요. 하지만 반대로 문제 하나에 대하여 여러 가지 답이 가능한 것은 장점이예요. 창의성이 나오는 것 같아요.

S7 : 생활에서 필요한 이야기예요.

어쩌면 학생들은 연구자가 생각한 것 보다 MIC 교재에 대하여 더 큰 장점을 보고, 조금씩 수학으로 세상을 보고 있었던 것이다. 하지만 이러한 긍정적인 반응에도 불구하고, 부정적인 반응도 있었다. 다음과 같다.

S1 : 안 좋은 점은 오타도 많고 너무 말을 빙빙 돌려서 문장의 뜻을 이해 못하는 것도 많고, 같은 문장이 쓸데없이 반복되는 경우가 많았어요.

S2 : 문제를 막 빙빙 돌려서 말하니까요 무엇을 묻고 있는지 문제를 알아듣지 못하겠어요.

S8 : 활동지가 굳이 필요하지 않은 부분도 있었어요.

S9 : 활동지로 우리가 만들기 어려운 것은 좋은 교구로 직접 주었으면 좋겠어요. 부록처럼요. 선생님이 보여주신 하노이탑 처럼요.

S3 : 이 책은 입체도형 만드는 활동지가 이상해요 활동지가 있기는 있는데 종이가 너무 얇아서 이 얇은 활동지로 입체도형을 만드니까 풀로 붙여지지가 않았어요. 차라리 활동지에 두꺼운 도화지로 직접 제시해 주는 것도 좋을 거 같아요.

S4 : 우리 문화랑 틀려요. 호세의 파티가 무슨 파티인지 모르겠어요. 차라리 생일파티로 하지.

S5 : 이 책이요, 외국 것 이잖아요. 그래서 그런지 문장이 어색해요.

학생들은 이 책 한 권을 학습하면서 도대체 얼마나 많은 것을 발견한 건지 연구자가 혼란스러울 정도였다. 정말 이들이 진정한 수학자라는 생각이 들었다. 게다가 더 나아가 학생들 스스로 이 교재의 개선점까지도 제안했으니 말이다. 다음과 같다.

S9 : 우리 교과서는 조금 딱딱 하거든요. 그런데 이 책은 그렇지 않아요. 하지만 이건 미국책이니까, 우리나라에 맞게 고치면 부드러울 것 같아요. 딱딱하지 않고.

S1 : 개선할 점은 번역을 잘해서 어색하지 않게 하고, 오타도 없게 했으면 좋겠어요. 도형에는 ㈀, ㈁, ㈂, ㈃이라고 되어 있으면서 문제에서는 Ａ, Ｂ, Ｃ, Ｄ라고 한 경우도 있었으니까요. 그리고 우리나라 식으로 상황을 고쳤으면 좋겠어요.

S9 : 우리가 만들기 어려운 것은 교구로 주었으면 좋겠고, 그러면 시간도 절약될 테니까요.

S5 : 책을 외국 것을  번역하는 것 보다는 우리 것을 만드는 게 더 좋을 것 같아요.

이 친구들의 눈은 어디까지 발전될 것인가. 이들과 함께 마지막 면담을 하면서 연구자는 섬뜩하기까지 하였다. 이렇게 예리한 학생들과 함께 수학을 탐구한다는 것이 행복하기도 하였고. 더 이상 연구자의 나가는 말이 필요 없을 듯 하다. 학생들의 생각에서 나온 위의 전사물로 대신하겠다.

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Romberg, T. A. et al.(2003). 수학으로 보는 세상: 축구공 위의 수학. (나온연구소, 역). 서울: 나온교육연구소. (영어 원작은 2003년 출판).

Romberg, T. A. et al.(인쇄중). 수학으로 보는 세상: 다르게 보여요 교사용지도서. (나온교육연구소, 역). 서울: 나온교육연구소. (영어 원작은 2003년 출판).

Thomas, A. R.(2003). Teacher Guide: Packages and Polygons, Chicago, Illinois: Encyclopædia Britannica, Inc.

Treffers, A.(1987). Three Dimensions: A model of goal and theory description in mathematics education-the Wiscobas project. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.(나온연구소, 역). (영어 원작은 1987년 출판).

[On-line] available http://www.naonedu.com

표목차

<표 2-1> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역의 내용 체계

<표 2-2> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역 4-가, 4-나 단계별 내용

<표 2-3> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역 5-가, 5-나 단계별 내용

<표 2-4> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역 6-가, 6-나, 7-나, 8-나 단계별 내용

<표 2-5> 우리나라 7차 교육과정 도형 영역 7-나, 8-나 단계별 내용

<표 2-6> MIC 프로그램 중 도형 영역의 내용

<표 2-7> 축구공 위의 수학 ― 이야기 전개 과정

그림목차

[그림 2-1] MIC 교육과정(출처 : http://www.naonedu.com)

[그림 2-2] 정육면체 속에 정사면체 넣기(나온교육연구소, 축구공 위의 수학, 2004, p.33)

[그림 2-3] 교재 활동지 그대로 만들었을 경우

[그림 2-4] 정육면체 속에 정사면체가 들어 갈 수 있도록 만든 경우

[그림 2-5] 정육면체 속에 정사면체를 넣는 방법의 개수를 알아볼 수 있도록 만든 경우

[그림 2-6] 우리나라 교사용 지도서 예(출처 : 교육인적자원부, 교사용지도서 수학 6-나)

[그림 2-7] MIC 교사용 지도서 예(출처 : 나온교육연구소, 축구공 위의 수학, 출판중)

[그림 2-8] MIC 교사용 지도서- 정육면체 속에 정사면체 넣기(출처 : 나온교육연구소, 축구공 위의 수학, 출판중)

[최영주-사랑초]

화일이 너무 커서 컴부가 안됩니다. 다음에 프린트하고 화일 가지고 갈께요, 12월 첫주모이는거죠,,

[부엉새]

영재학급 운영하면서 mic교재에 관심 있었는데, 좋은 자료 잘 보았습니다. 감사합니다~~